Задача изгиба прямоугольных пластин

ПроСопромат.ру

Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания

Изгиб прямоугольных пластинок. Дифференциальное уравнение изогнутой поверхности пластинки

Для расчета тонких пластинок с прямоугольной и трапециевидной формы более удобными оказываются декартовы координаты

Результатом использования гипотез Кирхгоффа в задаче изгиба пластинок в декартовой системе координат является:

дифференциальное уравнение изогнутой поверхности:

, где: w = w (x,у) — функция прогиба, а — цилиндрическая жесткость.

Уравнение это называют уравнением Софи Жермен, оно представляет собою дифференциальное уравнение в частных производных четвертого порядка относительно функции w, зависящей от двух переменных (х и у). Общего решения этого уравнения, как и большинства других уравнений в частных производных, в математике неизвестно. Поэтому прямой метод решения, как это делается при решении обыкновенных дифференциальных уравнений, здесь оказывается невозможным, и приходится применять либо обратный метод (т. н. метод проб и ошибок) либо полуобратный метод, требующий всего одной попытки.

Наиболее универсальными, хотя и приближенными аналитическими методами расчета пластинок являются вариационные методы. Это метод Ритца-Тимошенко, метод Бубнова- Галеркина и метод Власова-Канторовича. Любой из них позволяет найти функцию прогиба w (x,у), удовлетворяющую как уравнению (1), так и конкретным граничным условиям на контуре пластинки. Все остальные параметры, в частности, усилия, напряжения, деформации и перемещения, определяются уже через найденную функцию прогиба. Приведем без вывода формулы внутренних усилий и напряжений в пластинке.

Усилия и напряжения в пластинках (пластинах). Внутренние усилия в сечениях пластинки:

— изгибающие моменты

— крутящие моменты

— поперечные силы

Соответственно шести усилиям в сечениях пластинки возникают и шесть составляющих напряжений:

— нормальные напряжения

касательные напряжения, действующие параллельно срединной плоскости (с.п.) пластинки

— касательные напряжения, направленные перпендикулярно срединной плоскости пластинки

В формулах напряжений обозначено:

момент инерции сечения шириной, равной 1 и высотой h (погонный момент инерции), z — расстояние от срединной плоскости пластинки до той точки, где определяется напряжение.

Покажем эпюры напряжений

Эпюры напряжений в прямоугольной пластинке при изгибе

Наибольших значений нормальные напряжения достигают в точках, расположенных у поверхностей пластинки, наиболее удаленных от срединной плоскости, при :, где

погонный метр сопротивления, то есть момент сопротивления сечения единичной ширины.

Касательные напряжения, параллельные срединной плоскости, достигают наибольшей величины тоже в точках у поверхностей пластинки:

а касательные напряжения, направленные перпендикулярно срединной плоскости, наоборот, имеют максимум в точках срединной плоскости (при z=0):

Читайте также:  Как проверить пересекаются ли окружности или нет

Для сравнения — в балке при изгибе возникают всего две составляющие напряжений: это σх и τzx.

Источник

Расчет прогиба пластины

/Файл с программой дополнен расчетами круглых пластин P.S. (27.03.2022)./

При выполнении расчетов стенок емкостей, стенок конструкций или различных покрытий возникает задача определения напряжений и прогибов. Хочется получить быстрый ответ на простые вопросы — .

. на сколько и как выгнется пластина под нагрузкой, и не разрушится ли она? Теория предлагает по заданной известной функции нагрузки найти функцию прогибов. Для этого нужно решить неоднородное бигармоническое дифференциальное уравнение четвертого порядка в частных производных. От одного прочтения предыдущего предложения, я думаю, многим читателям стало грустно и тоскливо. А если добавить, что для практической реализации одного из методов предстоит решить систему из 15-и уравнений и найти 15 неизвестных, то большинство на этом просто прекратят чтение и потеряют всякий интерес к теме, либо продолжат поиск программ, выполняющих автоматически подобные расчеты. Эти программы, выполняющие расчет прогиба пластин, чаще всего реализуют приближенные численные методы конечных элементов и конечных разностей и стоят приличных денег.

