- Углы и отрезки, связанные с окружностью
- Просмотр содержимого документа «Углы и отрезки, связанные с окружностью»
- Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
- Отрезки и прямые, связанные с окружностью
- Свойства хорд и дуг окружности
- Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих
- Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
- Теорема о бабочке
Углы и отрезки, связанные с окружностью
Просмотр содержимого документа
«Углы и отрезки, связанные с окружностью»
Углы и отрезки, связанные с окружностью
ВС ┴ ОА , ВЕ – касательная.
2. Так как ВО =ОС – радиусы, то ∆ВОС – равнобедренный,
значит OD – биссектриса ∆ВОС, поэтому ے АОВ= ے АОС.
5. Следовательно, луч ВА является биссектрисой ے СВЕ.
М – точка касания окружностей,
АВ, А₁В₁ — секущие, АВ∩А₁В₁=М
Доказать, что АА₁ II ВВ₁.
1. Проведём прямую МК общую касательную к окружностям.
3. Но ے КМВ₁ = ے А₁МК₁ как вертикальные углы, то ے А₁АМ = ے МВВ₁.
4. Следовательно АА₁ II ВВ₁, так как ے А₁АМ и ے МВВ₁ накрест
Дано: АС – касательная к окр. (О₁; R₁), BD – касательная к окр. (О₂; R₂)
Доказать, что а) AD II BC; б) AB² = AD · BC; в) BD² : AC² = AD : BC.
б) 3) ∆ABD ̴ ∆ABC по I признаку подобия треугольников, то
Дано: ABCD – четырёхугольник, М ϵ (ABCD),
М – точка окружностей описанных около
∆ АВМ и ∆CDM, (ABM) ∩ (CDM) = M.
Доказать, что ے AMD = ے ABM + ے MCD.
1). Проведём через точку М касательную к окружности, описанной около ∆АВМ.
4). Следовательно КМ является касательной к окружности, описанной около ∆MCD.
5). Поэтому ے AMD = ے AMK + ے KMD = ے ABM + ے MCD.
окр. ∩ BC = P, Q, BP = CQ,
АВ, АС – касательные.
Доказать, что ∆АВС равнобедренный.
1). По теореме о касательной и секущей имеем
ВМ² = ВР·BQ, CN² = CQ·CP.
2). Так как BP = CQ, то BM² = BP·BQ = BP·(BP + PQ) = CQ·(CQ + PQ) = CQ·CP = CN², значит ВМ = СN.
3). ∆АОМ = ∆АОN по общей гипотенузе АО и катетам
MO = NO – радиусы, MO ┴ AB, NO ┴ AC, значит AM = AN.
4). Поэтому AB = AM + BM = AN + CN = AC, т.е. АВ = АС.
5). Следовательно ∆АВС равнобедренный.
Дано: окр. (О; R), AB ∩ CD = E,
Доказать, что EC = EB или EC = EA, ED = EB или ED = EA.
1). По теореме о пересечения хорд имеем AE · EB = CE · DE.
2). Так как хорды AB = CD, то выразим DE через AB,
DE = AE + EB – CE, AE · EB = CE · (AE + EB – CE),
AE·EB = CE·AE + CE·EB – CE²,
AE·EB – CE·AE – CE·EB + CE² = 0,
AE·(EB – CE) – CE·(EB – CE) = 0, (EB – CE)·(AE – CE) = 0.
3). Значит либо EB – CE = 0 или либо AE – CE = 0.
4). Следовательно EB = CE или AE = CE, тогда EB = ED или EA = ED.
Дано: окр. (О; R), КА – хорда,
КВ – касательная, ОN ﬩ OA,
ON ∩ KA = M, OM ∩ KB = N.
Доказать, что NK = NM.
1). Так как ОК- радиус, КВ – касательная, то ОК ﬩ КВ и КА ∩ ON = M, значит ے NKM = 90 ° — ے AKO.
2). ∆АОМ – равнобедренный (ОА = ОК – радиусы), то ے ОКА = ے ОАК.
3). ∆АОМ, ے АОМ = 90 °, (ON ﬩ OA) , то ے АМО = 90 ° – ے МАО.
4). Значит ے NKM = ے AMO.
5). Но ے АМО = ے NMK как вертикальные углы, значит ے NKM = ے NMK.
6). Следовательно ∆KMN равнобедренный, а значит NK = NM.
Дано: окр. (О; R), АВ, АС, В ₁ С ₁ — хорды, АВ ∩ В ₁ С ₁ = М,
АС ∩ В ₁ С ₁ = N, ᴗАВ ₁ = ᴗ В ₁ В, ᴗ АС ₁ = ᴗ С ₁ С.
Доказать, что AM =AN.
2). Но ᴗАВ ₁ = ᴗ В ₁ В и ᴗ АС ₁ = ᴗ С ₁ С, значит ے АМС ₁ = ے ANB ₁ .
