Есть прямоугольная трапеция найти радиус

Радиус описанной окружности трапеции

Как найти радиус описанной окружности для трапеции?

В зависимости от данных условия, сделать это можно разными способами. Готовой формулы радиуса описанной около трапеции окружности нет.

I. Радиус описанной около трапеции окружности как радиус окружности, описанной около треугольника, вершины которого — вершины трапеции

Описанная около трапеции окружность проходит через все её вершины, следовательно, является описанной для любого из треугольников, вершины которых являются вершинами трапеции.

В общем случае радиус описанной около треугольника окружности может быть найден по одной из формул

где a — сторона треугольника, α — противолежащий ей угол;

либо по формуле

где a, b, c — стороны, S — площадь треугольника.

Для трапеции ABCD радиус может быть найден, например, как радиус окружности, описанной около треугольника ABD:

где синус угла A можно найти из прямоугольного треугольника ABF:

III. Радиус описанной около трапеции окружности как расстояние до точки пересечения серединных перпендикуляров

Радиус описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров с сторонам трапеции. (Можно рассуждать иначе: в равнобедренном треугольнике AOD (AO=OD=R) высота ON является также медианой. Для треугольника BOC — аналогично).

Если известна высота трапеции KN=h, основания AD=a, BC=b, можно обозначить ON=x.

Если центр окружности лежит внутри трапеции, OK=h-x, из прямоугольных треугольников ANO и BKO можно выразить

и приравнять правые части

Решив это уравнения относительно x, можно найти R.

IV. Если диагональ трапеции перпендикулярна боковой стороне, центр описанной окружности лежит на середине большего основания и радиус равен половине большего основания.

точка O — середина AD

Если диагональ трапеции образует с боковой стороной тупой угол, центр описанной окружности лежит вне трапеции, за большим основанием.

I вариант нахождения радиуса для этого случая не изменяется.

Во II случае OK=h+x, соответственно, изменяется уравнение для нахождения x и R.

Позже рассмотрим конкретные задачи нахождения радиуса описанной около трапеции окружности.

Источник

Трапеция. Формулы, признаки и свойства трапеции

Параллельные стороны называются основами трапеции, а две другие боковыми сторонами

Так же, трапецией называется четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, и стороны не равны между собой.

• Основы трапеции — параллельные стороны
• Боковые стороны — две другие стороны
• Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

• Равнобедренная трапеция — трапеция, у которой боковые стороны равны
• Прямоугольная трапеция — трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основам

Рис.1	Рис.2

Основные свойства трапеции

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD

3. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:

m =	a + b
	2

BC : AD = OC : AO = OB : DO

d ₁ 2 + d ₂ 2 = 2 a b + c 2 + d 2

Сторона трапеции

Формулы определения длин сторон трапеции:

a = b + h · ( ctg α + ctg β )

b = a — h · ( ctg α + ctg β )

a = b + c· cos α + d· cos β

b = a — c· cos α — d· cos β

4. Формулы боковых сторон через высоту и углы при нижнем основании:

с =	h	d =	h
	sin α		sin β

Средняя линия трапеции

Формулы определения длины средней линии трапеции:

1. Формула определения длины средней линии через длины оснований:

m =	a + b
	2

2. Формула определения длины средней линии через площадь и высоту:

m =	S
	h

Высота трапеции

Формулы определения длины высоты трапеции:

h = c· sin α = d· sin β

2. Формула высоты через диагонали и углы между ними:

h =	sin γ ·	d 1 d 2	=	sin δ ·	d 1 d 2
		a + b			a + b

3. Формула высоты через диагонали, углы между ними и среднюю линию:

h =	sin γ ·	d 1 d 2	=	sin δ ·	d 1 d 2
		2 m			2 m

4. Формула высоты трапеции через площадь и длины оснований:

h =	2S
	a + b

5. Формула высоты трапеции через площадь и длину средней линии:

h =	S
	m

Диагонали трапеции

Формулы определения длины диагоналей трапеции:

d ₁ = √ a 2 + d 2 — 2 ad· cos β

d ₂ = √ a 2 + c 2 — 2 ac· cos α

2. Формулы диагоналей через четыре стороны:

d 1 =	√	d 2 + ab —	a ( d 2 — c 2 )
			a — b

d 2 =	√	c 2 + ab —	a ( c 2 — d 2 )
			a — b

d ₁ = √ h 2 + ( a — h · ctg β ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg α ) 2

d ₂ = √ h 2 + ( a — h · ctg α ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg β ) 2

d ₁ = √ c 2 + d 2 + 2 ab — d ₂ 2

d ₂ = √ c 2 + d 2 + 2 ab — d ₁ 2

Площадь трапеции

Формулы определения площади трапеции:

1. Формула площади через основания и высоту:

S =	( a + b )	· h
	2

3. Формула площади через диагонали и угол между ними:

