Задачи на решение равнобедренного треугольника с решением

Задачи на решение равнобедренного треугольника с решением

Самостоятельная работа № 4
Указания к решению и ОТВЕТЫ

С-4. I уровень сложности (ответы)

Задания и Ответы на Вариант 1 (уровень 1)

№ 1. Дано: AD = CD, АС ⊥ BD (рис. 2.72). Доказать: ΔАВС – равнобедренный.
ОТВЕТ. Доказательство: ΔABD = ΔCBD (AD = CD, BD – общая сторона, ∠ADB = 90° = ∠CDВ), тогда АВ = ВС и ΔАВС – равнобедренный (рис. 2.84).

№ 2. Дано: ΔАВС – равнобедренный, АО = СО (рис. 2.73). Доказать: ΔABO = ΔСВО.
ОТВЕТ. Доказательство: АВ = ВС, ∠A = ∠C (объясни самостоятельно), тогда ΔАВО = ΔСВО (докажи самостоятельно) (рис. 2.85).

№ 3. Периметр равнобедренного треугольника равен 36 см, основание равно 10 см. Найдите боковую сторону этого треугольника.
Решение: АВ = ВС (объясни), РА = АВ + ВС + АС = 36 см.
АВ + ВС = 36 – 10 = 26 см. АВ = ВС = 13 см (почему?) (рис. 2.86).
ОТВЕТ: 13 см.

Задания и Ответы на Вариант 2 (уровень 1)

№ 1. Дано: D – середина АС, ∠ADF = 90° (рис. 2.74). Доказать: ΔАВС – равнобедренный.
ОТВЕТ. Доказательство: ΔABD = ΔCBD (AD = DC, BD – общая сторона, ∠ADB = ∠CDB = 90°), тогда АВ = ВС и ΔАВС – равнобедренный (рис. 2.87).

№ 2. Дано: ΔАВС – равнобедренный, ВО – биссектриса (рис. 2.75). Доказать: ΔAВО = ΔСВО.
ОТВЕТ. Доказательство: АВ = ВС, ∠1 = ∠2 (объясни), тогда ΔABO = ΔСВО (докажи) (рис. 2.88).

№ 3. Периметр равнобедренного треугольника равен 48 см, боковая сторона – 15 см. Найдите основание этого треугольника.
Решение: АВ = ВС = 15 см (объясни). PАВС = АВ + ВС + АС = 48 см.
АС = 48 – 15 • 2 = 18 см (почему?) (рис. 2.89).
ОТВЕТ: 18 см.

Геометрия 7 Атанасян Самостоятельная 4

С-4. II уровень сложности (ответы)

Задания и Ответы на Вариант 1 (уровень 2)

№ 1. Дано: АВ = ВС, ∠1 = ∠2 (рис. 2.76). Доказать: ΔАDC – равнобедренный.
ОТВЕТ. Доказательство: ΔABD = ΔCBD (докажи). AD = DC (почему?). Тогда ΔADC – … (рис. 2.90)

№ 2. Дано: ΔАВС – равнобедренный с основанием АС. АО и СО – высоты в ΔАВС (рис. 2.77). Доказать: ΔАОС – равнобедренный.
ОТВЕТ. Доказательство: АО и СО – высоты, тогда ВО – также высота (объясни) (рис. 2.91).
Так как ВО – высота, проведенная к …, то ВО – …, тогда ∠1 = ∠2.
ΔАВО = ΔСВО (докажи), значит, …, ΔАОС – … .

Читайте также:  Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника делит медиану

№ 3. Периметр равнобедренного треугольника равен 37 см. Основание меньше боковой стороны на 5 см. Найдите стороны этого треугольника.
Решение: x + x + x – 5 = 37 (почему?) (рис. 2.92).
ОТВЕТ: 14 см, 14 см, 9 см.

Задания и Ответы на Вариант 2 (уровень 2)

№ 1. Дано: АВ = ВС, ∠1 = ∠2 (рис. 2.78). Доказать: ΔADC – равнобедренный.
ОТВЕТ: Доказательство: ΔABD = ΔCBD (докажи). AD = CD (почему?). Тогда ΔADC – … (рис. 2.93).

№ 2. Дано: ΔАВС – равнобедренный с основанием АС, АО и СО – медианы в ΔАВС (рис. 2.79). Доказать: ΔАОС – равнобедренный.
ОТВЕТ: Доказательство: АО и СО – медианы, тогда ВО – также медиана (объясни) (рис. 2.94).
Так как ВО – медиана, проведенная к …, то ВО – …, тогда ∠1 = ∠2.
ΔАВО = ΔСВО (докажи), значит, …, ΔАОС – …

№ 3. Периметр равнобедренного треугольника равен 45 см. Боковая сторона меньше основания на 3 см. Найдите стороны треугольника.
Решение: х – 3 + x – 3 + x = 45 (почему?) (рис. 2.95).
ОТВЕТ: 17 см, 14 см, 14 см.

