Задача найти высоту прямоугольного параллелепипеда

Прямоугольный параллелепипед. Что это такое?

О чем эта статья:

10 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Определение параллелепипеда

Начнем с того, что узнаем, что такое параллелепипед.

Параллелепипедом называется призма, основаниями которой являются параллелограммы. Другими словами, параллелепипед — это многогранник с шестью гранями. Каждая грань — параллелограмм.

На рисунке два параллелограмма АВСD и A1B1C1D1. Основания параллелепипеда, расположены параллельно друг другу в плоскостях. А боковые ребра АA1, ВB1, CC1, DD1 параллельны друг другу. Образовавшаяся фигура — параллелепипед.

Внимательно рассмотрите, как выглядит параллелепипед и каковы его составляющие.

Когда пересекаются три пары параллельных плоскостей, образовывается параллелепипед.

Основанием параллелепипеда является, в зависимости от его типа: параллелограмм, прямоугольник, квадрат.

Параллелепипед — это:

Свойства параллелепипеда

Быть параллелепипедом ー значит неотступно следовать законам геометрии. Иначе можно скатиться до простого параллелограмма.

Вот 4 свойства параллелепипеда, которые необходимо запомнить:

  1. Противолежащие грани параллелепипеда равны и параллельны друг другу.
  2. Все 4 диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
  3. Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.
  4. Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Подготовка к ЕГЭ по математике онлайн в школе Skysmart — отличный способ освежить знания и снять стресс перед экзаменом.

Прямой параллелепипед

Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию.

Основание прямого параллелепипеда — параллелограмм. В прямом параллелепипеде боковые грани — прямоугольники.

Свойства прямого параллелепипеда:

  1. Основания прямого параллелепипеда — одинаковые параллелограммы, лежащие в параллельных плоскостях.
  2. Боковые ребра прямого параллелепипеда равны, параллельны и перпендикулярны плоскостям оснований.
  3. Высота прямого параллелепипеда равна длине бокового ребра.
  4. Противолежащие боковые грани прямого параллелепипеда — равные прямоугольники.
  5. Диагонали прямого параллелепипеда точкой пересечения делятся пополам.

На слух все достаточно занудно и сложно, но на деле все свойства просто описывают фигуру. Внимательно прочтите вслух каждое свойство, разглядывая рисунок параллелепипеда после каждого пункта. Все сразу встанет на места.

Формулы прямого параллелепипеда:

  • Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда
    Sб = Ро*h
    Ро — периметр основания
    h — высота
  • Площадь полной поверхности прямого параллелепипеда
    Sп = Sб+2Sо
    Sо — площадь основания
  • Объем прямого параллелепипеда
    V = Sо*h

Прямоугольный параллелепипед

Определение прямоугольного параллелепипеда:

Прямоугольным параллелепипедом называется параллелепипед, у которого основание — прямоугольник, а боковые ребра перпендикулярны основанию.

Внимательно рассмотрите, как выглядит прямоугольный параллелепипед. Отметьте разницу с прямым параллелепипедом.

Свойства прямоугольного параллелепипеда

Прямоугольный параллелепипед обладает всеми свойствами произвольного параллелепипеда.

  1. Прямоугольный параллелепипед содержит 6 граней. Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники.
  2. Противолежащие грани параллелепипеда попарно параллельны и равны.
  3. Все углы прямоугольного параллелепипеда, состоящие из двух граней — 90°.
  4. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
  5. В прямоугольный параллелепипеде четыре диагонали, которые пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
  6. Любая грань прямоугольного параллелепипеда может быть принята за основание.
  7. Если все ребра прямоугольного параллелепипеда равны, то такой параллелепипед является кубом.
  8. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты).
Читайте также:  Как скроить рукав для платья трапеция

Формулы прямоугольного параллелепипеда:

  • Объем прямоугольного параллелепипеда
    V = a · b · h
    a — длина, b — ширина, h — высота
  • Площадь боковой поверхности
    Sбок = Pосн·c=2(a+b)·c
    Pосн — периметр основания, с — боковое ребро
  • Площадь поверхности
    Sп.п = 2(ab+bc+ac)

Диагонали прямоугольного параллелепипеда: теорема

Не достаточно просто знать свойства прямоугольного параллелепипеда, нужно уметь их доказывать.

