Задачи с вписанной окружностью огэ

Задачи с вписанной окружностью огэ

Центральный угол AOB опирается на хорду AB длиной 6. При этом угол OAB равен 60°. Найдите радиус окружности.

Рассмотрим треугольник AOB: он равнобедренный, его боковые стороны равны радиусу.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Пусть AOB равен x, тогда x + 60° + 60° = 180°, где x = 60°. Треугольник, у которого все углы равны, — равносторонний треугольник; значит, радиус равен 6.

В угол C величиной 83° вписана окружность с центром O, которая касается сторон угла в точках A и B. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.

Радиус окружности перпендикулярен касательной в точке касания, поэтому углы CAO и OBC равны 90°. Сумма углов четырёхугольника равна 360°, откуда:

Сторона AC треугольника ABC содержит центр описанной около него окружности. Найдите , если . Ответ дайте в градусах.

Так как AC — диаметр окружности, то дуга AC равна сумме дуг AB и BC и равна 180°. А так как углы ACB и BAC — вписанные и опираются на эти дуги, то их сумма равна , а значит,

Источник

Задачи с вписанной окружностью огэ

В окружности с центром О проведены две хорды АВ и CD так, что центральные углы АОВ и СОD равны. На эти хорды опущены перпендикуляры ОК и OL. Докажите, что ОК и OL равны.

Треугольники АОВ и СОD равны по двум сторонам и углу между ними (AO = BO = CO = DO как радиусы окружности, ∠AOB = ∠COD по условию). Следовательно, высоты OK и OL равны как соответственные элементы равных треугольников.

Окружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках A и B, причём точки I и J лежат по одну сторону от прямой AB. Докажите, что отрезки AB и IJ перпендикулярны.

Точка I равноудалена от A и B, поэтому она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB. То же можно сказать и о J . Значит, IJ — серединный перпендикуляр к AB.

Задание 25 № 341422

Окружности с цен­тра­ми в точ­ках I и J пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках A и B, причём точки I и J лежат по одну сто­ро­ну от пря­мой AB. Докажите, что от­рез­ки AB и IJ перпендикулярны.

Читайте также:  Одна сторона равнобедренного треугольника на 3 см больше другой стороны

Решение: IA и IB — радиусы окружности с центром в точке I => IA = IB => треугольник IAB — равнобедренный.

Проведем медиану IJ к стороне AB. Т.к. треугольник IAB — равнобедренный, то IJ также является высотой, проведённой AB => AB и IJ перпендикулярны, что и требовалось доказать.

В окружности с центром O проведены две равные хорды и MN. На эти хорды опущены перпендикуляры OH и OS. Докажите, что OH и OS равны.

Проведем ОK, ON, OL, OM — радиусы. Треугольники KOL и MON равны по трем сторонам, тогда высоты OH и OS также равны как элементы равных треугольников. Что и требовалось доказать.

В окружности через середину O хорды AC проведена хорда BD так, что дуги AB и CD равны. Докажите, что O — середина хорды BD.

Вписанные углы ADB, CBD , ACB и DAC опираются на равные дуги, значит, они равны.

Получаем, что треугольники СOВ и AOD подобны по двум углам; их коэффициент подобия равен AO:OC. Поскольку AO = OC , эти треугольники равны, следовательно, BO = OD.

Окружности с центрами в точках O1 и O2 не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении m:n. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как m:n.

Проведём построения и введём обозначения, как показано на рисунке. Пусть Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, углы и равны как вертикальные, следовательно, треугольники подобны, откуда

Источник

Задачи с вписанной окружностью огэ

Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 12. Окружность радиуса 8 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC .

Пусть Ox — центр данной окружности, а Q — центр окружности, вписанной в треугольник ABC . Точка касания M окружностей делит AC пополам. AQ и AO — биссектрисы смежных углов, значит, угол OAQ прямой. Из прямоугольного треугольника OAQ получаем:

В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 5, 4 и 3. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Читайте также:  Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их радиусов то эти окружности не имеют

Сделаем построения и введём обозначения, как показано на рисунке. Пусть O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис, поэтому — биссектрисы. Из прямоугольного треугольника AOK по теореме Пифагора найдём

Отрезки и OK равны как радиусы вписанной в треугольник ABC окружности, то есть Рассмотрим треугольники ALO и AOK, они прямоугольные, углы LAO и OAK равны, AO — общая, следовательно, треугольники равны, откуда Аналогично из равенства треугольников COM и COK получаем а из равенства треугольников BOL и BOMПлощадь треугольника ABC можно найти как произведение радиуса вписанной окружности на полупериметр:

Площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание:

Рассмотрим треугольники ABC и ACD, AB равно CD, AD равно BC, углы ABC и ADC равны, следовательно, треугольники ABC и ACD равны. Поэтому площадь треугольника ABC равна половине площади параллелограмма:

Площадь параллелограмма равна:

Ответ:

Приведем другое решение.

