Записать уравнение прямой проходящей через центры окружностей

Уравнение для описания окружности, которая имеет радиус R, а ее центр совпадает с точкой \(O(x_0;y_0)\) , имеет вид:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

В том случае, когда центр окружности лежит в точке начала координат, уравнение окружности приобретает упрощенную форму:

Предположим, что существует уравнение некой окружности:

Центром данной геометрической фигуры является точка C(1;-2). Радиус окружности равен R=2.

Прямая представляет собой линию, которая не имеет начала и не имеет конца, и при этом не искривляется.

Каждую прямую на плоскости можно представить в виде уравнения прямой первой степени. Формула имеет следующий вид:

В данном случае А и В не могут одновременно принимать нулевые значения.

С учетом углового коэффициента общее уравнение прямой при значении b, не равном нулю, записывают следующим образом:

Здесь k является угловым коэффициентом, который можно посчитать, как тангенс угла между рассматриваемой прямой и положительным направлением оси ОХ.

Рассмотрим случай, когда прямая пересекает оси ОХ и ОУ в точках, имеющих следующие координаты:

Найти рассматриваемую прямую можно с помощью уравнения прямой в отрезках:

Предположим, что прямая пересекает пару точек \(A(x_1;y_1)\) и \(B(x_2; y_2),\) удовлетворяющих данным условиям:

\(x_1 ≠ x_2\ и\ y_1 ≠ y_2\)

В таком случае уравнение прямой рассчитывают по формуле:

Например, существует некая прямая в прямоугольной системе координат. Данная прямая пересекает пару точек:

Уравнение прямой, проходящей через две обозначенные точки, имеет вид:

Преобразуем полученное уравнение:

\(\frac3=\frac1 \Leftrightarrow 1\cdot (x-1)=3\cdot(y-1) \Leftrightarrow x-3y+2=0\)

Как составить уравнение прямой, проходящей через центр окружности

Применяя записанные ранее уравнения для прямой и окружности, можно найти уравнение прямой, которая проходит через центр окружности:

В первую очередь следует рассчитать радиусы и определить координаты центров окружностей:

\(x^2 + y^2 — 6x — 8y + 16 = 0\)

\((x^2 — 6x + 9) + (y^2 — 8y + 16) = 9\)

\((x — 3)^2 + (y — 4)^2 = 3^2\)

\(x^2 + y^2 + 10x + 4y + 13 = 0\)

\((x^2 + 10x + 25) + (y^2 + 4y + 4) = 16\)

\((x + 5)^2 + (y + 2)^2 = 4^2\)

Уравнение прямой, проходящей через точки \(O_1(3;4)\) и \(O_2(-5;-2)\) , можно записать следующим образом:

В результате уравнение прямой принимает такой вид:

Решение задач по теме, примеры

Требуется определить, где находится центр окружности, и чему равен ее радиус. Уравнение окружности:

Необходимо представить график окружности в осях абсцисс и ординат.

Каноническое уравнение окружности имеет вид:

В данном случае, центр соответствует О:(h, k), а радиус окружности равен r.

По условиям задачи: \(x^<2>+(y-3)^<2>=49\)

Ответ: центр совпадает с точкой, имеющей координаты \((0, 3)\qquad r=7\)

Нужно определить, в какой точке расположен центр окружности, и чему равен ее радиус. Уравнение окружности:

В первую очередь следует записать каноническое уравнение окружности:

В данном случае, центр окружности совпадает с точкой, имеющей координаты (h, k), а ее радиус равен r.

Согласно условиям задачи:

Ответ: центр окружности совпадает с точкой (-2, 0), а ее радиус равен 6.

Требуется преобразовать уравнение в сумму квадратов для расчета радиуса и определения центра окружности:

\(\left(x+1\right)^<2>+\left( y+4\right)^<2>-1-16+\frac<1><2>=0\Longrightarrow \left(x+1\right) ^<2>+\left(y+4\right) ^<2>=\frac<33><2>\)

В результате расчетов получим:

центр находится в (-1,-4)

Центр окружности совпадает с точкой (4,-5). Необходимо записать уравнение данной окружности, учитывая, что она проходит через точку с координатами (7,-3).

Каноническое уравнение окружности:

Центр находится в точке:

Радиус соответствует r.