Если есть теорема, нужно ее доказать. (с) Пифагор

Теорема: Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

В данном случае, три измерения — это длина, ширина, высота. Длина, ширина и высота — это длины трех ребер, исходящих из одной вершины прямоугольного параллелепипеда.

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Доказать теорему.

Доказательство теоремы:

Чтобы найти диагональ прямоугольного параллелепипеда, помните, что диагональ — это отрезок, соединяющий противоположные вершины.

Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники.

ΔABD: ∠BAD = 90°, по теореме Пифагора

ΔB₁BD: ∠B₁BD = 90°, по теореме Пифагора

d² = d₁² + c² = a² + b² + c²

d² = a² + b² + c²

Доказанная теорема — пространственная теорема Пифагора.

Куб: определение, свойства и формулы

Кубом называется прямоугольный параллелепипед, все три измерения которого равны.

Каждая грань куба — это квадрат.

Свойства куба:

  1. В кубе 6 граней, каждая грань куба — квадрат.
  2. Противолежащие грани параллельны друг другу.
  3. Все углы куба, образованные двумя гранями, равны 90°.
  4. У куба четыре диагонали, которые пересекаются в центре куба и делятся пополам.
  5. Диагонали куба равны.
  6. Диагональ куба в √3 раз больше его ребра.
  7. Диагональ грани куба в √2 раза больше длины ребра.

Помимо основных свойств, куб характеризуется умением вписывать в себя тетраэдр и правильный шестиугольник.

Формулы куба:

  • Объем куба через длину ребра a
    V = a3
  • Площадь поверхности куба
    S = 6a2
  • Периметр куба
    P = 12a

Решение задач

Чтобы считать тему прямоугольного параллелепипеда раскрытой, стоит потренироваться в решении задач. 10 класс — время настоящей геометрии для взрослых. Поэтому, чем больше практики, тем лучше. Разберем несколько примеров.

Задачка 1. Дан прямоугольный параллелепипед. Нужно найти сумму длин всех ребер параллелепипеда и площадь его поверхности.

Для наглядного решения обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда: a — длина, b — ширина, c — высота. Тогда a = 10, b = 5, c = 8.

Так как в прямоугольном параллелепипеде всего по 4 — высота, ширина и длина, и все измерения равны между собой, то:
1) 4 * 10 = 40 (см) — сумма длин параллелепипеда;
2) 4 * 5 = 20 (см) — суммарное значение ширины параллелепипеда;
3) 4 * 8 = 32 (см) — сумма высот параллелепипеда;
4) 40 + 20 + 32 = 92 (см) — сумма длин всех ребер прямоугольного параллелепипеда.

Отсюда можно вывести формулу по нахождению суммы длин всех сторон ПП:
X = 4a + 4b + 4c (где X — сумма длин ребер).

Формула нахождения площади поверхности параллелепипеда Sп.п = 2(ab+bc+ac).
Тогда: S = (5*8 + 8*10 + 5*10) * 2 = 340 см2.

Задачка 2. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1.

Нужно найти длину ребра A1B1.

В фокусе внимания треугольник BDD1.
Угол D = 90°.

По теореме Пифагора:
BD1 2 = DD1 2 + BD 2
BD 2 = BD1 2 – DD1 2
BD 2 = 26 – 9 = 17
BD = √17
В треугольнике ADB угол А = 90°.
BD 2 = AD 2 + AB 2
AB 2 = BD 2 — AD 2 = (√17)2 — 4 2 = 1
A1B1 = AB = 1.

Читайте также:  Прямоугольные пластиковые трубы для канализации

Задачка 3. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1.

AB = 4
AD = 6
AA1= 5
Нужно найти отрезок BD1.

В треугольнике ADB угол A = 90°.

По теореме Пифагора:
BD 2 = AB 2 +AD 2
BD 2 = 4 2 + 6 2 = 16 + 36 = 52
В треугольнике BDD1 угол D = 90°.
BD1 2 = 52 + 25 = 77
BD1 = √77.

