- Если центр вписанной окружности лежит на середине диагонали
- Решение
- Ответ
- Источники и прецеденты использования
- Центр вписанной в треугольник окружности
- Если центр вписанной окружности лежит на середине диагонали
- Подсказка
- Решение
- Замечания
- Источники и прецеденты использования
- Если центр вписанной окружности лежит на середине диагонали
- Решение
- Источники и прецеденты использования
- Если центр вписанной окружности лежит на середине диагонали
Если центр вписанной окружности лежит на середине диагонали
Центр окружности, вписанной в четырёхугольник, лежит на его диагонали, равной 5. Известно, что периметр четырёхугольника равен 14, а площадь равна 12. Найдите вторую диагональ и стороны четырёхугольника.
Решение
Пусть AC=5 — диагональ данного четырёхугольника ABCD , O — центр вписанной в четырёхугольник окружности. Центр окружности, вписанной в угол,лежит на биссектрисе этого угла, поэтому треугольники ABC и ADC равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Обозначим AB=AD=x , BC=CD=y , ABC=α . Тогда
x+y=7, xy sin α = 6, xy= , x 2 +y 2 —2xy cos α = 25,
x 2 +y 2 —2xy cos α = (x+y) 2 —2xy-2xy cos α = 49—2xy(1+ cos α)=25, xy= .
Из равенства = следует, что 1+ cos α = sin α . После возведения обеих частей этого уравнения в квадрат и очевидных упрощений получим уравнение cos α(1+ cos α)=0 , а т.к. 0 o , то α=90 o .
Таким образом
Из этой системы находим, что x=3 , y=4 или x=4 , y=3 , а площадь треугольника ABC равна 6.
Точки A и C равноудалены от концов отрезка BD , значит, AC — серединный перпендикуляр к отрезку BD . Из равенства AC· BD= 12 (площадь четырёхугольника ABCD ) находим, что
BD= = = .
Ответ
Источники и прецеденты использования
web-сайт | |
Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
URL | http://zadachi.mccme.ru |
задача | |
Номер | 3315 |
Проект осуществляется при поддержке и .
Источник
Центр вписанной в треугольник окружности
Где лежит центр вписанной в треугольник окружности? Что можно сказать о центре окружности, вписанной в многоугольник?
Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения биссектрис этого треугольника.
O — точка пересечения биссектрис треугольника ABC.
окр. (O; r) — вписанная.
O — точка пересечения биссектрис ∆ ABC.
Обозначим точки касания вписанной в треугольник окружности со сторонами AC, BC и AB соответственно M, K. F.
Соединим отрезками центр окружности с точками A, M и F.
(как радиусы, проведенные в точки касания). Следовательно, треугольники AOF и AOM — прямоугольные.
У них общая гипотенуза AO, катеты OF=OM (как радиусы).
Следовательно, треугольники AOF и AOM равны (по катету и гипотенузе).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠OAF=∠OAM.
Значит, точка O лежит на биссектрисе треугольника, проведенной из вершины A.
Аналогично из равенства треугольников BOF и BOK, COM и COK доказывается, что точка O лежит на биссектрисах треугольника ABC, проведенных из вершин B и C.
Следовательно, центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечении биссектрис этого треугольника.
Что и требовалось доказать.
Доказательство теоремы можно основать непосредственно на свойстве биссектрисы угла.
1) OM=OF=OK (как радиусы),
2) OM⊥AC, OM⊥AB, OK⊥BC (как радиусы, проведённые в точку касания).
Значит точка O равноудалена от сторон углов BAC, ABC и ACB.
Так как любая точка, лежащая внутри неразвёрнутого угла и равноудалённая от сторон этого угла, лежит на его биссектрисе, то AO, BO и CO — биссектрисы треугольника ABC, O — точка их пересечения.
Аналогично, центр вписанной в многоугольник окружности (если в него можно вписать окружность) лежит в точке пересечения биссектрис этого многоугольника.
Источник
Если центр вписанной окружности лежит на середине диагонали
Докажите, что во всяком описанном четырёхугольнике середины диагоналей и центр вписанной окружности расположены на одной прямой.
Подсказка
Решение
Пусть ABCD – описанный четырёхугольник, O – центр вписанной окружности, r – её радиус, N и K – середины диагоналей AC и BD соответственно.
Если ABCD – ромб, то все эти точки совпадают. В противном случае можно считать, что стороны AB и CD не параллельны.
Заметим, что S ANB + S DNC = ½ S ABC + ½ S ADC = ½ S ABCD . Аналогично, S AKB + S DKC = ½ S ABCD .
Пусть P и L – точки касания вписанной окружности со сторонами AB и CD . Тогда
S AOB + S COD = ½ AB·OP + ½ CD·OL = ½ r (AB + CD) = ½ r (AD + BC). Поэтому S AOB + S COD = ½ S ABCD .
Согласно задаче 54571 точки N, O и K лежат на одной прямой.
Замечания
Более подробное изложение вопросов, связанных с теоремами Ньютона, см. в разделе «Замечательные теоремы и факты геометрии» (В.В. Прасолов, И.Ф. Шарыгин) книги «Факультативный курс по математике», составитель И.Л.Никольская (с. 342).
