Зависимость площади треугольника от радиуса вписанной окружности

Вычисление площади треугольника при помощи радиуса вписанной окружности

Формула 1Площадь треугольника через радиус вписанной окружности

Как найти, теорема и доказательство, формула

Площадь треугольника равна произведению полупериметра данного треугольника на радиус вписанной в него окружности.

S=pr где p — полупериметр,

r — радиус вписанной окружности,

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

a, b, c — стороны треугольника.

Доказательство:

Пусть у ΔABC стороны равны a, b, c. AС=а, АВ=b, ВС=с. В ΔABC вписана окружность с центром в точке О и радиусом r.

Проведем отрезки ОА и ОС. Радиус r является высотой ΔАОС, проведенной к АС, по свойству касательной к окружности и ее радиуса. Так как площадь треугольника равна половине произведения основания и проведенной к этому основанию высоты,

Таким же образом найдем площади треугольников АОВ и ВОС.

ΔABC разбит отрезками ОА, ОВ и ОС на ΔAОВ, ΔAОC и ΔBОC, и его площадь равна сумме площадей данных треугольников.

Периметр ΔABC равен сумме его трех сторон, а полупериметр равен \(\frac<\left(a+b+c\right)>2. \)

Отсюда делаем вывод, что \(S_<\Delta AВС>=pr\) , где p — полупериметр.

Примеры решения задач с ответами

Дано: ΔDEF — равнобедренный, DE=EF. В ΔDEF вписана окружность, к которой проведена касательная КМ.

Найти: радиус вписанной окружности.

Решение:

Пусть N — точка касания окружности и КМ, Р — точка касания окружности и DE, Н — точка касания окружности и DF.

Обозначим DE=EF=а, DH=HF=b.

Тогда DP=b, так как DP=DH.

ΔDKM и ΔDEF подобны.

Пусть \(p_1\) и p — их полупериметры. Тогда полупериметр \(ΔDKM p_1=DP=DH=b.\)

Полупериметр ΔDEF p=DE+DH=a+b

Так как квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то \(EH^2=DE^2-DH^2=a^2-(3a/5)^2. \)

Так как \(S_<\Delta DEF>=EH·DH\) , то \(12=b·4a/5=3a/5·4a/5. a=5, b=3.\)

Следовательно, радиус вписанной окружности \(r=\frac>p=\frac<12>=\frac32 (см).\)

Ответ: радиус вписанной окружности равен 1,5 см.

Дано: ΔАВС — равнобедренный. Его основание АС равно 12 см, а высота, проведенная к основанию — 8 см. В треугольник вписана окружность, к которой проведена касательная КМ, параллельная основанию.

Найти: КМ.

Решение:

ΔАВС и ΔКВМ подобны. Найдем коэффициент их подобия.

По теореме Пифагора найдем АВ и затем вычислим р — полупериметр ΔАВС, р=32 (см).

Радиус вписанной окружности \(r=\frac>р=96:32=3 (см).\)

Диаметр вписанной окружности равен 6 см, а высота ΔКВМ, проведенная к КМ равна 2 см.

Коэффициент подобия ΔАВС и ΔКВМ равен \(\frac14.\)

Источник

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности

Как найти площадь треугольника через радиус вписанной окружности?

Площадь треугольника равна произведению радиуса вписанной в этот треугольник окружности на на его полупериметр.

Формула для нахождения площади треугольника через радиус вписанной окружности:

окружность (O; r) — вписанная,

Рассмотрим треугольник AOC.

(как радиус, проведенный в точку касания).

Следовательно, OF — высота треугольника AOC.

Так как площадь треугольника ABC равна сумме площадей этих треугольников, то

Что и требовалось доказать.

Если требуется найти площадь треугольника через его периметр, формулу записывают так:

где P — периметр треугольника, r — радиус вписанной в этот треугольник окружности.

2 Comments

Полезно, вспомнить курс школьной геометрии.
Разработчики сайта дерзайте дальше.

Источник

Как найти площадь треугольника

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс

Основные понятия

Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, не лежащими на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.

Площадь — это численная характеристика, которая дает нам информацию о размере части плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Популярные единицы измерения площади:

квадратный миллиметр (мм 2 );

квадратный сантиметр (см 2 );

квадратный дециметр (дм 2 );

квадратный метр (м 2 );

квадратный километр (км 2 );

Формула площади треугольника

Для решения задач применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Далее мы рассмотрим способы решения для всех типов треугольников, в том числе частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных фигур.