Самопроверка

Теперь потренируйтесь самостоятельно — мы верим, что все получится!

Задачка 1. Дан прямоугольный параллелепипед. Измерения (длина, ширина, высота) = 8, 10, 20. Найдите диагональ параллелепипеда.

Подсказка: если нужно выяснить, чему равна диагональ прямоугольного параллелепипеда, вспоминайте теорему.

Задачка 2. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1.

Вычислите длину ребра AA1.

Как видите, самое страшное в параллелепипеде — 14 букв в названии. Чтобы не перепутать прямой параллелепипед с прямоугольным, а ребро параллелепипеда с длиной диагонали параллелепипеда, вот список основных понятий:

  • прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию;
  • параллелепипед называется прямоугольным, когда его боковые ребра перпендикулярны к основанию;
  • основание прямоугольного параллелепипеда — прямоугольник;
  • три измерения прямоугольного параллелепипеда: длина, ширина, высота;
  • диагональ параллелепипеда равна сумме квадратов его измерений.

Источник

Задачи по теме «Прямоугольный параллелепипед»

\(\blacktriangleright\) Прямоугольный параллелепипед – это параллелепипед, все грани которого являются прямоугольниками.
Другими словами, это прямая призма, основания которой – прямоугольники.
(эти определения эквивалентны).

1) противоположные грани равны между собой;

2) боковые ребра перпендикулярны основаниям, то есть являются высотами;

3) как следствие, формула для объема принимает вид: \(<\Large>\) , где \(a,\ b,\ c\) – три различных боковых ребра.

\(\blacktriangleright\) Диагональ прямоугольного параллелепипеда – это отрезок, соединяющий две противоположные (не лежащие в одной грани) вершины.

1) Все диагонали равны, пересекаются в одной точке и делятся ею пополам;

2) Диагональ \(d\) можно найти по формуле: \(<\Large=a^2+b^2+c^2>>\) .

Дан прямоугольный параллелепипед, стороны основания которого равны \(4\) и \(5\) , а боковое ребро равно \(3\) . Найдите наибольшую площадь его грани.

Заметим, что все варианты для площадей его граней – это всевозможные попарные произведения чисел \(3,4,5\) , то есть \(3\cdot 4\) , \(4\cdot 5\) или \(3\cdot 5\) . Среди этих произведений наибольшим является \(4\cdot 5=20\) .

Даны два прямоугольных параллелепипеда: ребра одного равны \(185\) , \(185\) и \(37\) ; а ребра другого равны \(185, 37\) и \(37\) . Во сколько раз объем первого параллелепипеда больше объема второго параллелепипеда?

Даны два прямоугольных параллелепипеда: ребра одного равны \(a, b\) и \(b\) , а ребра другого равны \(a, a\) и \(b\) . На сколько площадь полной поверхности первого параллелепипеда больше, чем площадь поверхности второго параллелепипеда, если \(a=1000, b=1001\) .

Площадь полной поверхности первого параллелепипеда \[S_1=2(ab+b^2+ab)\] Площадь полной поверхности второго параллелепипеда \[S_2=2(ab+ab+a^2)\] Следовательно, \[S_1-S_2=2(b^2-a^2)=2(b-a)(b+a)=2(1001-1000)(1001+1000)=4002.\]

Дан прямоугольный параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) . Во сколько раз объем пирамиды \(AA_1BD\) меньше объема этого параллелепипеда?

Пусть \(AB=x\) , \(AD=y\) , \(AA_1=z\) . Тогда объем параллелепипеда равен \[V_=S_\cdot AA_1=xy\cdot z.\] Так как \(S_=0,5S_\) (потому что по определению прямоугольного параллелепипеда в основании лежит прямоугольник), то объем пирамиды \[V_=\dfrac13\cdot S_\cdot AA_1= \dfrac13\cdot \dfrac12xy\cdot z=\dfrac16xyz.\] Следовательно, объем пирамиды в 6 раз меньше объема параллелепипеда.

Читайте также:  Точка движется замедляясь по окружности радиуса к

В прямоугольном параллелепипеде диагональ грани \(AA_1D_1D\) равна \(5\) , а \(AB=2\sqrt6\) . Найдите диагональ параллелепипеда.