Сделаем построения и введём обозначения, как показано на рисунке. Пусть O— центр окружности, вписанной в треугольник ABC, точки K, K, M — точки касания окружности со сторонами AC,AB и BC соответственно.

Из прямоугольного треугольника AOK по теореме Пифагора найдём AK:

Из прямоугольного треугольника AOH найдем AH:

Следовательно, треугольники AOK и AOH равны по трем сторонам, тогда ∠OAK = ∠AOH.

Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис треугольника, следовательно, AO — биссектриса, тогда ∠BAO = ∠OAK = ∠AOH. Углы BAO и AOH — накрестлежащие при пересечении прямых AB и OH секущей AO, следовательно, прямые AB и OH параллельны, значит, ABCD — прямоугольник.

Пусть r — радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, r = OK = 3.

В прямоугольном треугольнике ABC AL = AK = 4, LB = BM = r = 3, MC = CK по свойству касательных. Пусть MC = CK = x. Тогда по теореме Пифагора

Следовательно, стороны прямоугольника ABC: AB = 4 + 3 = 7, BC = 3 + 21 = 24, тогда его площадь

Источник

Задачи с вписанной окружностью огэ

Центральный угол AOB опирается на хорду AB длиной 6. При этом угол OAB равен 60°. Найдите радиус окружности.

Рассмотрим треугольник AOB: он равнобедренный, его боковые стороны равны радиусу.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Пусть AOB равен x, тогда x + 60° + 60° = 180°, где x = 60°. Треугольник, у которого все углы равны, — равносторонний треугольник; значит, радиус равен 6.

Читайте также:  Прямоугольные банкетки для прихожей

В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OCD равен 30°. Найдите величину угла OAB.

Вписанные углы ВСD и ВАD опираются на одну и ту же дугу окружности, поэтому они равны. Тем самым, угол OAB = 30°.

Найдите градусную меру центрального ∠MON, если известно, NP — диаметр, а градусная мера ∠MNP равна 18°.

Треугольник MON — равнобедренный. Тогда ∠MON = 180° − 2·18° = 144°.

Найдите ∠DEF, если градусные меры дуг DE и EF равны 150° и 68° соответственно.

Дуга FD, не содержащая точку Е, равна 360° − 150° − 68° = 142°, поэтому ∠DEF = 71°.

Найдите градусную меру ∠ACB, если известно, что BC является диаметром окружности, а градусная мера центрального ∠AOC равна 96°.

Так как ∠AOC и ∠AOB — смежные, ∠AOB = 180° − ∠AOC = 84°. Центральный угол равен дуге, на которую он опирается, поэтому градусная мера дуги AB равна 84°. Угол ACB — вписанный и равен половине дуги, на которую опирается, поэтому ∠ACB = 42°.

Приведем решение Артура Ахметьянова.

Треугольник AOC равнобедренный, поскольку AO = OC как радиусы окружности, тогда

Источник

Задачи с вписанной окружностью огэ

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 4. Угол при вершине, противолежащий основанию, равен 120°. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.

Воспользуемся теоремой косинусов:

(здесь a и b — боковые стороны равнобедренного треугольника, c — основание.

Диаметр описанной окружности найдем по обобщенной теореме синусов:

Вместо того, чтобы искать основание треугольника, можно было найти угол при основании. Действительно, сумма углов при основании данного равнобедренного треугольника равна 60°. Эти углы равны, поэтому каждый из них равен 30°. Применяя обобщенную теорему синусов для боковой стороны и противолежащего ей угла, получаем:

Приведем решение Андрея Ларионова.

Угол при основании равен

Следовательно, дуга описанной окружности, на которую он опирается, равна 2 · 30° = 60°. Эту дугу стягивает боковая сторона треугольника.

Хорда, стягивающая дугу в 60°, равна радиусу окружности, поэтому радиус описанной окружности равен боковой стороне треугольника, тогда D = 2 · 4 = 8.

Источник

Поделиться с друзьями
Объясняем