Задача на площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда

Как вычислить площадь параллелепипеда

Формула нахождения полной площади параллелепипеда

Параллелепипед – это четырехугольная призма, в основании имеющая параллелограмм. Существуют готовые формулы для расчета боковой и полной площади поверхности фигуры, для которых необходимы лишь длины трех измерений параллелепипеда.

Как найти площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда

Необходимо различать прямоугольный и прямой параллелепипед. Основание прямой фигуры может представлять собой любой параллелограмм. Площадь такой фигуры необходимо вычислять по другим формулам.

Сумма S боковых граней прямоугольного параллелепипеда вычисляется по простой формуле P*h, где P – периметр и h – высота. На рисунке видно, что у прямоугольного параллелепипеда противоположные грани равны, а высота h совпадает с длиной ребер, перпендикулярных основанию.

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда

Полная площадь фигуры состоит из боковой и площади 2-х оснований. Как найти площади прямоугольного параллелепипеда:


, где a, b и c – это измерения геометрического тела.
Описанные формулы просты для понимания и полезны при решении множества задач геометрии. Пример типового задания представлен на следующем изображении.

При решении подобного рода задач следует помнить, что основание четырехугольной призмы выбирается произвольно. Если за основание принять грань с измерениями x и 3, то значения Sбок будет иным, а Sполн останется 94 см2.

Площадь поверхности куба

Куб – это прямоугольный параллелепипед, у которого все 3 измерения равны между собой. В связи с этим формулы полной и боковой площади куба отличаются от стандартных.

Периметр куба равен 4a, следовательно, Sбок= 4*a*a = 4*a2. Данные выражения не обязательны для заучивания, но значительно ускоряют решение заданий.

Пример решения задачи

Приведенные формулы могут использоваться в ходе поиска диагоналей параллелепипеда.

Для нахождение B1D достаточно применить теорему Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Источник

Задачи по теме «Прямоугольный параллелепипед» (страница 2)

\(\blacktriangleright\) Прямоугольный параллелепипед – это параллелепипед, все грани которого являются прямоугольниками.
Другими словами, это прямая призма, основания которой – прямоугольники.
(эти определения эквивалентны).

1) противоположные грани равны между собой;

2) боковые ребра перпендикулярны основаниям, то есть являются высотами;

3) как следствие, формула для объема принимает вид: \(<\Large>\) , где \(a,\ b,\ c\) – три различных боковых ребра.

\(\blacktriangleright\) Диагональ прямоугольного параллелепипеда – это отрезок, соединяющий две противоположные (не лежащие в одной грани) вершины.

1) Все диагонали равны, пересекаются в одной точке и делятся ею пополам;

2) Диагональ \(d\) можно найти по формуле: \(<\Large=a^2+b^2+c^2>>\) .

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – прямоугольный параллелепипед, площадь полной поверхности которого равна 12. Найдите разность между площадью квадрата со стороной \(AA_1 + A_1D_1 + D_1C_1\) и суммой площадей квадратов со сторонами \(AA_1\) , \(A_1D_1\) , \(D_1C_1\) .

Читайте также:  Единичная окружность вращательное движение

Обозначим \(AA_1 = a\) , \(A_1D_1 = b\) , \(D_1C_1 = c\) , тогда площадь полной поверхности \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) равна \[S_<\text<полн>> = 2ab + 2ac + 2bc.\] Площадь квадрата со стороной \(a + b + c\) равна \((a + b + c)^2\) , сумма площадей квадратов со сторонами \(a\) , \(b\) , \(c\) равна \(a^2 + b^2 + c^2\) , тогда искомая величина равна

\[\begin (a + b + c)^2 — (a^2 + b^2 + c^2) &= a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc — (a^2 + b^2 + c^2) =\\ &= 2ab + 2ac + 2bc = S_<\text<полн>> = 12. \end\]

В параллелепипеде \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) : \(AB_1 = \sqrt<13>\) , \(AD_1 = 5\) , \(AC = 2\sqrt5\) . Чему равна сумма всех ребер параллелепипеда?

