Зависимость площади треугольника от радиуса вписанной окружности

Содержание
  1. Вычисление площади треугольника при помощи радиуса вписанной окружности
  2. Формула 1Площадь треугольника через радиус вписанной окружности
  3. Как найти, теорема и доказательство, формула
  4. Примеры решения задач с ответами
  5. Площадь треугольника через радиус вписанной окружности
  6. 2 Comments
  7. Как найти площадь треугольника
  8. Основные понятия
  9. Формула площади треугольника
  10. Формулы площади для любого треугольника
  11. 1. Площадь треугольника через основание и высоту
  12. 2. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними.
  13. 3. Площадь треугольника через описанную окружность и стороны
  14. 4. Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны.
  15. 5. Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам
  16. 6. Формула Герона для вычисления площади треугольника
  17. Для прямоугольного треугольника
  18. Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу
  19. Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу
  20. Площадь треугольника через гипотенузу и радиус вписанной окружности
  21. Площадь треугольника по отрезкам, на которые делит вписанная окружность его гипотенузу
  22. Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона
  23. Для равнобедренного треугольника
  24. Вычисление площади через основание и высоту
  25. Поиск площади через боковые стороны и угол между ними.
  26. Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности
  27. Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности
  28. Площадь равностороннего треугольника через сторону
  29. Площадь равностороннего треугольника через высоту
  30. Таблица формул нахождения площади треугольника
  31. Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов

Вычисление площади треугольника при помощи радиуса вписанной окружности

Формула 1Площадь треугольника через радиус вписанной окружности

Как найти, теорема и доказательство, формула

Площадь треугольника равна произведению полупериметра данного треугольника на радиус вписанной в него окружности.

S=pr где p — полупериметр,

r — радиус вписанной окружности,

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

a, b, c — стороны треугольника.

Доказательство:

Пусть у ΔABC стороны равны a, b, c. AС=а, АВ=b, ВС=с. В ΔABC вписана окружность с центром в точке О и радиусом r.

Проведем отрезки ОА и ОС. Радиус r является высотой ΔАОС, проведенной к АС, по свойству касательной к окружности и ее радиуса. Так как площадь треугольника равна половине произведения основания и проведенной к этому основанию высоты,

Таким же образом найдем площади треугольников АОВ и ВОС.

ΔABC разбит отрезками ОА, ОВ и ОС на ΔAОВ, ΔAОC и ΔBОC, и его площадь равна сумме площадей данных треугольников.

Периметр ΔABC равен сумме его трех сторон, а полупериметр равен \(\frac<\left(a+b+c\right)>2. \)

Отсюда делаем вывод, что \(S_<\Delta AВС>=pr\) , где p — полупериметр.

Примеры решения задач с ответами

Дано: ΔDEF — равнобедренный, DE=EF. В ΔDEF вписана окружность, к которой проведена касательная КМ.

Читайте также:  Норковая шуба голубая трапеции

Найти: радиус вписанной окружности.

Решение:

Пусть N — точка касания окружности и КМ, Р — точка касания окружности и DE, Н — точка касания окружности и DF.

Обозначим DE=EF=а, DH=HF=b.

Тогда DP=b, так как DP=DH.

ΔDKM и ΔDEF подобны.

Пусть \(p_1\) и p — их полупериметры. Тогда полупериметр \(ΔDKM p_1=DP=DH=b.\)

Полупериметр ΔDEF p=DE+DH=a+b

Так как квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то \(EH^2=DE^2-DH^2=a^2-(3a/5)^2. \)

Так как \(S_<\Delta DEF>=EH·DH\) , то \(12=b·4a/5=3a/5·4a/5. a=5, b=3.\)

Следовательно, радиус вписанной окружности \(r=\frac>p=\frac<12>=\frac32 (см).\)

Ответ: радиус вписанной окружности равен 1,5 см.

Дано: ΔАВС — равнобедренный. Его основание АС равно 12 см, а высота, проведенная к основанию — 8 см. В треугольник вписана окружность, к которой проведена касательная КМ, параллельная основанию.

Найти: КМ.

Решение:

ΔАВС и ΔКВМ подобны. Найдем коэффициент их подобия.

По теореме Пифагора найдем АВ и затем вычислим р — полупериметр ΔАВС, р=32 (см).

Радиус вписанной окружности \(r=\frac>р=96:32=3 (см).\)

Диаметр вписанной окружности равен 6 см, а высота ΔКВМ, проведенная к КМ равна 2 см.

Коэффициент подобия ΔАВС и ΔКВМ равен \(\frac14.\)

Источник

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности

Как найти площадь треугольника через радиус вписанной окружности?

Площадь треугольника равна произведению радиуса вписанной в этот треугольник окружности на на его полупериметр.

Формула для нахождения площади треугольника через радиус вписанной окружности:

окружность (O; r) — вписанная,

Рассмотрим треугольник AOC.

(как радиус, проведенный в точку касания).

Следовательно, OF — высота треугольника AOC.

Так как площадь треугольника ABC равна сумме площадей этих треугольников, то

Что и требовалось доказать.