Учитывая, что окружность проходит через точку (7,-3), запишем:

Ответ: уравнение окружности имеет вид \((x-4)^<2>+(y+5)^<2>=13\)

Необходимо записать уравнение окружности, центр которой соответствует точке O(2,-1), касающейся прямой r:y=x+2. Требуется начертить график.

Зная, что радиус r является расстоянием, на которое удалены точка O:(h, k) и прямая y-x-2=0, запишем:

Получим уравнение окружности:

Требуется записать уравнение, описывающее прямую с угловым коэффициентом \(k= \frac<3><2>\) . Искомая прямая пересекает точку А (3;2).

В первую очередь следует записать стандартную формулу:

Источник

Составьте уравнение прямой, которая проходит через центры двух данных окружностей: x²+y²+2x+2y=2 и x²+y²-6x-4y=3

Задание 1 (15 баллов).

Определите, является ли отрезок AB диаметром окружности x²+6x+y²=0, если geom 9 24 -.jpeg.

Задание 2 (20 баллов).

Составьте уравнение прямой, которая проходит через центры двух данных окружностей: x²+y²+2x+2y=2 и x²+y²-6x-4y=3.

Задание 3 (15 баллов).

Составьте уравнение прямой, которая параллельна прямой y=4x+2 и пересекает прямую y=-8x+9 в точке, которая принадлежит оси ординат.

Задание 4 (25 баллов).

Составьте уравнение окружности радиуса formula12.jpg, проходящей через точки (1;4) и (5;4).

Задание 5 (25 баллов).

Точки A(1;1), B(4;2), C(0;7) – вершины треугольника ABC. Запишите уравнение прямой, которая содержит высоту треугольника, проведенную к стороне AB.

Составьте уравнение прямой, которая проходит через центры двух данных окружностей: x²+y²+2x+2y=2 и x²+y²-6x-4y=3.

x²+y²-6x-4y=3
( x²- 6x +9) + (y²-4y +4) =16
(x- 3)^2 + (y-2)^2 = 16
(3; 2)

(y-y1)/ (y2- y1) = ( x- x1)/ (x2- x1)

3x — 4y -1=0= > y= (3/4)*x — 1/4

Составьте уравнение прямой, которая параллельна прямой y=4x+2 и пересекает прямую y=-8x+9 в точке, которая принадлежит оси ординат.

прямaя y= — 8x+9, k= — 8, x= 0 = > y= 9 = > (0;9) € оси ординат

y=4x+9 — уравнение прямой, которая параллельна прямой y=4x+2 и пересекает прямую y= -8x+9 в точке (0;9)

Источник

Окружность

Прямая

Плоскость

Общее уравнение прямой. Нормальный вектор.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Уравнение прямой в отрезках на осях. Уравнение прямой, проходящей

через две различные точки. Параметрическое уравнение прямой.

Условие параллельности прямых. Условие перпендикулярности прямых.

Расстояние между двумя точками. Расстояние от точки до прямой.

Расстояние между параллельными прямыми. Угол между прямыми.

Общее уравнение прямой:

где А и В не равны нулю одновременно.

Коэффициенты А и В являются координатами нормального вектора прямой ( т.е. вектора, перпендикулярного прямой ). При А = 0 прямая параллельна оси ОХ , при В = 0 прямая параллельна оси ОY .

При В 0 получаем уравнение прямой с угловым коэффициентом:

Уравнение прямой, проходящей через точку ( х₀ , у ₀ ) и не параллельной оси OY, имеет вид:

где m – угловой коэффициент, равный тангенсу угла, образованного данной прямой и положительным направлением оси ОХ .

При А 0, В 0 и С 0 получаем уравнение прямой в отрезках на осях:

где a = – C / A , b = – C / B . Эта прямая проходит через точки ( a, 0 ) и ( 0, b ), т.е. отсекает на осях координат отрезки длиной a и b .

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки ( х₁, у ₁ ) и ( х₂, у ₂ ):

Параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку ( х₀ , у ₀ ) и параллельной направляющему вектору прямой ( a, b ) :

Условие параллельности прямых:

1) для прямых Ах+ Ву+ С = 0 и Dх+ Eу+ F = 0 : AE – BD = 0 ,

Условие перпендикулярности прямых:

1) для прямых Ах+ Ву+ С = 0 и Dх+ Eу+ F = 0 : AD + BE = 0 ,

2) для прямых у = m x+ k и у = p x+ q : m p = – 1 .