Но есть и другой путь… (Как известно, выходов всегда не меньше двух. ) Эта дорога старая, заросшая лесом новых теорий, но не до конца забытая!

Этот путь является достаточно узким и индивидуальным для различных форм пластин, способов закрепления контуров и относительных величин прогибов. Для каждой расчетной схемы – свои таблицы коэффициентов к расчетным формулам! Расчет прогиба пластины по старым методикам прост – это несомненный плюс, но не универсален – это существенный минус.

Цель данной статьи – рассказать, как наши деды — инженеры прошлого века — решали такие практические вопросы, и показать простой пример модернизированного расчета в Excel задачи об изгибе пластины для одного из наиболее распространенных случаев в практике.

Из-за отсутствия каких-либо машин для выполнения рутинных сложных расчетов (кроме светлой головы, листка бумаги, карандаша, таблиц функций и логарифмической линейки ничего не было) ученые в начале и в середине 20-ого века стремились вооружить простого инженера короткими и понятными алгоритмами, «привязанными» к рассчитанным в НИИ номограммам и таблицам. Такой подход обеспечивал значительное упрощение и ускорение работы инженеров, хотя и не давал им полного понимания теории.

Расчет прогиба пластины изучается в общей теории оболочек, которая является сложным самостоятельным разделом механики, давно выделившимся из недр классического сопромата.

Теория тонких пластин распространяется на листы и плиты, у которых толщина h менее 20% от наименьшего габаритного размера в плане a .

Читайте также:  Как рассчитать диаметр окружности зная периметр

Тонкие пластины делят на 3 класса в зависимости от величины максимального прогиба w :

жесткие — w h

гибкие — 0,25 h w h

абсолютно гибкие — w >5 h

Попадание конкретной пластины в тот или иной класс, как видите, зависит от прогиба, а значит — от величины нагрузки. Важно отметить, что одна и та же пластина при разных нагрузках может быть отнесена к разным классам, и расчет её будет производиться по различным формулам.

Далее в примере рассматривается тонкая жесткая пластина.

Расчет в Excel прогиба пластины. Пример.

Прямоугольная пластина из изотропного материала (Сталь Ст3) жестко закреплена по всему контуру. В перпендикулярном направлении к плоскости пластины приложена равномерно распределенная по всей площади нагрузка.

Требуется вычислить наибольший прогиб пластины от действия нагрузки и найти максимальные возникающие в теле листа напряжения.

Исходные данные:

Первые три параметра являются справочными характеристиками свойств материала пластины.

1. Предел текучести для пластичных материалов или прочности для хрупких материалов [σ] в Н/мм 2 записываем

в ячейку D3: 245

Этот параметр не участвует в расчетах и нужен лишь для сравнения с полученными в результате расчета напряжениями. Правильнее вместо него использовать допускаемые напряжения материала с учетом всех запасов для конкретного случая применения.

2. Модуль упругости или модуль Юнга E в Н/мм 2 заносим

в D4: 210000

3. Коэффициент Пуассона μ вписываем

в D5: 0,28

В примечаниях к ячейкам D4 и D5 приведены значения модулей упругости и коэффициентов Пуассона для некоторых материалов.

4.,5.,6. Далее вводим в таблицу размеры пластины h , a и b в мм

в ячейку D6: 5,0

в D7: 500

в D8: 1000

В примечаниях к ячейкам D6, D7 и D8 записаны ограничения, которые должны соблюдаться. В случае их нарушения цифры окрашиваются инверсным белым цветом, а поле ячейки – красным, сообщая пользователю об ошибке ввода данных.

7. Значение распределенной равномерно по всей площади нагрузки q в Н/мм 2 вносим

в D9: 0,016

Прошу УВАЖАЮЩИХ труд автора скачать файл ПОСЛЕ ПОДПИСКИ на анонсы статей в окне, расположенном вверху страницы или сразу после статьи.

