- Решение задач по теме: «Равнобедренный треугольник»
- Просмотр содержимого документа «Решение задач по теме: «Равнобедренный треугольник»»
- Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы
- Определение равнобедренного треугольника
- Признаки равнобедренного треугольника
- Свойства равнобедренного треугольника
- Примеры решения задач
- Задача на тему свойство равнобедренного треугольника
- Свойства и признаки равнобедренного треугольника
- ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ КЛЮЧЕВЫХ ЗАДАЧ:
- Теоретический тест с последующей самопроверкой
- ЗАДАЧИ С ПРИМЕНЕНИЕМ СВОЙСТВ РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
Решение задач по теме: «Равнобедренный треугольник»
Просмотр содержимого документа
«Решение задач по теме: «Равнобедренный треугольник»»
1. Треугольник называется равнобедренным, если … его боковые стороны равны
2. Равные стороны равнобедренного треугольника называются … боковыми сторонами
3. Третья сторона называется … основанием
5. Если Р ΔAMK = 15 см, а основание 3 см, то боковые стороны равны … 6 см.
6. В равнобедренном треугольнике углы при … основании равны.
7. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию является … медианой и высотой.
8. Если в треугольнике все стороны равны, то он называется … равносторонним.
Источник
Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы
О чем эта статья:
Определение равнобедренного треугольника
Какой треугольник называется равнобедренным?
Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. |
Давайте посмотрим на такой треугольник:
На рисунке хорошо видно, что боковые стороны равны. Это равенство и делает треугольник равнобедренным.
А вот как называются стороны равнобедренного треугольника:
AB и BC — боковые стороны,
AC — основание треугольника.
Для понимания материала нам придется вспомнить, что такое биссектриса, медиана и высота, если вы вдруг забыли.
Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.
Даже если вы не знаете определения, то про крысу, бегающую по углам и делящую их пополам, наверняка слышали. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если вам не очень приятны крысы, то вместо нее бегать может кто угодно. Биссектриса — это киса. Биссектриса — это лИса. Никаких правил для воображения нет. Все правила — для геометрии.
Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH.
Медиана — отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
Для медианы не придумали веселого правила, как с биссектрисой, но можно его придумать. Например, буддийская запоминалка: «Медиана — это Лама, бредущий из вершины треугольника к середине его основания и обратно».
В данном треугольнике медианой является отрезок BH.
Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на прямую, содержащую сторону треугольника.
Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.
Признаки равнобедренного треугольника
Вот несколько нехитрых правил, по которым легко определить, что перед вами не что иное, как его величество равнобедренный треугольник.
- Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник — равнобедренный.
- Если высота треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
- Если высота треугольника совпадает с его биссектрисой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
- Если биссектриса треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник снова равнобедренный!
Свойства равнобедренного треугольника
Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно думать как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 4 теоремы о его свойствах.
Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Пусть AС — основание равнобедренного треугольника. Проведем биссектрису DK. Треугольник ADK равен треугольнику CDK по двум сторонам и углу между ними (AD = DC, DK — общая, а так как DK — биссектриса, то угол ADK равен углу CDK). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов, значит угол A равен углу C. Изи!
Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
Δ ABH = Δ CBH по двум сторонам и углу между ними (углы ABH и CBH равны, потому что BH биссектриса, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, AH = HC и BH — медиана.
Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит, они равны по 90 градусов и BH — высота.
Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Δ ABH = Δ CBH по трём сторонам (AH = CH равны, потому что BH медиана, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.
Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит они равны по 90 градусов и BH — высота.
Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
Δ ABH = Δ CBH по признаку прямоугольных треугольников, равенство гипотенуз и соответствующих катетов (AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.
Во-вторых, AH = HC и BH — медиана.
Примеры решения задач
Нет ничего приятнее, чем поупражняться и поискать углы и стороны в равнобедренном треугольнике. Ну… почти ничего.
Задачка раз. Дан ΔABC с основанием AC: ∠C = 80°, AB = BC. Найдите ∠B.
Поскольку вы уже знакомы с различными теоремами, то для вас не секрет, что углы при основании в равнобедренном треугольнике равны, а треугольник ABC — равнобедренный, так как AB = BC.