S =	d 1 d 2	· sin γ	=	d 1 d 2	· sin δ
	2			2

4. Формула площади через четыре стороны:

S =	a + b	√	c 2 —	(	( a — b ) 2 + c 2 — d 2	)	2
	2				2( a — b )

5. Формула Герона для трапеции

S =	a + b	√ ( p — a )( p — b )( p — a — c )( p — a — d )
	| a — b |

где

p =	a + b + c + d	— полупериметр трапеции.
	2

Периметр трапеции

Формула определения периметра трапеции:

1. Формула периметра через основания:

Окружность описанная вокруг трапеции

Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:

1. Формула радиуса через стороны и диагональ:

R =	a·c·d 1
	4√ p ( p — a )( p — c )( p — d 1)

где

p =	a + c + d 1
	2

a — большее основание

Окружность вписанная в трапецию

Формула определения радиуса вписанной в трапецию окружности

1. Формула радиуса вписанной окружности через высоту:

r =	h
	2

Другие отрезки разносторонней трапеции

Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:

1. Формула определения длин отрезков проходящих через трапецию:

KM = NL =	b	KN = ML =	a	TO = OQ =	a · b
	2		2		a + b

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Источник

Свойства окружности, описанной вокруг трапеции

Окружность, описанная около трапеции

Трапеция — это выпуклый четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие — не параллельны.

Около четырехугольника можно описать окружность, если сумма его противолежащих углов равна 180°. Поэтому окружность можно описать только вокруг равнобедренной трапеции.

Как найти радиус описанной окружности

Самый распространенный способ найти радиус окружности, описанной около трапеции — через радиус окружности, описанной около треугольника, имеющего 3 любые общие вершины с данной трапецией.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Каждая диагональ делит трапецию на два треугольника. Описанная окружность проходит через все вершины трапеции, значит она проходит через все вершины каждого из этих треугольников и также является для них описанной окружностью.

Если известны угол и диагональ трапеции

где R — радиус описанной окружности,

а — сторона треугольника,

α — угол треугольника, противолежащий стороне а.

Например, если известна диагональ BD=а и острый угол трапеции ABCD ∠CDA=β, то можем найти радиус описанной окружности.

Рассмотрим треугольник BCD. Сторона BD известна. \(∠BCD=180°-∠CDA=180°-β\) .

Если известны диагональ, стороны трапеции и площадь одного из треугольников

где R — радиус описанной окружности,

а, b, c — стороны треугольника,

S — площадь треугольника.

Если известны длины сторон треугольника

где R — радиус описанной окружности,

а, b, c — стороны треугольника,

p — ½ периметра треугольника.

Как найти центр описанной окружности

Центр описанной окружности может лежать как внутри трапеции, так и вне ее. Определить его местонахождение помогает угол между диагональю трапеции и боковой стороной.

Если угол прямой

Если диагональ трапеции перпендикулярна ее боковой стороне, то центр описанной окружности будет лежать на середине большего основания. Тогда большее основание будет равно диаметру описанной окружности.

где R — радиус описанной окружности,

а — большее основание трапеции.

Если угол острый

Если диагональ трапеции и боковая сторона образуют острый угол, то центр описанной около трапеции окружности лежит внутри трапеции.

Если угол тупой

Если диагональ трапеции и боковая сторона образуют тупой угол, то центр описанной около трапеции окружности будет лежать вне трапеции за ее большим основанием.

Задачи с решениями

Дано: трапеция с описанной окружностью. Периметр трапеции равен 22 см, а ее средняя линия — 5 см.

Найти: боковую сторону трапеции.

Решение: Так как около трапеции описана окружность, эта трапеция — равнобедренная. Удвоенная средняя линия трапеции равна сумме ее оснований (10 см). Сумма двух боковых сторон равна 22-10=12 (см). Боковая сторона трапеции равна 6 см.

Ответ: 6 см.

Дано: основания трапеции ВС=11 см и AD=21 см. Диагональ трапеции ВD=20 см.

Найти: радиус описанной окружности.

Решение: найдем радиус окружности, описанной около \(ΔABD. R=\frac<2\sin\angle A>.\)

1. Трапеция ABCD равнобедренная, AB=CD, так как описать окружность можно только около равнобедренной трапеции.
2. ВЕ — высота трапеции. Отрезок \(АЕ=(21-11):2=5 (см)\) по свойству равнобедренной трапеции. Отрезок ЕD=21-5=16 (см).
3. Треугольник BED прямоугольный. ∠BED=90°. По теореме Пифагора \(BE=\sqrt<20^2-16^2>=12 (см).\)
4. Треугольник АBE также прямоугольный. ∠BED=90°. По теореме Пифагора \(АВ=\sqrt<5^2+12^2>=13 (см).\)
5. \(sin∠BAD=\frac<12><13>\) по определению синуса.
6. \(R=\frac<2\sin\angle A>=10\frac56 (см).\)

Источник