Задачи по геометрии на тему описанная окружность

Задачи по геометрии на тему описанная окружность

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 6. Найдите высоту этого треугольника.

значит,

Приведем другое решение.

Высота правильного треугольника равна 3 радиусам вписанной окружности, поэтому она равна 18.

Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60°, большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

Окружность, описанная вокруг трапеции, описана и вокруг треугольника Это треугольник равнобедренный, угол при вершине равен 120°, углы при основании равны 30°. Найдем его боковую сторону:

откуда Тогда по теореме синусов:

Приведем другое решение (Р. А., СПб.).

Хорды AD, DC и CB равны, поэтому равны и стягиваемые ими дуги. Вписанный угол А равен 60°, он опирается на две из этих дуг и равен половине их суммы. Поэтому каждая из дуг равна 60°, их сумма равна 180°, а хорда АВ является диаметром. Отсюда получаем, что искомый радиус равен 6.

Источник

Задачи по теме:»Окружность»
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (9 класс) по теме

Подбор задач по теме:»Вписанная и описанная окружность» . Можно применять в уроках практикумах, на зачётах.

Скачать:

Вложение Размер
okruzhnost.docx 359.42 КБ

Предварительный просмотр:

Окружность, вписанная в треугольник

1. Периметр треугольника равен 12, а радиус вписанной окружности равен 1. Найдите площадь этого треугольника.

2. Площадь треугольника равна 24, а радиус вписанной окружности равен 2. Найдите периметр этого треугольника.

3. Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

4. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен . Найдите сторону этого треугольника.

5. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен 2. Найдите гипотенузу этого треугольника. В ответе укажите .

6. Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

7. В треугольнике , , угол равен 90°. Найдите радиус вписанной окружности.

8. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5, основание равно 6. Найдите радиус вписанной окружности.

9. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник , считая стороны квадратных клеток равными 1.

Окружность, вписанная в четырехугольник

1. Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат со стороной 4.

2. Найдите сторону квадрата, описанного около окружности радиуса 4.

3. Сторона ромба равна 1, острый угол равен . Найдите радиус вписанной окружности этого ромба.

4. Острый угол ромба равен . Радиус вписанной в этот ромб окружности равен 2. Найдите сторону ромба.

5. Найдите высоту трапеции, в которую вписана окружность радиуса 1.

6. Периметр четырехугольника, описанного около окружности, равен 24, две его стороны равны 5 и 6. Найдите большую из оставшихся сторон.

7. Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как . Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен 32.

8. Около окружности, радиус которой равен , описан квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

9. Найдите радиус окружности, вписанной в четырехугольник . Считайте, что стороны квадратных клеток равны 1. В ответе укажите .

Окружность, вписанная в многоугольник

1. Около окружности, радиус которой равен 3, описан многоугольник, периметр которого равен 20. Найдите его площадь.

2. Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен .

3. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной .

Источник

Задачи по геометрии на тему описанная окружность

—> Задача с решением из Пособия для старшеклассников и абитуриентов по геометрии из раздела:
Окружность: Вписанная и описанная окружность

1 Найдите основание равнобедренного треугольника, если центр вписанной в него окружности делит высоту, проведенную к основанию, в отношении 12:5, считая от вершины, а боковая сторона равна 60 см.
РЕШЕНИЕ

2 Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности равен 10 см.
РЕШЕНИЕ

3 Докажите, что площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.
РЕШЕНИЕ

4 Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность и можно описать около него окружность, то этот параллелограмм квадрат
РЕШЕНИЕ

1 Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит одну из боковых сторон на отрезки, равные 3 см и 4 см, считая от основания. Найдите периметр треугольника.
РЕШЕНИЕ

2 Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника равен 120, боковая сторона треугольника равна 8 см. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.
РЕШЕНИЕ

3 Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм ромб
РЕШЕНИЕ

4 Отрезок AB является диаметром окружности, а хорды BC и AD параллельны. Докажите, что хорда CD является диаметром.
РЕШЕНИЕ