Ссылка на скачивание файла с программой: raschet-progiba-plastiny-NEW (xlsx 174KB).

Результаты расчета:

8. Цилиндрическую жесткость пластины D в Н*мм (аналог EI – линейной жесткости для стержней) вычисляем

в ячейке D11: D =( E * h 3 )/(12*(1- μ 2 )=2373589

9.,11. Безразмерные коэффициенты k1 и k2 , зависящие от формы и размеров пластины, а также от способов закрепления контурных сторон, можно найти в таблицах старых справочников (Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластины и оболочки; Вайнберг Д.В, Вайнберг Е.Д. Расчет пластин). Правда, k2 зависит еще и от μ , а в таблицах приведены значения только для стали μ ≈0,3 и бетона μ ≈1/6, но, проанализировав ряд таблиц, можно увидеть, что эта зависимость не очень значительная…

Читайте также:  Окружность градусная мера дуги окружности 8 класс

Выполнив аппроксимацию в Excel табличных данных, получим аналитические выражения для расчетов коэффициентов

в ячейке D12: при 0,5 a / b k1 =0,16747*( a / b ) 6 -0,766*( a / b ) 5 +1,4455*( a / b ) 4 -1,4342*( a / b ) 3 +0,78433*( a / b ) 2 -0,22506*( a / b )+0,029239=0,0254

при 0 a / b k1 =-0,00012*( a / b )+0,0026=0,0254

в D14: при 0,5 a / b k2 =0,71922*( a / b ) 6 -3,1489*( a / b ) 5 +5,6353*( a / b ) 4 -5,1372*( a / b ) 3 +2,3658*(a/b) 2 -0,50294*( a / b )+0,12003=0,0829

при 0 a / b k1 =-0,0008*( a / b )+0,0833=0,0829

Точность аппроксимации очень и очень высокая. Об этом можно судить как по абсолютным Δабс и относительным Δотн погрешностям, так и по величине достоверности R 2 .

10. Максимальный прогиб пластины w в мм будет в рассматриваемой схеме в центре пластины в точке O; вычисляем его

в ячейке D13: w = k1 * q * a 4 / D =1,07

Расчет прогиба в MS Excel выполнен. Величина прогиба не превышает четверти толщины листа, следовательно применение использованных формул правомерно.

12. Наибольшие моменты на единицу длины сечения пластины Mmax возникают в рассматриваемой схеме по серединам больших сторон контура в точках A и A’. Вычисляем их в Н*мм/мм

в ячейке D15: Mmax = k2 * q * a 2 =332

13. Наибольшие напряжения в пластине σmax в точках действия максимального момента вычисляем в Н/мм 2

в ячейке D16: σmax =6* Mmax / h 2 =80

Напряжения не превышают предела текучести. Деформации листа являются упругими, после снятия нагрузки пластина вернется в исходное плоское состояние.

Заключение.

По предложенной программе в Excel можно выполнять расчет прогиба тонкой жесткой прямоугольной пластины из любого изотропного материала – стекла, пластмассы, бетона, любого металла при жестком закреплении контура.

Прогиб вычисляется точно для любых материалов. Напряжения рассчитываются точно только для стали. Чем значительней коэффициент Пуассона материала отличается от коэффициента Пуассона стали, тем больше будет ошибка в определении действующих напряжений.

Так как способов закрепления контура пластины, видов форм пластины, сочетаний нагрузок — очень много, то задача расчета прогибов при рассмотренном подходе к решению распадается на сотни индивидуальных задач, в которых значения коэффициентов k1 и k2 также индивидуальны!

В продолжение темы «Расчет прогиба пластины» может быть в одной из будущих публикаций попробую рассмотреть более универсальный подход – метод конечных разностей с использованием MS Excel.

P. S. (27.03.2022)

В файл с расчетами добавлены вычисления максимальных прогибов и напряжений по двум схемам для круглых пластин.

Источник

Поделиться с друзьями
Объясняем