Быстро вычислить площадь треугольника поможет наш онлайн-калькулятор. Просто введите известные вам значения и получите ответ в метрах, сантиметрах или миллиметрах.

Научиться быстро щелкать задачки на нахождение площади треугольника помогут курсы по математике от Skysmart!

Формулы площади для любого треугольника

1. Площадь треугольника через основание и высоту

, где — основание, — высота.

2. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними.

, где , — стороны, — угол между ними.

3. Площадь треугольника через описанную окружность и стороны

, где , , — стороны, — радиус описанной окружности.

4. Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны.

, где , , — стороны, — радиус вписанной окружности.

5. Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам

, где — сторона, и — прилежащие углы.

6. Формула Герона для вычисления площади треугольника

Сначала необходимо подсчитать разность полупериметра и каждой его стороны. Потом найти произведение полученных чисел, умножить результат на полупериметр и найти корень из полученного числа.

, где , , — стороны, — полупериметр, который можно найти по формуле:

Для прямоугольного треугольника

Для прямоугольного треугольника чаще всего используют одну формулу — половину произведения катетов. Потому что их всегда можно найти с помощью правил тригонометрии или теоремы Пифагора.

Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу

, где — гипотенуза, — любой из прилегающих острых углов.

Гипотенузой принято называть сторону, которая лежит напротив прямого угла.

Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу

, где — катет, — прилежащий угол.

Катетом принято называть одну из двух сторон, образующих прямой угол.

Площадь треугольника через гипотенузу и радиус вписанной окружности

, где — гипотенуза, — радиус вписанной окружности.

Площадь треугольника по отрезкам, на которые делит вписанная окружность его гипотенузу

, где , — части гипотенузы.

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

, где , — катеты, — полупериметр, который можно найти по формуле:

Для равнобедренного треугольника

Ниже мы покажем разные формулы для площади равнобедренного и равностороннего треугольника, их редко используют, но их легко вывести самому. Попробуйте сделать это самостоятельно.

Вычисление площади через основание и высоту

, где — основание, — высота, проведенная к основанию.

Поиск площади через боковые стороны и угол между ними.

, где — боковая сторона, — угол между боковыми сторонами.

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

, где — радиус описанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

, где — радиус вписанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через сторону

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Таблица формул нахождения площади треугольника

В задачах встречаются разные фигуры, и кажется, что нужны разные формулы. Но на самом деле, зная всего несколько формул для треугольника и пользуясь теоремами и свойствами геометрии, можно найти площадь любой фигуры.

Источник

Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов

Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности. Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника.
Очевидно, расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника одинаково и равно радиусу этой окружности.
Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.

Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Тогда сам треугольник будет описанным вокруг окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника равно радиусу этой окружности.
В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.

Попробуйте сами описать окружность вокруг треугольника и вписать окружность в треугольник.
Как вы думаете, почему центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника, а центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам?

В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются вписанные и описанные правильные треугольники.

Есть и другие задачи. Для их решения вам понадобятся еще две формулы площади треугольника, а также теорема синусов.

Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

S = p r,
где p = (a+b+c) — полупериметр,
r — радиус окружности, вписанной в треугольник.

Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части С:

где a, b, c — стороны треугольника, R — радиус описанной окружности.

Для любого треугольника верна теорема синусов:

1. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен 2. Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите .

Треугольник прямоугольный и равнобедренный. Значит, его катеты одинаковы. Пусть каждый катет равен а. Тогда гипотенуза равна а .
Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:

Приравняв эти выражения, получим, что . Поскольку , получаем, что . Тогда .
В ответ запишем .

2. Сторона AB тупоугольного треугольника ABC равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

По теореме синусов,

Получаем, что sin C = . Угол С — тупой. Значит, он равен 150°.

3. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 40, основание равно 48. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Углы треугольника не даны. Что ж, выразим его площадь двумя разными способами.

S = ah, где h — высота треугольника. Ее найти несложно — ведь в равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, то есть делит сторону АВ пополам. По теореме Пифагора найдем h = 32. Тогда R = 25.

EGE-Study » Методические материалы » Геометрия: с нуля до C4 » Вписанные и описанные четырехугольники

Источник