Задачи про диагонали трапеции



Задачи про диагонали трапеции

Найдите угол АDС равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием ВС и боковой стороной АВ углы, равные 30° и 50° соответственно.

Сумма углов треугольника АВС равна 180°, поэтому угол ABC равен 180° − 30° − 50° = 100°. Сумма противоположных углов равнобедренной трапеции равна 180°, поэтому 180° − 100° = 80°.

Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 140°. Найдите больший угол трапеции. Ответ дайте в градусах.

Так как сумма односторонних углов трапеции равна 180°, в условии говорится о сумме углов при основании. Поскольку трапеция является равнобедренной, углы при основании равны. Значит, каждый из них равен 70°. Сумма односторонних углов трапеции равна 180°, поэтому больший угол равен 180° − 70° = 110°.

Найдите меньший угол равнобедренной трапеции, если два ее угла относятся как 1:2. Ответ дайте в градусах.

Пусть x — меньший угол трапеции, а 2x — больший угол. У равнобедренной трапеции углы при основаниях равны, поэтому их сумма равна x + 2x + x + 2x = 6x. Поскольку она равна 360°, находим: х = 60°.

Основания трапеции равны 4 см и 10 см. Диагональ трапеции делит среднюю линию на два отрезка. Найдите длину большего из них.

Так как KN — средняя линия трапеции, то KL и LN средние линии треугольников ABC и СAD соответственно.

,

Найдите угол ABC равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ AC образует с основанием AD и боковой стороной CD углы, равные 30° и 80° соответственно.

Сумма углов треугольника ACD равна 180°, поэтому . Так как основания трапеции параллельны, углы CAD и BCA равны как накрестлежащие. Так как трапеция равнобедренная, сумма её противоположных углов равна 180°, поэтому .

Источник

Задачи про диагонали трапеции

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Площадь четырёхугольника равна разности площади большого квадрата четырех прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного треугольника. Поэтому

Площадь четырёхугольника, диагонали которого перпенликулярны, равна половине произведения диагоналей. Поэтому искомая площадь равна 3.

Читайте также:  Огэ по математике равнобедренные треугольники

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Площадь четырёхугольника равна разности площади большого квадрата, двух маленьких прямоугольников и четырёх прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного четырёхугольника. Поэтому

Площадь четырёхугольника, диагонали которого перпенликулярны, равна половине произведения диагоналей. Поэтому искомая площадь равна 4.

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Площадь четырехугольника (в том числе невыпуклого) равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними. Диагонали изображенного на рисунке четырехугольника являются взаимно перпендикулярными диагоналями квадратов со стороной 1. Поэтому длины диагоналей равны , а синус угла между ними равен 1. Тем самым, площадь четырехугольника равна 1.

Приведём другое решение.

Ещё четыре решения

приведены читателями в комментариях ниже.

Ещё один вариант решения: можно достроить фигуру симметрично относительно диагонали. Получим ромб в ромбе, у бОльшего ромба бОльшая диагональ будет равна , у меньшего — , вторая диагональ у них общая и равна . Площадь искомой фигуры равна половине разности площадей ромбов:

Можно дорисовать основание, чтобы получился треугольник. Из его площади можно вычесть площадь незакрашенного треугольника. Основанием будет диагональ квадрата со стороной 1, а высоты — 2,5 диагонали и 1,5 диагонали.

Проведём ось симметрии. Половина искомой площади получится, если из площади прямоугольного треугольника с катетами 3 и 3 вычесть площадь треугольника с катетами 2 и 3 и площадь треугольника с основанием 1 и высотой 2. Получаем: 4,5 − 3 − 1 = 0,5, тогда искомая площадь: 0,5 · 2 = 1.

Найдите площадь ромба, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Площадь четырёхугольника равна разности площади большого квадрата, двух маленьких квадратов и четырёх прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного треугольника. Поэтому

Этот четырёхугольник — ромб, его площадь равна половине произведения диагоналей. Диагонали ромба можно найти по теореме Пифагора, они равны и Поэтому площадь равна 32.