3). Следовательно ∆AMN равнобедренный, поэтому AM =AN.
Дано: окр. (О; R), А, В, С, D ϵ окр.,
ВМ – биссектриса ∆АВС, ВМ ϵ BD.
Доказать, что ے AMD = ے BAD.
1). Так как ВМ – биссектриса ∆АВС, то ے АВМ = ے МВС.
2). Так как вписанные углы ے DBC и ے DAC опираются на одну и ту же ᴗ СD, то ے DВC = ے DAС.
3). Следовательно ے АВМ = ے МВС = ے DAС.
4). Из теоремы о сумме углов ∆АMD и ∆ABD, имеем ے AMD = 180 ° — ے DAМ – ے МDA, ے BAD = 180 ° –
– ے ABD – ے BDA, т.е. ے BAD = 180 ° – ے DAM – ے MDA.
5). Следовательно ے AMD = ے BAD.
Дано: ∆АВС, АА ₁ , ВВ ₁ – высоты.
Доказать, что А, В, А ₁ , В ₁ ϵ окр. (О; R).
1). Возьмем точку К ϵ АВ, так что АК = КВ.
2). Так как ∆АВВ ₁ , ے В ₁ = 90 ° , то КВ ₁ = КА = КВ.
3). Так как у прямоугольного треугольника центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, т.е. в точке К, то точки А, В, В ₁ ϵ окр. (К; КВ ₁).
4). Так как ∆АВА₁, ے А ₁ = 90 ° , то КА ₁ = КА = КВ.
5). Значит точки А, В, А ₁ ϵ окр. (К; КА ₁).
6). Следовательно точки А, В, А ₁ , В ₁ ϵ окр. (К; КВ ).
Дано: АВСD – вписанный четырёхугольник, АС ﬩ ВD – диагонали.
Доказать, что AB² + CD² = BC² + AD² = d².
1). Обозначим ے CAD = φ, тогда ے ADB = 90° – φ.
3). Выразим и сложим АВ = 2Rcos φ , CD = 2Rsin φ, тогда AB² + CD² = 4R².
4). По теореме Пифагора из треугольников имеем AB² + CD² = (BK² + AK²) + (CK² + DK²) = (BK² + CK²) + (AK² + DK²) = BC² + AD² = 4R² = d².
Источник
Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
 Отрезки и прямые, связанные с окружностью |
| Свойства хорд и дуг окружности |
| Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих |
| Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих |
| Теорема о бабочке |
Отрезки и прямые, связанные с окружностью
| Фигура | Рисунок | Определение и свойства | ||||||||||||||||||||||||||
| Окружность |  | |||||||||||||||||||||||||||
| Круг |  | |||||||||||||||||||||||||||
| Радиус |  | |||||||||||||||||||||||||||
| Хорда |  | |||||||||||||||||||||||||||
| Диаметр |  | |||||||||||||||||||||||||||
| Касательная |  | |||||||||||||||||||||||||||
| Секущая |  | |||||||||||||||||||||||||||
| Окружность |
|
Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности
Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью
Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности
Отрезок, соединяющий две любые точки окружности
Хорда, проходящая через центр окружности.
Диаметр является самой длинной хордой окружности
Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.
Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания
Прямая, пересекающая окружность в двух точках
Свойства хорд и дуг окружности
| Фигура | Рисунок | Свойство |
| Диаметр, перпендикулярный к хорде |  | Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам. |
| Диаметр, проходящий через середину хорды | Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам. | |
| Равные хорды |  | Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности. |
| Хорды, равноудалённые от центра окружности | Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны. | |
| Две хорды разной длины |  | Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности. |
| Равные дуги |  | У равных дуг равны и хорды. |
| Параллельные хорды |  | Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны. |
| Диаметр, перпендикулярный к хорде |
|
Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
У равных дуг равны и хорды.
Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих
| Фигура | Рисунок | Теорема | ||||||||||||||||
| Пересекающиеся хорды |  | |||||||||||||||||
| Касательные, проведённые к окружности из одной точки |  | |||||||||||||||||
| Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки |  | |||||||||||||||||
| Секущие, проведённые из одной точки вне круга |  | |||||||||||||||||
| Пересекающиеся хорды | ||
| ||
| Касательные, проведённые к окружности из одной точки | ||
| ||
| Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки | ||
| ||
| Секущие, проведённые из одной точки вне круга | ||
| ||
| Пересекающиеся хорды |
|
Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:
Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.
Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).
Тогда справедливо равенство
Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство
откуда и вытекает требуемое утверждение.
Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).
Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство
Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство
откуда и вытекает требуемое утверждение.
Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).
Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство
Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).
Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства
откуда и вытекает требуемое утверждение.
Теорема о бабочке
Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.
Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:
Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим
Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим
Воспользовавшись теоремой 1, получим
Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим
Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство
откуда вытекает равенство
что и завершает доказательство теоремы о бабочке.
Источник