Если треугольник имеет две оси симметрии то он равнобедренный треугольник

Осевая симметрия

Осевая симметрия — это симметрия относительно прямой.

Пусть дана некоторая прямая g.

Чтобы построить точку, симметричную некоторой точке A относительно прямой g, надо:

1) Провести из точки A к прямой g перпендикуляр AO.

2) На продолжении перпендикуляра с другой стороны от прямой g отложить отрезок OA1, равный отрезку AO: OA1=AO.

Полученная точка A1 симметрична точке A относительно прямой g.

Прямая g называется осью симметрии.

Таким образом, точки A и A1 симметричны относительно прямой g, если эта прямая проходит через середину отрезка AA1 и перпендикулярна к нему.

Если точка A лежит на прямой g, то симметричная ей точка есть сама точка A.

Преобразование фигуры F в фигуру F1, при котором каждая её точка A переходит в точку A1, симметричную относительно данной прямой g, называется преобразованием симметрии относительно прямой g.

Фигуры F и F1 называются фигурами, симметричными относительно прямой g.

Чтобы построить треугольник, симметричный данному относительно прямой g, достаточно построить точки, симметричные вершинам треугольника, и соединить их отрезками.

Например, треугольники ABC и A1B1C1 симметричны относительно прямой g.

Если преобразование симметрии относительно прямой g переводит фигуру в себя, то такая фигура называется симметричной относительно прямой g, а прямая g называется её осью симметрии.

Симметричная фигура своей осью симметрии делится на две равные половины. Если симметричную фигуру нарисовать на бумаге, вырезать и согнуть по оси симметрии, то эти половинки совпадут.

Примеры фигур, симметричных относительно прямой.

1) Прямоугольник.

Прямоугольник имеет 2 оси симметрии: прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей параллельно сторонам.

Ромб имеет две оси симметрии:

прямые, на которых лежат его диагонали.

3) Квадрат, как ромб и прямоугольник, имеет четыре оси симметрии: прямые, содержащие его диагонали, и прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей параллельно сторонам.

Окружность имеет бесконечное множество осей симметрии:

любая прямая, содержащая диаметр, является осью симметрии окружности.

Прямая также имеет бесконечное множество осей симметрии: любая перпендикулярная ей прямая является для данной прямой осью симметрии.

Равнобедренная трапеция — фигура, симметричная относительно прямой,перпендикулярной основаниям и проходящей через их середины.

Равнобедренный треугольник имеет одну ось симметрии:

прямую, проходящую через высоту (медиану, биссектрису), проведённую к основанию.

8) Равносторонний треугольник.

Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии:

прямые, содержащие его высоты (медианы, биссектрисы).

Угол — фигура, симметричная относительно прямой, содержащей его биссектрису.

Осевая симметрия является движением.

4 Comments

Согласна с теорией по теме «осевая симметрия»

осевая симметрия — это симметрия относительно прямой.
Я не поняла, к чему здесь фраза «Осевая симметрия является движением». Это проверка на внимание или на то, прочитан ли текст до конца?

Румия Катдусовна, движение — преобразование одной фигуры в другую, при котором сохраняется расстояние между точками. Преобразование симметрии относительно прямой является движением.

В основном согласна с изложением темы «Осевая симметрия». Но пункт 3 сформулировала бы немного иначе: «квадрат, как частный случай и прямоугольника, и ромба, …»

Источник

Симметрия в равнобедренном треугольнике

Есть ли симметрия в равнобедренном треугольнике? Сколько осей симметрии имеет равнобедренный треугольник? Есть ли в у равнобедренного треугольника центр симметрии?

Равнобедренный треугольник имеет одну ось симметрии.

Осью симметрии равнобедренного треугольника является прямая, перпендикулярная основанию и проходящая через его середину.

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC.

Через середину основания — точку F- проведём прямую BF,

В треугольнике ABC BF — высота и биссектриса, проведённые к основанию. По свойству равнобедренного треугольника BF является также его биссектрисой.

Отметим на стороне AB произвольную точку X.

Проведём из точки X прямую XX1, перпендикулярную BF,

Рассмотрим прямоугольные треугольники XBK и X1BK.

1) BK — общий катет.

2) ∠XBK=∠X1BK (так как BF — биссектриса ∠ABC).

Следовательно, треугольники XBK и X1BK равны (по катету и острому углу).

Таким образом, точка, симметричная произвольной точке равнобедренного треугольника относительно прямой BF, также принадлежит этому треугольнику.

Точки B и F симметричны относительно прямой BF сами себе.

Следовательно, прямая прямая BF является осью симметрии треугольника ABC.

Что и требовалось доказать .

Центра симметрии равнобедренный треугольник не имеет.

Источник

Равнобедренный треугольник — Isosceles triangle

Тип треугольник Ребра и вершины 3 Символ Шлефли () ∨ <> Группа симметрии Dih 2 , [], (*), порядок 2 Двойной многоугольник Самодвойственный Характеристики выпуклый , циклический

В геометрии , равнобедренный треугольник является треугольником , который имеет две стороны одинаковой длины. Иногда указывается, что у него ровно две стороны равной длины, а иногда как минимум две стороны равной длины, последняя версия, таким образом, включает равносторонний треугольник в качестве особого случая . Примеры равнобедренных треугольников включают равнобедренный прямоугольный треугольник , золотой треугольник и грани бипирамид и некоторых каталонских тел .

Читайте также:  Как соединить отрезок с окружностью

Математическое изучение равнобедренных треугольников восходит к древнеегипетской математике и вавилонской математике . Равнобедренные треугольники использовались в качестве украшения еще с более ранних времен и часто появляются в архитектуре и дизайне, например, на фронтонах и фронтонах зданий.