Читайте также:  Автокад как закрасить окружность

Найдите площадь ромба, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Площадь четырёхугольника равна разности площади большого квадрата, двух маленьких квадратов и четырёх прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного треугольника. Поэтому

Наш четырёхугольник — ромб, его площадь равна половине произведения диагоналей. Диагонали ромба можно найти по теореме Пифагора, они равны и Поэтому площадь равна 15.

На основаниях AD и BC трапеции ABCD построены квадраты ADMN и BCRS, расположенные вне трапеции. Диагонали трапеции пересекаются в точке T.

а) Докажите, что центры квадратов и точка T лежат на одной прямой.

б) Найдите длину отрезка RN, если а

а) Обозначим центры квадратов за O и Q. Рассмотрим треугольники OCT и QAT. Докажем, что они подобны:

Значит, Поскольку C, T, A лежат на одной прямой, отсюда следует, что O, T, Q лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.

б) Аналогично пункту а) можно доказать подобие треугольников RCT и NAT (вместо угла будет угол а поскольку ). Поэтому точки R, T, N лежат на одной прямой. Коэффициент подобия треугольников равен

Ответ: б)

На диагонали параллелограмма взяли точку, отличную от её середины. Из неё на все стороны параллелограмма (или их продолжения) опустили перпендикуляры.

а) Докажите, что четырёхугольник, образованный основаниями этих перпендикуляров, является трапецией.

б) Найдите площадь полученной трапеции, если площадь параллелограмма равна 16, а один из его углов равен 60°.

а) Рассмотрим параллелограмм ABCD и точку N на диагонали AC. Опустим из нее перпендикуляры на стороны параллелограмма так, как показано на рисунке. Заметим теперь, что четырехугольники NPCR и NSAQ вписанные, так как в них есть по два противоположных прямых угла. Тогда по свойству вписанного угла получаем, что и Но углы PCN и NAQ равны из параллельности прямых и AD. Значит, равны и углы PRN и NSQ, а значит прямые PR параллельны SQ. Заметим, что точка N отлична от середины диагонали, следовательно, NP не равно NQ. Следовательно, в четырехугольнике SPRQ две стороны параллельны, но при этом он не является параллелограммом, поскольку его диагонали не делятся точкой пересечения пополам, значит, он является трапецией. Что и требовалось доказать.

Читайте также:  Как рассчитать площадь однобокой трапеции

б) Диагонали трапеции соответственно перпендикулярны сторонам параллелограмма, поэтому острый угол между ними равен острому углу параллелограмма, то есть 60°. Площадь параллелограмма равна Площадь трапеции равна

Диагонали равнобокой трапеции ABCD пересекаются под прямым углом. ВН — высота к большему основанию CD, EF — средняя линия трапеции.

а) Докажите, что BH = DH.

б) Найдите площадь трапеции, если EF = 5.

а) Чтобы найти площадь трапеции поступим так.

Отложим на луче НС от точки С отрезок, равный АВ, конец отрезка обозначим К, соединим отрезком точки В и К. Полученный четырехугольник ВАСК — параллелограмм по признаку параллелограмма (AB || KС, AB = ). Значит, BK || AC (по определению параллелограмма). По условию задачи известно, что Так как BK || AC, то т. е. Следовательно, около можно описать окружность с центром в точке Н и радиусом R = BH = KH = DH. Итак,

Из последнего равенства получаем и то, что требовалось доказать в подпункте «а», т. е. BH = DH. Далее. KD = KC + CD = AB + CD. Но по свойству средней линии трапеции. т. е. Отсюда вывод: в равнобочной трапеции, у которого диагонали взаимно перпендикулярны, высота равна средней линии этой же трапеции.

б) Так как площадь трапеции равна произведению ее средней линии и высоты, то площадь трапеции будет равна квадрату ее средней линии.

Замечание: то, что требуется доказать подпунктом «а», можно было вести и так:

Пусть O — точка пересечения диагоналей трапеции. Докажем, что BH = DH. Поскольку заданная трапеция равнобедренная, в Значит, как внутренние накрест лежащие при параллельных ВА, СD и секущей ВD. Следовательно, В таком случае в где

Отсюда: — равнобедренный, т. е. BH = DH, что и требовалось доказать.

Источник

Поделиться с друзьями
Объясняем