Источники и прецеденты использования
web-сайт | |
Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
URL | http://zadachi.mccme.ru |
задача | |
Номер | 4773 |
книга | |
Автор | Прасолов В.В. |
Год издания | 2001 |
Название | Задачи по планиметрии |
Издательство | МЦНМО |
Издание | 4* |
глава | |
Номер | 6 |
Название | Многоугольники |
Тема | Многоугольники |
параграф | |
Номер | 1 |
Название | Вписанные и описанные четырехугольники |
Тема | Вписанные четырехугольники |
задача | |
Номер | 06.005 |
Проект осуществляется при поддержке и .
Источник
Если центр вписанной окружности лежит на середине диагонали
На доске был нарисован четырехугольник, в который можно вписать и около которого можно описать окружность. В нем отметили центры этих окружностей и точку пересечения прямых, соединяющих середины противоположных сторон, после чего сам четырехугольник стерли. Восстановите его с помощью циркуля и линейки.
Решение
Построение основано на двух леммах. 1. Диагонали всех четырехугольников, вписанных в данную окружность с центром O и описанных около данной окружности с центром I , пересекаются в одной и той же точке L , лежащей на продолжении отрезка OI за точку I . 2. Центр вписанной в четырехугольник окружности лежит на прямой, соединяющей середины его диагоналей (Теорема Монжа). Отметим также, что в любом четырехугольнике точка M пересечения прямых, соединяющих середины противоположных сторон, делит пополам отрезок между серединами диагоналей. Из леммы 1 следует, что середины диагоналей искомого четырехугольника лежат на окружности с диаметром OL . Отсюда и из леммы 2 получаем, что точка M лежит на окружности, диаметрально противоположными точками которой являются I и середина OL . Поэтому, проведя через M прямую, перпендикулярную IM , и найдя точку ее пересечения с OI , мы получим середину OL , а значит, и саму точку L . Далее, построив окружность с диаметром OL и найдя ее точки пересечения с прямой MI , получим середины диагоналей четырехугольника. Кроме того, рассмотрев четырехугольник, две вершины которого лежат на прямой OI , нетрудно убедиться, что для третьей вершины X XI – биссектриса угла OXL (рис.10.6). Это дает возможность восстановить описанную окружность четырехугольника и найти его вершины, как точки пересечения этой окружности с диагоналями.
Источники и прецеденты использования
олимпиада | |
Название | Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина |
год | |
Год | 2006 |
Класс | |
Класс | 10 |
задача | |
Номер | 106 |
Проект осуществляется при поддержке и .
Источник
Если центр вписанной окружности лежит на середине диагонали
6.1. Докажите, что если центр вписанной в четырехугольник окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей, то этот четырехугольник- ромб. 6.2. Четырехугольник ABCD описан около окружности с центром O. Докажите, что Р AOB + Р COD = 180°. 6.3. Докажите, что если существует окружность, касающаяся всех сторон выпуклого четырехугольника ABCD, и окружность, касающаяся продолжений всех его сторон, то диагонали такого четырехугольника перпендикулярны. 6.4. Окружность высекает на всех четырех сторонах четырехугольника равные хорды. Докажите, что в этот четырехугольник можно вписать окружность. 6.5. Докажите, что если в четырехугольник можно вписать окружность, то центр этой окружности лежит на одной прямой с серединами диагоналей. 6.6. Четырехугольник ABCD описан около окружности с центром O. В треугольнике AOB проведены высоты AA1 и BB1, а в треугольнике COD— высоты CC1 и DD1. Докажите, что точки A1,B1,C1 и D1 лежат на одной прямой.
6.7. Углы при основании AD трапеции ABCD равны 2 a и 2 b . Докажите, что трапеция описанная тогда и только тогда, когда BC/AD = tg a tg b .
6.8. В треугольнике ABC проведены отрезки PQ и RS, параллельные стороне AC, и отрезок BM (рис. 6.1). Трапеции RPKL и MLSC описанные. Докажите, что трапеция APQC тоже описанная.
6.9 * . Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Лучи AB и DC пересекаются в точке P, а лучи BC и AD— в точке Q. Докажите, что четырехугольник ABCD описанный тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий: AB + CD = BC + AD, AP + CQ = AQ + CP или BP + BQ = DP + DQ.
6.10 * . Через точки пересечения продолжений сторон выпуклого четырехугольника ABCD проведены две прямые, делящие его на четыре четырехугольника. Докажите, что если четырехугольники, примыкающие к вершинам B и D, описанные, то четырехугольник ABCD тоже описанный. 6.11 * . На стороне BC треугольника ABC взяты точки K1 и K2. Докажите, что общие внешние касательные к вписанным окружностям треугольников ABK1 и ACK2 общие внешние касательные к вписанным окружностям треугольников ABK2 и ACK1 пересекаются в одной точке. 6.12 * . Через каждую из точек пересечения продолжений сторон выпуклого четырехугольника ABCD проведено по две прямые. Эти прямые делят четырехугольник на девять четырехугольников. а) Докажите, что если три из четырехугольников, примыкающих к вершинам A, B, C, D, описанные, то четвертый четырехугольник тоже описанный.
б) Докажите, что если ra, rb, rc, rd — радиусы окружностей, вписанных в четырехугольники, примыкающие к вершинам A, B, C, D, то
|