Значит, ∠A = ∠C = 80°.
Не должно вас удивить и то, что сумма углов треугольника равна 180°.
∠B = 180° − 80° − 80° = 20°.
Задачка два. В треугольнике ABC провели высоту BH, угол CAB равен 50°, угол HBC равен 40°. Найдите сторону BC, если BA = 5 см.
Сумма углов треугольника равна 180°, а значит в Δ ABH мы можем узнать угол ABH, который будет равен 180° − 50° − 90° = 40°.
А ведь получается, что углы ABH и HBC оба равны по 40° и BH — биссектриса.
Ну и раз уж BH является и биссектрисой, и высотой, то Δ ABC — равнобедренный, а значит BC = BA = 5 см.
Изучать свойства и признаки равнобедренного треугольника лучше всего на курсах по математике с опытными преподавателями в Skysmart.
Источник
Задача на тему свойство равнобедренного треугольника
Равнобедренный треугольник — треугольнику которого две стороны равны.
Равные стороны называют боковыми сторонами, а третью сторону — основанием.
Свойства равнобедренного треугольника были известны с давних времен. Еще древние вавилоняне (II в. до н.э.) знали, что углы у основания равнобедренного треугольника равны. Любой треугольник можно разрезать на равнобедренные треугольники.
Свойства и признаки равнобедренного треугольника
Свойства равнобедренного треугольника:
1. У равнобедренного треугольника углы у основания равны (теорема).
2. Медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию, совпадают (теорема).
3. Медианы равнобедренного треугольника, проведенные к боковым сторонам, равны.
4. Высоты равнобедренного треугольника, проведенные к боковым сторонам, равны.
5. Биссектрисы равнобедренного треугольника, проведенные к боковым сторонам, равны.
Признаки равнобедренного треугольника:
Если у треугольника есть один из нижеуказанных признаков, то он равнобедренный:
— два угла равны,
— высота и медиана совпадают,
— высота и биссектриса совпадают,
— медиана и биссектриса совпадают,
— две медианы равны,
— две высоты равны,
— две биссектрисы равны.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ
КЛЮЧЕВЫХ ЗАДАЧ:
Задача № 1. Дано: ΔABC — равносторонний, ΔADC — равнобедренный (AD=CD), AC — общая сторона, BC = 8 см, PADC > PABC в 1,5 раза. Найти: CD.
Задача № 2. Дано: ΔABC — равнобедренный, AB = BC, AD — медиана, AB + BD = 27 см, AC + CD = 21 см. Найти: AB, BC, AC.
Задача № 3. Дано: ΔABC — равнобедренный, AB = BC, ∠1 = 130°. Найти: ∠2.
Теоретический тест
с последующей самопроверкой
- Медиана в равнобедренном треугольнике является его биссектрисой и высотой. Это утверждение:
а) всегда верно;
б) может быть верно;
в) всегда неверно. - Если треугольник равносторонний, то:
а) он равнобедренный;
б) все его углы равны;
в) любая его высота является биссектрисой и медианой. - В каком треугольнике только одна его высота делит треугольник на два равных треугольника?
а) в любом;
б) в равнобедренном;
в) в равностороннем. - Биссектриса в равностороннем треугольнике является медианой и высотой. Это утверждение:
а) всегда верно;
б) может быть верно;
в) всегда неверно. - Если треугольник равнобедренный, то:
а) он равносторонний;
б) любая его медиана является биссектрисой и высотой;
в) два его угла равны. - В каком треугольнике любая его высота делит треугольник на два равных треугольника?
а) в любом;
б) в равнобедренном;
в) в равностороннем. - Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник является:
а) равносторонним;
б) равнобедренным;
в) прямоугольным. - Если в треугольнике две стороны равны, то:
а) у него равны два угла;
б) у него все углы равны;
в) этот треугольник равносторонний.
- Медиана в равнобедренном треугольнике является его биссектрисой и высотой. Это утверждение: б) может быть верно.
- Если треугольник равносторонний, то: а) он равнобедренный; б) все его углы равны; в) любая его высота является биссектрисой и медианой.
- В каком треугольнике только одна его высота делит треугольник на два равных треугольника? б) в равнобедренном.