1 В треугольник ABC вписана окружность, которая касается сторон AB, BC и СА в точках P, Q и R. Найдите АР, РВ, BQ, QC, CR, RA, если AB = 10 см, BC = 12 см, СА = 5 см.
РЕШЕНИЕ

2 Окружность с центром О описана около прямоугольного треугольника. Докажите, что точка O середина гипотенузы. Найдите стороны треугольника, если диаметр окружности равен d, а один из острых углов треугольника равен α
РЕШЕНИЕ

3 Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 10 см, а его площадь 12 см2. Найдите радиус окружности, вписанной в этот четырехугольник.
РЕШЕНИЕ

4 В равнобедренный треугольник вписана окружность с центром O1 и около него описана окружность с центром О2. Докажите, что точки лежат на серединном перпендикуляре к основанию треугольника
РЕШЕНИЕ

5 В трапецию с основаниями a и b можно вписать окружность и можно описать около него окружность, то этот параллелограмм квадрат
РЕШЕНИЕ

Источник

Решение задач по теме «Вписанная и описанная окружности»

Урок №7. СКАЧИВАЙТЕ файл на устройства, чтобы все знаки и формулы были видны и распознаны. Во время чтения файла онлайн происходит потеря формул.

Просмотр содержимого документа
«Решение задач по теме «Вписанная и описанная окружности»»

Тема: Решение задач по теме «Вписанная и описанная окружности»

Задачи: продолжить формирование навыков решения задач по теме.

Центр вписанной в треугольник окружности находится в точке пересечения его биссектрис.

Центр описанной около треугольника окружности находится в точке пересечения серединных перпендикуляров.

Формулы нахождения радиуса вписанной r и описанной R около треугольника окружностей.

Для любого треугольника:

Для равностороннего треугольника.

Задача 1. В равнобедренном треугольнике MKN боковые стороны равны 26, а основание – 20. В треугольник вписана окружность с радиусом ОЕ. Найти длину ОЕ.

Решение (краткое). Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник можно вычислить по стандартной формуле , где р – полупериметр.

Ответ: .

Задача 2. Прямоугольный треугольник KMN описан около окружности радиуса 13. Один из катетов треугольника равен 24. Найти периметр треугольника.

Решение (краткое). MN=d=2r=26, по теореме Пифагора KN=10, Р=60.

Задача 3. Равнобедренный треугольник АВС вписан в окружность, отрезок ОD=4. Найти площадь треугольника.

Решение (краткое). ОВ=5, ОС=ОВ=5, СD=9, S=0.5*9*6=27.

Задача 4. Прямоугольный треугольник описан около окружности. Точка D делит гипотенузу на две части, длинами по 10 и 24. Найти периметр треугольника.

Решение (краткое). DB=DK=10, AD=AM=24.

KOMC – квадрат, т.к. ОК перпендикулярен СВ, ОМ перпендикулярен АС и KC=CM, OK=OM=r.

Пусть KC=CM=х, тогда ВС=10+х, АС=24+х, АВ=24+10=34.

Источник

Задачи по геометрии на тему описанная окружность

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 4. Угол при вершине, противолежащий основанию, равен 120°. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.

Воспользуемся теоремой косинусов:

(здесь a и b — боковые стороны равнобедренного треугольника, c — основание.

Диаметр описанной окружности найдем по обобщенной теореме синусов:

Вместо того, чтобы искать основание треугольника, можно было найти угол при основании. Действительно, сумма углов при основании данного равнобедренного треугольника равна 60°. Эти углы равны, поэтому каждый из них равен 30°. Применяя обобщенную теорему синусов для боковой стороны и противолежащего ей угла, получаем:

Приведем решение Андрея Ларионова.

Угол при основании равен

Следовательно, дуга описанной окружности, на которую он опирается, равна 2 · 30° = 60°. Эту дугу стягивает боковая сторона треугольника.

Хорда, стягивающая дугу в 60°, равна радиусу окружности, поэтому радиус описанной окружности равен боковой стороне треугольника, тогда D = 2 · 4 = 8.

Источник

Читайте также:  Невидимые вершины прямоугольного параллелепипеда
Поделиться с друзьями
Объясняем