Если центр вписанной окружности лежит на середине диагонали

Центр окружности, вписанной в четырёхугольник, лежит на его диагонали, равной 5. Известно, что периметр четырёхугольника равен 14, а площадь равна 12. Найдите вторую диагональ и стороны четырёхугольника.

Решение

Пусть AC=5 — диагональ данного четырёхугольника ABCD , O — центр вписанной в четырёхугольник окружности. Центр окружности, вписанной в угол,лежит на биссектрисе этого угла, поэтому треугольники ABC и ADC равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Обозначим AB=AD=x , BC=CD=y , ABC=α . Тогда
x+y=7, xy sin α = 6, xy= , x 2 +y 2 —2xy cos α = 25,

x 2 +y 2 —2xy cos α = (x+y) 2 —2xy-2xy cos α = 49—2xy(1+ cos α)=25, xy= .
Из равенства = следует, что 1+ cos α = sin α . После возведения обеих частей этого уравнения в квадрат и очевидных упрощений получим уравнение cos α(1+ cos α)=0 , а т.к. 0 o , то α=90 o .
Таким образом

Из этой системы находим, что x=3 , y=4 или x=4 , y=3 , а площадь треугольника ABC равна 6.
Точки A и C равноудалены от концов отрезка BD , значит, AC — серединный перпендикуляр к отрезку BD . Из равенства AC· BD= 12 (площадь четырёхугольника ABCD ) находим, что
BD= = = .

Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3315

Проект осуществляется при поддержке и .

Источник

Центр вписанной в треугольник окружности

Где лежит центр вписанной в треугольник окружности? Что можно сказать о центре окружности, вписанной в многоугольник?

Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения биссектрис этого треугольника.

O — точка пересечения биссектрис треугольника ABC.

окр. (O; r) — вписанная.

O — точка пересечения биссектрис ∆ ABC.

Обозначим точки касания вписанной в треугольник окружности со сторонами AC, BC и AB соответственно M, K. F.

Соединим отрезками центр окружности с точками A, M и F.

(как радиусы, проведенные в точки касания). Следовательно, треугольники AOF и AOM — прямоугольные.

У них общая гипотенуза AO, катеты OF=OM (как радиусы).

Следовательно, треугольники AOF и AOM равны (по катету и гипотенузе).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠OAF=∠OAM.

Значит, точка O лежит на биссектрисе треугольника, проведенной из вершины A.

Аналогично из равенства треугольников BOF и BOK, COM и COK доказывается, что точка O лежит на биссектрисах треугольника ABC, проведенных из вершин B и C.

Следовательно, центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечении биссектрис этого треугольника.

Что и требовалось доказать.

Доказательство теоремы можно основать непосредственно на свойстве биссектрисы угла.

1) OM=OF=OK (как радиусы),

2) OM⊥AC, OM⊥AB, OK⊥BC (как радиусы, проведённые в точку касания).

Значит точка O равноудалена от сторон углов BAC, ABC и ACB.

Так как любая точка, лежащая внутри неразвёрнутого угла и равноудалённая от сторон этого угла, лежит на его биссектрисе, то AO, BO и CO — биссектрисы треугольника ABC, O — точка их пересечения.

Аналогично, центр вписанной в многоугольник окружности (если в него можно вписать окружность) лежит в точке пересечения биссектрис этого многоугольника.

Источник

Если центр вписанной окружности лежит на середине диагонали

Докажите, что во всяком описанном четырёхугольнике середины диагоналей и центр вписанной окружности расположены на одной прямой.

Подсказка

Решение

Пусть ABCD – описанный четырёхугольник, O – центр вписанной окружности, r – её радиус, N и K – середины диагоналей AC и BD соответственно.
Если ABCD – ромб, то все эти точки совпадают. В противном случае можно считать, что стороны AB и CD не параллельны.
Заметим, что S ANB + S DNC = ½ S ABC + ½ S ADC = ½ S ABCD . Аналогично, S AKB + S DKC = ½ S ABCD .
Пусть P и L – точки касания вписанной окружности со сторонами AB и CD . Тогда
S AOB + S COD = ½ AB·OP + ½ CD·OL = ½ r (AB + CD) = ½ r (AD + BC). Поэтому S AOB + S COD = ½ S ABCD .
Согласно задаче 54571 точки N, O и K лежат на одной прямой.

Замечания

Более подробное изложение вопросов, связанных с теоремами Ньютона, см. в разделе «Замечательные теоремы и факты геометрии» (В.В. Прасолов, И.Ф. Шарыгин) книги «Факультативный курс по математике», составитель И.Л.Никольская (с. 342).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4773
книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	1
Название	Вписанные и описанные четырехугольники
Тема	Вписанные четырехугольники
задача
Номер	06.005

Проект осуществляется при поддержке и .

Источник

Если центр вписанной окружности лежит на середине диагонали

На доске был нарисован четырехугольник, в который можно вписать и около которого можно описать окружность. В нем отметили центры этих окружностей и точку пересечения прямых, соединяющих середины противоположных сторон, после чего сам четырехугольник стерли. Восстановите его с помощью циркуля и линейки.