- Биссектриса в равностороннем треугольнике является медианой и высотой. Это утверждение: а) всегда верно.
- Если треугольник равнобедренный, то: в) два его угла равны.
- В каком треугольнике любая его высота делит треугольник на два равных треугольника? в) в равностороннем.
- Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник является: б) равнобедренным.
- Если в треугольнике две стороны равны, то: а) у него равны два угла.
Вы смотрели конспект по теме «Равнобедренный треугольник + ЗАДАЧИ по теме». Выберите дальнейшие действия:
Источник
ЗАДАЧИ С ПРИМЕНЕНИЕМ СВОЙСТВ РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
Столичный центр образовательных технологий г. Москва
Получите квалификацию учитель математики за 2 месяца
от 3 170 руб. 1900 руб.
Количество часов 300 ч. / 600 ч.
Успеть записаться со скидкой
Форма обучения дистанционная
Задачи с применением свойств равнобедренного треугольника.
совершенствовать навыки решения задач по теме «Равнобедренный треугольник».
· совершенствовать навыки решения задач на применение свойств равнобедренного треугольника;
· обобщить и проконтролировать знания по изученной теме;
· учить детей применять полученные теоретические знания на практике.
· уметь выполнять анализ задачи и обобщать;
· формировать интерес к предмету математики;
· развивать логическое мышление, память, внимание, познавательные и математические способности, расширять кругозор;
· развивать умение обосновывать свое решение.
· воспитывать уважительное отношение к ответам учеников;
· умение высказывать свое мнение, умение логично выстраивать свои ответы;
· воспитывать познавательную активность, самостоятельность, стремление расширять свой кругозор.
· I. Организационный момент.
· Сообщить тему урока, сформулировать его цели
· II. Повторение изученного материала
· 1) Проверка домашнего задания
Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.
Две равные стороны называют боковыми сторонами, а третью сторону – основанием равнобедренного треугольника.
Свойства равнобедренного треугольника:
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны;
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Признак равнобедренного треугольника:
Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.
Равносторонний треугольник – треугольник, у которого все стороны равны.
Высота – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Биссектриса – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противопложной стороны.
III. Решение задач.
1: На рисунке АВ = ВС, ∠ 1 = . Найдите ∠ 2.
Решение: Выполним пояснительный рисунок:
Рис. 4. Чертеж к примеру 1
1. ∠ АСВ = –
=
(по свойству смежных углов). Значит, угол при основании равнобедренного треугольника равен
.
2. ∠ ВАС = ∠ АСВ = (поскольку углы при основании равнобедренного треугольника равны).
3. ∠ 2 = ∠ ВАС (как вертикальные), значит, ∠ 2 = ∠ ВАС = .
Ответ:.
№ 2. ∆ABC равнобедренный. AM, CM биссектрисы, ∠ B = 80°. Найти ∠ AMC, который образуют биссектрисы углов при основании.
∠ A = ∠ B = (180° – 80°) : 2 = 50°
Так как AM, CM биссектрисы, то ∠ MAC = ∠ MCA = 50°: 2 = 25°.
∠ AMC = 180° – 25° – 25° = 130°
Ответ: ∠ AMC = 130°.
Периметр равнобедренного треугольника равен 7,5 м., а боковая сторона 2м.
Дано: ∆АВС; АВ=ВС=2 м.
Решение: Р ∆ АВС = АВ + ВС + АС,
Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольник равнобедренный.
- ВМ — медиана =>АМ=МС.
- ВМ — высота =>∟АМВ═∟СМВ═90°.
- ВМ — общая сторона ∆АМВ и ∆СМВ
- Значит ∆АМВ=∆СМ В (по I признаку)=> АВ = СВ.
- ∆АВС — равнобедренный.
Мы использовали теорему 5.
Первый признак равенства треугольников.
5.В равнобедренном треугольнике основание равно 7см, а периметр равен 17см. Вычислите боковую сторону треугольника.
6. В равнобедренном треугольнике Угол при основании равен 58 градусов. Найти угол противолежащий основанию.
Решение задач на готовых чертежах.
Задание для всех задач:
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Источник