Расстояние от точки ( х₀ , у ₀ ) до прямой Ах+ Ву+ С = 0 :

Расстояние между параллельными прямыми Ах+ Ву+ С = 0 и Dх+ Eу+ F = 0 :

Угол между прямыми:

Окружностью ( рис.1 ) называется геометрическое место точек, равноудалённых от данной точки О, называемой центром окружности, на расстояние R . Число R > 0 называется радиусом окружности.

Уравнение окружности радиуса R с центром в точке О ( х₀ , у ₀ ) имеет вид:

Если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение окружности упрощается:

Пусть Р ( х₁ , у ₁ ) – точка окружности ( рис.1 ), тогда уравнение касательной к окружности в данной точке имеет вид:

Условие касания прямой y = m x + k и окружности х 2 + у 2 = R 2 :

Источник

Уравнение окружности и прямой

Вы будете перенаправлены на Автор24

• Telegram
• Whatsapp
• Вконтакте
• Одноклассники
• Email

Уравнение линии на плоскости

Введем для начала понятие уравнения линии в двумерной системе координат. Пусть в декартовой системе координат построена произвольная линия $L$ (Рис. 1).

Рисунок 1. Произвольная линия в системе координат

Уравнение с двумя переменными $x$ и $y$ называется уравнением линии $L$, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей линии $L$ и не удовлетворяет ни одна точка, не принадлежащая линии $L.$

Уравнение окружности

Выведем уравнение окружности в декартовой системе координат $xOy$. Пусть центр окружности $C$ имеет координаты $(x_0,y_0)$, а радиус окружности равен $r$. Пусть точка $M$ с координатами $(x,y)$ — произвольная точка этой окружности (рис. 2).

Рисунок 2. Окружность в декартовой системе координат

Расстояние от центра окружности до точки $M$ вычисляется следующим образом

Но, так как $M$ лежит на окружности, то получаем $CM=r$. Тогда получим следующее

Уравнение (1) и есть уравнение окружности с центром в точке $(x_0,y_0)$ и радиусом $r$.

В частности, если центр окружности совпадает с началом координат. То уравнение окружности имеет вид

Выведем уравнение прямой $l$ в декартовой системе координат $xOy$. Пусть точки $A$ и $B$ имеют координаты $\left\$ и $\$ соответственно, причем точки $A$ и $B$ выбраны так, что прямая $l$ — серединный перпендикуляр к отрезку $AB$. Выберем произвольную точку $M=\$, принадлежащую прямой $l$ (рис. 3).

Готовые работы на аналогичную тему

Рисунок 3. Прямая в декартовой системе координат

Так как прямая $l$ — серединный перпендикуляр к отрезку $AB$, то точка $M$ равноудалена от концов этого отрезка, то есть $AM=BM$.

Найдем длины данных сторон по формуле расстояния между точками:

Обозначим через $a=2\left(x_1-x_2\right),\ b=2\left(y_1-y_2\right),\ c=^2+^2-^2-^2$, Получаем, что уравнение прямой в декартовой системе координат имеет следующий вид:

Здесь можно выделить два частных случая для уравнения прямой. Пусть прямая $l$ проходит через точку $M=\$, тогда

Если прямая $l$ параллельна оси $Ox$, то она имеет вид

Если прямая $l$ параллельна оси $Oy$, то она имеет вид

Пример задачи на нахождение уравнений линий в декартовой системе координат

Найти уравнение окружности с центром в точке $(2,\ 4)$. Проходящей через начало координат и прямую, параллельную оси $Ox,$ проходящей через её центр.

Решение.

Найдем сначала уравнение данной окружности. Для этого будем использовать общее уравнение окружности (выведенное выше). Так как центр окружности лежит в точке $(2,\ 4)$, получим

Найдем радиус окружности как расстояние от точки $(2,\ 4)$ до точки $(0,0)$

Получаем, уравнение окружности имеет вид:

Найдем теперь уравнение окружности, используя частный случай 1. Получим

Нужны еще материалы по теме статьи?

Воспользуйся новым поиском!

Найди больше статей и в один клик создай свой список литературы по ГОСТу

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 05.04.2022

Источник