Геометрия 7 Атанасян Самостоятельная 4.

С-4. III уровень сложности (ответы)

Задания и Ответы на Вариант 1 (уровень 3)

№ 1. Дано: ΔADC – равнобедренный, ∠1 = ∠2 (рис. 2.80). Доказать: ΔАВС – равнобедренный.
ОТВЕТ. Доказательство: AD = DC (почему?). ΔABD = ΔCBD по … . ΔАВС – … (рис. 2.96).

№ 2. Дано: ΔMBN – равнобедренный с основанием MN, AN = СМ (рис. 2.81). Доказать: ΔАВС – равнобедренный.
ОТВЕТ. Доказательство: МВ = BN, AM = CN (объясни). ∠1 = ∠2, тогда ∠3 = ∠4 (объясни) (рис. 2.97). ΔABM = ΔCBN по …, тогда ΔАВС – … .

№ 3. Сумма двух сторон равнобедренного треугольника равна 26 см, а периметр равен 36 см. Какими могут быть стороны этого треугольника?
Решение: АВ + ВС = 26 см, тогда АС = 10 см (объясни).
Возможны два случая (рис. 2.98):
а) АВ = ВС = 13 см.
б) АС = АВ = 10 см. Тогда ВС = 16 см.
ОТВЕТ: 13 см, 13 см, 10 см или 10 см, 10 см, 16 см.

Задания и Ответы на Вариант 2 (уровень 3)

№ 1. Дано: ΔАВС – равнобедренный, ∠1 = ∠2 (рис. 2.82). Доказать: ΔADC – равнобедренный.
ОТВЕТ. Доказательство: АВ = ВС (почему?) (рис. 2.99). ΔABD = ΔCBD по … . ΔADC – … .

№ 2. Дано: ΔАВС – равнобедренный с основанием АС, АЕ = DC (рис. 2.83). Доказать: ΔDBE – равнобедренный.
ОТВЕТ. Доказательство: АВ = ВС, AD = СЕ (почему?), ∠1 = ∠2 (объясни) (рис. 2.100).
Тогда Δ … = Δ … по …, значит, ΔDBE – … .

№ 3. Одна из сторон равнобедренного треугольника равна 8 см, а периметр равен 26 см. Какими могут быть другие стороны этого треугольника?
Решение: АВ = 8 см, тогда ВС + АС = 18 см (объясни).
Возможны два случая (рис. 2.101):
а) АВ = ВС, АС = 10 см.
б) АС = ВС = 9 см.
ОТВЕТ: 8 см, 8 см, 10 см или 9 см, 9 см, 8 см.

Читайте также:  Акриловая ванна большого размера прямоугольная

Вы смотрели: Геометрия 7 класс (УМК Атанасян и др. — Просвещение). Урок 17. Решение задач по теме «Равнобедренный треугольник». Самостоятельная работа № 4 с ответами и решениями (3 уровня сложности по 2 варианта в каждом). Геометрия 7 Атанасян Самостоятельная 4. Ориентировано на работу с базовым учебником: «Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7—9 классы. Учебник для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение».

Источник

Задачи на решение равнобедренного треугольника с решением

Равнобедренный треугольник — треугольнику которого две стороны равны.
Равные стороны называют боковыми сторонами, а третью сторону — основанием.

Свойства равнобедренного треугольника были известны с давних времен. Еще древние вавилоняне (II в. до н.э.) знали, что углы у основания равнобедренного треугольника равны. Любой треугольник можно разрезать на равнобедренные треугольники.

Свойства и признаки равнобедренного треугольника

Свойства равнобедренного треугольника:
1. У равнобедренного треугольника углы у основания равны (теорема).
2. Медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию, совпадают (теорема).
3. Медианы равнобедренного треугольника, проведенные к боковым сторонам, равны.
4. Высоты равнобедренного треугольника, проведенные к боковым сторонам, равны.
5. Биссектрисы равнобедренного треугольника, проведенные к боковым сторонам, равны.

Признаки равнобедренного треугольника:
Если у треугольника есть один из нижеуказанных признаков, то он равнобедренный:
— два угла равны,
— высота и медиана совпадают,
— высота и биссектриса совпадают,
— медиана и биссектриса совпадают,
— две медианы равны,
— две высоты равны,
— две биссектрисы равны.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ
КЛЮЧЕВЫХ ЗАДАЧ:

Задача № 1. Дано: ΔABC — равносторонний, ΔADC — равнобедренный (AD=CD), AC — общая сторона, BC = 8 см, PADC > PABC в 1,5 раза. Найти: CD.