Так как параллелепипед прямоугольный, то все его грани – прямоугольники, а у прямоугольника обе диагонали равны. Следовательно, \(A_1D=AD_1\) . Рассмотрим диагональ \(A_1D\) и диагональ параллелепипеда \(B_1D\) . Треугольник \(A_1B_1D\) прямоугольный, так как ребро \(A_1B_1\) перпендикулярно грани \(AA_1D_1D\) (по определению прямоугольного параллелепипеда). Следовательно, гипотенуза \[B_1D=\sqrt=\sqrt<5^2+(2\sqrt6)^2>=7.\]

Дан прямоугольный параллелепипед с ребрами \(2, \ 3\) и \(6\) . Найдите его диагональ.

Пусть \(AB=2, AD=3 , AA_1=6\) .

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника \(ABD\) ( \(\angle A=90^\circ\) ) имеем: \(BD^2=AB^2+AD^2\) .

Из прямоугольного треугольника \(BB_1D\) ( \(\angle B=90^\circ\) ) по теореме Пифагора \(B_1D^2=BD^2+BB_1^2\) .

Подставляя \(BD^2\) из первого равенства во второе, получим:

\[B_1D^2=AB^2+AD^2+BB_1^2=2^2+3^2+6^2=4+9+36=49 \quad \Leftrightarrow \quad B_1D=7.\]

Найдите объём фигуры, получившейся после удаления маленького прямоугольного параллелепипеда из большого.

Объём оставшейся фигуры равен разности объёмов большого прямоугольного параллелепипеда (каким он был до удаления) и маленького (удалённого).

Таким образом, искомый объём равен \[0,8\cdot 1\cdot 1,2 — 0,3\cdot 0,5\cdot 0,55 = 0,8775\,.\]

Учащимся старших классов будет полезно научиться решать задачи ЕГЭ на нахождение объема и других неизвестных параметров прямоугольного параллелепипеда. Опыт предыдущих лет подтверждает тот факт, что подобные задания являются для многих выпускников достаточно сложными.

При этом понимать, как найти объем или площадь прямоугольного параллелепипеда, должны старшеклассники с любым уровнем подготовки. Только в этом случае они смогут рассчитывать на получение конкурентных баллов по итогам сдачи единого госэкзамена по математике.

Основные нюансы, которые стоит запомнить

  • Параллелограммы, из которых состоит параллелепипед, являются его гранями, их стороны — ребрами. Вершины этих фигур считаются вершинами самого многогранника.
  • Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны. Так как это прямой многогранник, то боковые грани представляют собой прямоугольники.
  • Так как параллелепипед — это призма, в основании которой находится параллелограмм, эта фигура обладает всеми свойствами призмы.
  • Боковые ребра прямоугольного параллелепипеда перпендикулярны основанию. Следовательно, они являются его высотами.

Готовьтесь к ЕГЭ вместе со «Школково»!

Чтобы занятия проходили легко и максимально эффективно, выбирайте наш математический портал. Здесь вы найдете весь необходимый материал, который потребуется на этапе подготовки к единому государственному экзамену.

Специалисты образовательного проекта «Школково» предлагают пойти от простого к сложному: сначала мы даем теорию, основные формулы и элементарные задачи с решением, а затем постепенно переходим к заданиям экспертного уровня. Вы можете потренироваться, например, с решением задач на тему “Призма”.

Нужную базовую информацию вы найдете в разделе «Теоретическая справка». Вы также можете сразу приступить к решению задач по теме «Прямоугольный параллелепипед» в онлайн-режиме. В разделе «Каталог» представлена большая подборка упражнений разной степени сложности. База заданий регулярно пополняется.

Проверьте, легко ли вы сможете найти объем прямоугольного параллелепипеда, прямо сейчас. Разберите любое задание. Если упражнение дается вам легко, переходите к более сложным задачам. А если возникли определенные сложности, рекомендуем вам планировать свой день таким образом, чтобы ваше расписание включало занятия с дистанционным порталом «Школково».

Источник

Поделиться с друзьями
Объясняем