Заданные отрезки являются диагоналями соответствующих граней параллелепипеда. Значит, каждый отрезок можно выразить через теорему Пифагора соответствующего прямоугольного треугольника: \(AB_1^2 = AB^2 + AA_1^2\) , \(AC^2 = AB^2 + AD^2\) , \(AD_1^2 = AD^2 + AA_1^2\) . Из этих уравнений можно найти неизвестные стороны параллелепипеда:
\(\displaystyle AB^2 = \frac <2>= \frac<13 + 20 - 25> <2>= 4\) \(\Rightarrow\) \(AB = 2\) ;
\(\displaystyle AA_1^2 = \frac <2>= \frac<13 + 25 - 20> <2>= 9\) \(\Rightarrow\) \(AA_1 = 3\) ;
\(\displaystyle AD^2 = \frac <2>= \frac<20 + 25 - 13> <2>= 16\) \(\Rightarrow\) \(AD = 4\) .
Мы нашли три различных ребра параллелепипеда. Всего в параллелепипеде \(12\) ребер – по \(4\) каждого вида. Тогда сумма всех ребер будет равна: \[S = 4\cdot2 + 4\cdot3 + 4\cdot4 = 36.\]

Дан прямоугольный параллелепипед, основания \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\) которого являются квадратами со стороной \(3\sqrt2\) . Пусть \(M\) – точка пересечения диагоналей грани \(AA_1D_1D\) , \(N\) – точка пересечения диагоналей грани \(DD_1C_1C\) . Найдите \(MN\) .

Так как \(AD=DC\) , то грани \(AA_1D_1D\) и \(DD_1C_1C\) равны, следовательно, и их диагонали равны, значит, \(A_1D=C_1D\) . Так как диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам, то \(A_1M=MD=DN=NC_1\) . Рассмотрим \(\triangle A_1C_1D\) : в нем \(MN\) является средней линией, следовательно, она равна половине основания \(A_1C_1\) , которое в свою очередь является диагональю квадрата \(A_1B_1C_1D_1\) , следовательно, равно \(3\sqrt2\cdot \sqrt2=6\) . Следовательно, \(MN=3\) .

Дана прямая призма, в основании которой лежит правильный шестиугольник \(ABCDEF\) . Эту призму вписали в прямоугольный параллелепипед \(MNKPM_1N_1K_1P_1\) так, что все вершины обоих оснований призмы лежат на сторонах соответственно обоих оснований параллелепипеда. Причем \(BC\) и \(EF\) лежат на \(MN\) и \(KP\) соответственно, а точки \(A\) и \(D\) – на сторонах \(MP\) и \(NK\) соответственно. Во сколько раз объем призмы отличается от объема параллелепипеда?

Рассмотрим картинку. Так как параллелепипед прямоугольный, то он прямой и в основании лежит прямоугольник. Следовательно, его боковые ребра (например, \(MM_1\) ) параллельны боковым ребрам призмы и равны, так как основания призмы вписаны в основания параллелепипеда (то есть лежат в одних и тех же плоскостях). Отсюда следует, что высоты призмы и параллелепипеда одинаковы. Пусть \(h\) – длина их высоты.
Рассмотрим отдельно основание. По свойству правильного шестиугольника \(BF\perp FE\) . Так как \(MNKP\) – прямоугольник, то есть \(MP\perp PK\) , то \(MP\parallel BF\) . Заметим также, что вообще говоря \(MP=BF\) , а \(PK=AD\) .
Пусть \(a\) – сторона шестиугольника. Его угол равен \(120^\circ\) , следовательно, по теореме косинусов: \[BF^2=a^2+a^2-2a\cdot a\cdot \cos120^\circ=3a^2 \quad\Rightarrow\quad MP=a\sqrt3.\] Заметим также, что \(\angle MAB=30^\circ\) , следовательно, в треугольнике \(MAB\) : \[\sin30^\circ=\dfrac \quad\Rightarrow\quad MB=\dfrac12a.\] Следовательно, \(MN=\frac12a+a+\frac12a=2a\) .
Значит, \(MNKP\) – прямоугольник со сторонами \(a\sqrt3\) и \(2a\) .