Задача № 2. Дано: ΔABC — равнобедренный, AB = BC, AD — медиана, AB + BD = 27 см, AC + CD = 21 см. Найти: AB, BC, AC.

Задача № 3. Дано: ΔABC — равнобедренный, AB = BC, ∠1 = 130°. Найти: ∠2.

Теоретический тест
с последующей самопроверкой

  1. Медиана в равнобедренном треугольнике является его биссектрисой и высотой. Это утверждение:
    а) всегда верно;
    б) может быть верно;
    в) всегда неверно.
  2. Если треугольник равносторонний, то:
    а) он равнобедренный;
    б) все его углы равны;
    в) любая его высота является биссектрисой и медианой.
  3. В каком треугольнике только одна его высота делит треугольник на два равных треугольника?
    а) в любом;
    б) в равнобедренном;
    в) в равностороннем.
  4. Биссектриса в равностороннем треугольнике является медианой и высотой. Это утверждение:
    а) всегда верно;
    б) может быть верно;
    в) всегда неверно.
  5. Если треугольник равнобедренный, то:
    а) он равносторонний;
    б) любая его медиана является биссектрисой и высотой;
    в) два его угла равны.
  6. В каком треугольнике любая его высота делит треугольник на два равных треугольника?
    а) в любом;
    б) в равнобедренном;
    в) в равностороннем.
  7. Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник является:
    а) равносторонним;
    б) равнобедренным;
    в) прямоугольным.
  8. Если в треугольнике две стороны равны, то:
    а) у него равны два угла;
    б) у него все углы равны;
    в) этот треугольник равносторонний.
  1. Медиана в равнобедренном треугольнике является его биссектрисой и высотой. Это утверждение: б) может быть верно.
  2. Если треугольник равносторонний, то: а) он равнобедренный; б) все его углы равны; в) любая его высота является биссектрисой и медианой.
  3. В каком треугольнике только одна его высота делит треугольник на два равных треугольника? б) в равнобедренном.
  4. Биссектриса в равностороннем треугольнике является медианой и высотой. Это утверждение: а) всегда верно.
  5. Если треугольник равнобедренный, то: в) два его угла равны.
  6. В каком треугольнике любая его высота делит треугольник на два равных треугольника? в) в равностороннем.
  7. Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник является: б) равнобедренным.
  8. Если в треугольнике две стороны равны, то: а) у него равны два угла.
Читайте также:  Как посчитать катет прямоугольного треугольника через угол

Вы смотрели конспект по теме «Равнобедренный треугольник + ЗАДАЧИ по теме». Выберите дальнейшие действия:

Источник

Задания по теме «Равнобедренный треугольник»

Открытый банк заданий по теме равнобедренный треугольник. Задания B6 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №891

Условие

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30^<\circ>. Боковая сторона треугольника равна 14 . Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Площадь треугольника можно найти как половину произведения двух его сторон на синус угла между ними. В заданном треугольнике площадь S=\frac12\cdot14\cdot14\cdot\sin30^<\circ>=49.

Ответ

Задание №75

Условие

В треугольнике ABC угол A = 30^ <\circ>, AC = BC . Найдите угол C .

Решение

Углы при основании равнобедренного треугольника равны, значит \angle B = \angle A = 30^ <\circ>. Зная, что сумма углов треугольника равна 180^ <\circ>, найдем искомый угол:

\angle C = 180^<\circ>-2 \cdot 30^ <\circ>= 120^

Ответ

Задание №74

Условие

В равнобедренном треугольнике ABC стороны AB = BC , AC = 16 , CH = 4 . Найдите синус угла ACB .

Решение

Так как в равнобедренном треугольнике стороны при основании равны, то ∠ ACB = ∠ CAB . Рассмотрим треугольник AHC . Синус угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, т.е.:

Ответ

Задание №73

Условие

Найдите площадь равнобедренного треугольника, если угол, противолежащий основанию, равен 30^ <\circ>, а боковая сторона равна 12 .

Решение

Площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними, т.е.:

S = \frac12\cdot a\cdot b\cdot \sin \alpha

Подставим значения и получим:

S = \frac12\cdot 12\cdot 12\cdot \sin 30^<\circ>=36

Источник

Решение задач по теме: «Равнобедренный треугольник»

Просмотр содержимого документа
«Решение задач по теме: «Равнобедренный треугольник»»

1. Треугольник называется равнобедренным, если … его боковые стороны равны

2. Равные стороны равнобедренного треугольника называются … боковыми сторонами

3. Третья сторона называется … основанием

5. Если Р ΔAMK = 15 см, а основание 3 см, то боковые стороны равны … 6 см.

6. В равнобедренном треугольнике углы при … основании равны.

7. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию является … медианой и высотой.

8. Если в треугольнике все стороны равны, то он называется … равносторонним.

Источник

Поделиться с друзьями
Объясняем