Если требуется найти площадь треугольника через его периметр, формулу записывают так:

где P — периметр треугольника, r — радиус вписанной в этот треугольник окружности.

2 Comments

Полезно, вспомнить курс школьной геометрии.
Разработчики сайта дерзайте дальше.

Источник

Как найти площадь треугольника

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс

Основные понятия

Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, не лежащими на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.

Площадь — это численная характеристика, которая дает нам информацию о размере части плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Популярные единицы измерения площади:

квадратный миллиметр (мм 2 );

квадратный сантиметр (см 2 );

квадратный дециметр (дм 2 );

квадратный метр (м 2 );

квадратный километр (км 2 );

Формула площади треугольника

Для решения задач применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Далее мы рассмотрим способы решения для всех типов треугольников, в том числе частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных фигур.

Читайте также:  Окружность грудной клетки формула дети

Быстро вычислить площадь треугольника поможет наш онлайн-калькулятор. Просто введите известные вам значения и получите ответ в метрах, сантиметрах или миллиметрах.

Научиться быстро щелкать задачки на нахождение площади треугольника помогут курсы по математике от Skysmart!

Формулы площади для любого треугольника

1. Площадь треугольника через основание и высоту

, где — основание, — высота.

2. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними.

, где , — стороны, — угол между ними.

3. Площадь треугольника через описанную окружность и стороны

, где , , — стороны, — радиус описанной окружности.

4. Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны.

, где , , — стороны, — радиус вписанной окружности.

5. Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам

, где — сторона, и — прилежащие углы.

6. Формула Герона для вычисления площади треугольника

Сначала необходимо подсчитать разность полупериметра и каждой его стороны. Потом найти произведение полученных чисел, умножить результат на полупериметр и найти корень из полученного числа.

, где , , — стороны, — полупериметр, который можно найти по формуле:

Для прямоугольного треугольника

Для прямоугольного треугольника чаще всего используют одну формулу — половину произведения катетов. Потому что их всегда можно найти с помощью правил тригонометрии или теоремы Пифагора.

Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу

, где — гипотенуза, — любой из прилегающих острых углов.

Гипотенузой принято называть сторону, которая лежит напротив прямого угла.

Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу

, где — катет, — прилежащий угол.

Катетом принято называть одну из двух сторон, образующих прямой угол.

Площадь треугольника через гипотенузу и радиус вписанной окружности

, где — гипотенуза, — радиус вписанной окружности.

Площадь треугольника по отрезкам, на которые делит вписанная окружность его гипотенузу

, где , — части гипотенузы.

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

, где , — катеты, — полупериметр, который можно найти по формуле:

Для равнобедренного треугольника

Ниже мы покажем разные формулы для площади равнобедренного и равностороннего треугольника, их редко используют, но их легко вывести самому. Попробуйте сделать это самостоятельно.

Вычисление площади через основание и высоту

, где — основание, — высота, проведенная к основанию.

Поиск площади через боковые стороны и угол между ними.

, где — боковая сторона, — угол между боковыми сторонами.

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

, где — радиус описанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

, где — радиус вписанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через сторону

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Таблица формул нахождения площади треугольника

В задачах встречаются разные фигуры, и кажется, что нужны разные формулы. Но на самом деле, зная всего несколько формул для треугольника и пользуясь теоремами и свойствами геометрии, можно найти площадь любой фигуры.

Читайте также:  Задачи с вписанной окружностью огэ

Источник

Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов

Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности. Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника.
Очевидно, расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника одинаково и равно радиусу этой окружности.
Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.

Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Тогда сам треугольник будет описанным вокруг окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника равно радиусу этой окружности.
В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.

Попробуйте сами описать окружность вокруг треугольника и вписать окружность в треугольник.
Как вы думаете, почему центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника, а центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам?

В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются вписанные и описанные правильные треугольники.

Есть и другие задачи. Для их решения вам понадобятся еще две формулы площади треугольника, а также теорема синусов.

Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

S = p r,
где p = (a+b+c) — полупериметр,
r — радиус окружности, вписанной в треугольник.

Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части С:


где a, b, c — стороны треугольника, R — радиус описанной окружности.

Для любого треугольника верна теорема синусов:

1. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен 2. Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите .

Треугольник прямоугольный и равнобедренный. Значит, его катеты одинаковы. Пусть каждый катет равен а. Тогда гипотенуза равна а .
Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:



Приравняв эти выражения, получим, что . Поскольку , получаем, что . Тогда .
В ответ запишем .

2. Сторона AB тупоугольного треугольника ABC равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

По теореме синусов,

Получаем, что sin C = . Угол С — тупой. Значит, он равен 150°.

3. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 40, основание равно 48. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Углы треугольника не даны. Что ж, выразим его площадь двумя разными способами.

S = ah, где h — высота треугольника. Ее найти несложно — ведь в равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, то есть делит сторону АВ пополам. По теореме Пифагора найдем h = 32. Тогда R = 25.

EGE-Study » Методические материалы » Геометрия: с нуля до C4 » Вписанные и описанные четырехугольники

Источник

Поделиться с друзьями
Объясняем