Читайте также:  Желтый прямоугольный щит установленный на перегоне обозначает приказ

Площадь правильного шестиугольника равна \(\dfrac<3\sqrt3>2a^2\) , следовательно, объем призмы \[V_=\dfrac<3\sqrt3>2a^2h,\] а объем параллелепипеда \[V_=a\sqrt3\cdot 2a\cdot h=2\sqrt3a^2h\] Следовательно, \[\dfrac>>=\dfrac34=0,75.\]

Источник

Задачи по теме «Прямоугольный параллелепипед»

\(\blacktriangleright\) Прямоугольный параллелепипед – это параллелепипед, все грани которого являются прямоугольниками.
Другими словами, это прямая призма, основания которой – прямоугольники.
(эти определения эквивалентны).

1) противоположные грани равны между собой;

2) боковые ребра перпендикулярны основаниям, то есть являются высотами;

3) как следствие, формула для объема принимает вид: \(<\Large>\) , где \(a,\ b,\ c\) – три различных боковых ребра.

\(\blacktriangleright\) Диагональ прямоугольного параллелепипеда – это отрезок, соединяющий две противоположные (не лежащие в одной грани) вершины.

1) Все диагонали равны, пересекаются в одной точке и делятся ею пополам;

2) Диагональ \(d\) можно найти по формуле: \(<\Large=a^2+b^2+c^2>>\) .

Дан прямоугольный параллелепипед, стороны основания которого равны \(4\) и \(5\) , а боковое ребро равно \(3\) . Найдите наибольшую площадь его грани.

Заметим, что все варианты для площадей его граней – это всевозможные попарные произведения чисел \(3,4,5\) , то есть \(3\cdot 4\) , \(4\cdot 5\) или \(3\cdot 5\) . Среди этих произведений наибольшим является \(4\cdot 5=20\) .

Даны два прямоугольных параллелепипеда: ребра одного равны \(185\) , \(185\) и \(37\) ; а ребра другого равны \(185, 37\) и \(37\) . Во сколько раз объем первого параллелепипеда больше объема второго параллелепипеда?

Даны два прямоугольных параллелепипеда: ребра одного равны \(a, b\) и \(b\) , а ребра другого равны \(a, a\) и \(b\) . На сколько площадь полной поверхности первого параллелепипеда больше, чем площадь поверхности второго параллелепипеда, если \(a=1000, b=1001\) .

Площадь полной поверхности первого параллелепипеда \[S_1=2(ab+b^2+ab)\] Площадь полной поверхности второго параллелепипеда \[S_2=2(ab+ab+a^2)\] Следовательно, \[S_1-S_2=2(b^2-a^2)=2(b-a)(b+a)=2(1001-1000)(1001+1000)=4002.\]

Дан прямоугольный параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) . Во сколько раз объем пирамиды \(AA_1BD\) меньше объема этого параллелепипеда?

Пусть \(AB=x\) , \(AD=y\) , \(AA_1=z\) . Тогда объем параллелепипеда равен \[V_=S_\cdot AA_1=xy\cdot z.\] Так как \(S_=0,5S_\) (потому что по определению прямоугольного параллелепипеда в основании лежит прямоугольник), то объем пирамиды \[V_=\dfrac13\cdot S_\cdot AA_1= \dfrac13\cdot \dfrac12xy\cdot z=\dfrac16xyz.\] Следовательно, объем пирамиды в 6 раз меньше объема параллелепипеда.

В прямоугольном параллелепипеде диагональ грани \(AA_1D_1D\) равна \(5\) , а \(AB=2\sqrt6\) . Найдите диагональ параллелепипеда.