Решение

Построение основано на двух леммах. 1. Диагонали всех четырехугольников, вписанных в данную окружность с центром O и описанных около данной окружности с центром I , пересекаются в одной и той же точке L , лежащей на продолжении отрезка OI за точку I . 2. Центр вписанной в четырехугольник окружности лежит на прямой, соединяющей середины его диагоналей (Теорема Монжа). Отметим также, что в любом четырехугольнике точка M пересечения прямых, соединяющих середины противоположных сторон, делит пополам отрезок между серединами диагоналей. Из леммы 1 следует, что середины диагоналей искомого четырехугольника лежат на окружности с диаметром OL . Отсюда и из леммы 2 получаем, что точка M лежит на окружности, диаметрально противоположными точками которой являются I и середина OL . Поэтому, проведя через M прямую, перпендикулярную IM , и найдя точку ее пересечения с OI , мы получим середину OL , а значит, и саму точку L . Далее, построив окружность с диаметром OL и найдя ее точки пересечения с прямой MI , получим середины диагоналей четырехугольника. Кроме того, рассмотрев четырехугольник, две вершины которого лежат на прямой OI , нетрудно убедиться, что для третьей вершины X XI – биссектриса угла OXL (рис.10.6). Это дает возможность восстановить описанную окружность четырехугольника и найти его вершины, как точки пересечения этой окружности с диагоналями.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2006
Класс
Класс	10
задача
Номер	106

Проект осуществляется при поддержке и .

Источник

Если центр вписанной окружности лежит на середине диагонали

6.1. Докажите, что если центр вписанной в четырехугольник окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей, то этот четырехугольник- ромб. 6.2. Четырехугольник ABCD описан около окружности с центром O. Докажите, что Р AOB + Р COD = 180°. 6.3. Докажите, что если существует окружность, касающаяся всех сторон выпуклого четырехугольника ABCD, и окружность, касающаяся продолжений всех его сторон, то диагонали такого четырехугольника перпендикулярны. 6.4. Окружность высекает на всех четырех сторонах четырехугольника равные хорды. Докажите, что в этот четырехугольник можно вписать окружность. 6.5. Докажите, что если в четырехугольник можно вписать окружность, то центр этой окружности лежит на одной прямой с серединами диагоналей. 6.6. Четырехугольник ABCD описан около окружности с центром O. В треугольнике AOB проведены высоты AA₁ и BB₁, а в треугольнике COD— высоты CC₁ и DD₁. Докажите, что точки A₁,B₁,C₁ и D₁ лежат на одной прямой.

6.7. Углы при основании AD трапеции ABCD равны 2 a и 2 b . Докажите, что трапеция описанная тогда и только тогда, когда BC/AD = tg a tg b .

6.8. В треугольнике ABC проведены отрезки PQ и RS, параллельные стороне AC, и отрезок BM (рис. 6.1). Трапеции RPKL и MLSC описанные. Докажите, что трапеция APQC тоже описанная.

6.9 * . Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Лучи AB и DC пересекаются в точке P, а лучи BC и AD— в точке Q. Докажите, что четырехугольник ABCD описанный тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий: AB + CD = BC + AD, AP + CQ = AQ + CP или BP + BQ = DP + DQ.

6.10 * . Через точки пересечения продолжений сторон выпуклого четырехугольника ABCD проведены две прямые, делящие его на четыре четырехугольника. Докажите, что если четырехугольники, примыкающие к вершинам B и D, описанные, то четырехугольник ABCD тоже описанный. 6.11 * . На стороне BC треугольника ABC взяты точки K₁ и K₂. Докажите, что общие внешние касательные к вписанным окружностям треугольников ABK₁ и ACK₂ общие внешние касательные к вписанным окружностям треугольников ABK₂ и ACK₁ пересекаются в одной точке. 6.12 * . Через каждую из точек пересечения продолжений сторон выпуклого четырехугольника ABCD проведено по две прямые. Эти прямые делят четырехугольник на девять четырехугольников. а) Докажите, что если три из четырехугольников, примыкающих к вершинам A, B, C, D, описанные, то четвертый четырехугольник тоже описанный.

б) Докажите, что если r_a, r_b, r_c, r_d — радиусы окружностей, вписанных в четырехугольники, примыкающие к вершинам A, B, C, D, то

6.13 * . Окружности S₁ и S₂, S₂ и S₃, S₃ и S₄, S₄ и S₁ касаются внешним образом. Докажите, что четыре общие касательные (в точках касания окружностей) либо пересекаются в одной точке, либо касаются одной окружности. 6.14 * . Докажите, что точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника совпадает с точкой пересечения диагоналей четырехугольника, вершинами которого служат точки касания сторон исходного четырехугольника с вписанной окружностью.

* * *

6.15 * . Четырехугольник ABCD вписанный; H_c и H_d— ортоцентры треугольников ABD и ABC. Докажите, что CDH_cH_d— параллелограмм. 6.16 * . Четырехугольник ABCD вписанный. Докажите, что центры вписанных окружностей треугольников ABC, BCD, CDA и DAB образуют прямоугольник. 6.17 * . Продолжения сторон четырехугольника ABCD, вписанного в окружность с центром O, пересекаются в точках P и Q, а его диагонали пересекаются в точке S. а) Расстояния от точек P,Q и S до точки O равны p,q и s, а радиус описанной окружности равен R. Найдите длины сторон треугольника PQS.

б) Докажите, что высоты треугольника PQS пересекаются в точке O.

6.18 * . Диагональ AC разбивает четырехугольник ABCD на два треугольника, вписанные окружности которых касаются диагонали AC в одной точке. Докажите, что вписанные окружности треугольников ABD и BCD тоже касаются диагонали BD в одной точке, а точки их касания со сторонами четырехугольника лежат на одной окружности. 6.19 * . Докажите, что проекции точки пересечения диагоналей вписанного четырехугольника на его стороны являются вершинами описанного четырехугольника, если только они не попадают на продолжения сторон. 6.20 * . Докажите, что если диагонали четырехугольника перпендикулярны, то проекции точки пересечения диагоналей на стороны являются вершинами вписанного четырехугольника. См. также задачи 13.33, 13.34, 16.4.

Источник