Так как параллелепипед прямоугольный, то все его грани – прямоугольники, а у прямоугольника обе диагонали равны. Следовательно, \(A_1D=AD_1\) . Рассмотрим диагональ \(A_1D\) и диагональ параллелепипеда \(B_1D\) . Треугольник \(A_1B_1D\) прямоугольный, так как ребро \(A_1B_1\) перпендикулярно грани \(AA_1D_1D\) (по определению прямоугольного параллелепипеда). Следовательно, гипотенуза \[B_1D=\sqrt=\sqrt<5^2+(2\sqrt6)^2>=7.\]

Читайте также:  Как правильно поставить трапецию дворников на ваз 2107

Дан прямоугольный параллелепипед с ребрами \(2, \ 3\) и \(6\) . Найдите его диагональ.

Пусть \(AB=2, AD=3 , AA_1=6\) .

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника \(ABD\) ( \(\angle A=90^\circ\) ) имеем: \(BD^2=AB^2+AD^2\) .

Из прямоугольного треугольника \(BB_1D\) ( \(\angle B=90^\circ\) ) по теореме Пифагора \(B_1D^2=BD^2+BB_1^2\) .

Подставляя \(BD^2\) из первого равенства во второе, получим:

\[B_1D^2=AB^2+AD^2+BB_1^2=2^2+3^2+6^2=4+9+36=49 \quad \Leftrightarrow \quad B_1D=7.\]

Найдите объём фигуры, получившейся после удаления маленького прямоугольного параллелепипеда из большого.

Объём оставшейся фигуры равен разности объёмов большого прямоугольного параллелепипеда (каким он был до удаления) и маленького (удалённого).

Таким образом, искомый объём равен \[0,8\cdot 1\cdot 1,2 — 0,3\cdot 0,5\cdot 0,55 = 0,8775\,.\]

Учащимся старших классов будет полезно научиться решать задачи ЕГЭ на нахождение объема и других неизвестных параметров прямоугольного параллелепипеда. Опыт предыдущих лет подтверждает тот факт, что подобные задания являются для многих выпускников достаточно сложными.

При этом понимать, как найти объем или площадь прямоугольного параллелепипеда, должны старшеклассники с любым уровнем подготовки. Только в этом случае они смогут рассчитывать на получение конкурентных баллов по итогам сдачи единого госэкзамена по математике.

Основные нюансы, которые стоит запомнить

  • Параллелограммы, из которых состоит параллелепипед, являются его гранями, их стороны — ребрами. Вершины этих фигур считаются вершинами самого многогранника.
  • Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны. Так как это прямой многогранник, то боковые грани представляют собой прямоугольники.
  • Так как параллелепипед — это призма, в основании которой находится параллелограмм, эта фигура обладает всеми свойствами призмы.
  • Боковые ребра прямоугольного параллелепипеда перпендикулярны основанию. Следовательно, они являются его высотами.

Готовьтесь к ЕГЭ вместе со «Школково»!

Чтобы занятия проходили легко и максимально эффективно, выбирайте наш математический портал. Здесь вы найдете весь необходимый материал, который потребуется на этапе подготовки к единому государственному экзамену.

Специалисты образовательного проекта «Школково» предлагают пойти от простого к сложному: сначала мы даем теорию, основные формулы и элементарные задачи с решением, а затем постепенно переходим к заданиям экспертного уровня. Вы можете потренироваться, например, с решением задач на тему “Призма”.

Нужную базовую информацию вы найдете в разделе «Теоретическая справка». Вы также можете сразу приступить к решению задач по теме «Прямоугольный параллелепипед» в онлайн-режиме. В разделе «Каталог» представлена большая подборка упражнений разной степени сложности. База заданий регулярно пополняется.

Проверьте, легко ли вы сможете найти объем прямоугольного параллелепипеда, прямо сейчас. Разберите любое задание. Если упражнение дается вам легко, переходите к более сложным задачам. А если возникли определенные сложности, рекомендуем вам планировать свой день таким образом, чтобы ваше расписание включало занятия с дистанционным порталом «Школково».

Источник

Поделиться с друзьями
Объясняем