Две равные стороны называются ногами, а третья сторона называется основанием треугольника. Другие размеры треугольника, такие как его высота, площадь и периметр, можно рассчитать по простым формулам, исходя из длин ног и основания. Каждый равнобедренный треугольник имеет ось симметрии вдоль серединного перпендикуляра его основания. Два угла напротив сторон равны и всегда остры , поэтому классификация треугольника как острого, прямого или тупого зависит только от угла между двумя его сторонами.

СОДЕРЖАНИЕ

Терминология, классификация и примеры

Евклид определил равнобедренный треугольник как треугольник с ровно двумя равными сторонами, но современные методы лечения предпочитают определять равнобедренные треугольники как имеющие по крайней мере две равные стороны. Разница между этими двумя определениями заключается в том, что современная версия делает равносторонние треугольники (с тремя равными сторонами) частным случаем равнобедренных треугольников. Неравнобедренный треугольник (имеющий три неравные стороны) называется разносторонним . «Равнобедренный» образовано от греческих корней «isos» (равный) и «skelos» (нога). То же слово используется, например, для равнобедренных трапеций , трапеций с двумя равными сторонами и для равнобедренных множеств , наборов точек, каждые три из которых образуют равнобедренный треугольник.

В равнобедренном треугольнике, который имеет ровно две равные стороны, равные стороны называются ногами, а третья сторона называется основанием . Угол, образующийся между ножками, называется углом при вершине, а углы, одной из сторон которых является основание, называются базовыми углами . Вершина напротив основания называется вершиной . В случае равностороннего треугольника, поскольку все стороны равны, любую сторону можно назвать основанием.

Будет ли равнобедренный треугольник острым, прямым или тупым, зависит только от угла при его вершине. В евклидовой геометрии базовые углы не могут быть тупыми (больше 90 °) или прямыми (равными 90 °), потому что их размер будет составлять не менее 180 °, сумму всех углов в любом евклидовом треугольнике. Поскольку треугольник является тупым или прямым тогда и только тогда, когда один из его углов тупой или прямой, соответственно, равнобедренный треугольник является тупым, прямым или острым тогда и только тогда, когда его угол при вершине соответственно тупой, прямой или острый. В книге Эдвина Эббота « Плоская земля» эта классификация форм использовалась как сатира социальной иерархии : равнобедренные треугольники представляли рабочий класс , а острые равнобедренные треугольники располагались выше в иерархии, чем правые или тупые равнобедренные треугольники.

Помимо равнобедренного прямоугольного треугольника , были изучены несколько других специфических форм равнобедренных треугольников. Они включают в себя треугольник Калаби (треугольник с тремя конгруэнтных вписанных квадратов), то золотой треугольник и золотой гномон (две равнобедренные треугольники, стороны и основание в золотой пропорции ), то треугольник 80-80-20 , фигурирующие в Адвентивные Углы Лэнгли головоломки , и треугольник 30-30-120 треугольной мозаики триакиса . Пять каталонских тел , триакис-тетраэдр , триакис-октаэдр , тетракис-шестигранник , пентакис-додекаэдр и триакис-икосаэдр , имеют грани равнобедренного треугольника, как и бесконечное множество пирамид и бипирамид .

Формулы

Для любого равнобедренного треугольника следующие шесть отрезков совпадают:

  • высота , отрезок от вершины перпендикуляра к основанию,
  • биссектриса от вершины к основанию,
  • медианный от вершины к середине основания,
  • перпендикуляр основания в пределах треугольника,
  • сегмент внутри треугольника единственной оси симметрии треугольника, и
  • сегмент внутри треугольника линии Эйлера треугольника, за исключением равностороннего треугольника .

Их общая длина равна высоте треугольника. Если треугольник имеет равные стороны длины и основания длины , общие формулы треугольника для длин этих сегментов все упрощаются до час <\ displaystyle h> а <\ displaystyle a> б <\ displaystyle b>

час знак равно 1 2 4 а 2 — б 2 . <\ displaystyle h = <\ frac <1><2>> <\ sqrt <4a ^ <2>-b ^ <2>>>.>

Эту формулу также можно вывести из теоремы Пифагора, используя тот факт, что высота делит основание пополам и делит равнобедренный треугольник на два равнобедренных прямоугольных треугольника.

Линия Эйлера любого треугольника проходит через ортоцентр треугольника (пересечение его трех высот), его центр тяжести (пересечение трех его медиан) и его центр описанной окружности (пересечение серединных перпендикуляров его трех сторон, которое также является центр описанной окружности, проходящей через три вершины). В равнобедренном треугольнике с ровно двумя равными сторонами эти три точки различны и (по симметрии) все лежат на оси симметрии треугольника, из чего следует, что линия Эйлера совпадает с осью симметрии. Вписанной треугольника также лежит на прямой Эйлера, то , что это не верно и для других треугольников. Если любые два из биссектрис угла, медианы или высоты совпадают в данном треугольнике, этот треугольник должен быть равнобедренным.

Площадь

Площадь равнобедренного треугольника может быть получена из формулы для его высоты и из общей формулы для площади треугольника как половины произведения основания и высоты: Т <\ displaystyle T>

Читайте также:  Душевая стойка прямоугольной формы

Т знак равно б 4 4 а 2 — б 2 . <\ displaystyle T = <\ frac <4>> <\ sqrt <4a ^ <2>-b ^ <2>>>.>

Та же самая формула площади может быть получена из формулы Герона для площади треугольника с трех сторон. Однако прямое применение формулы Герона может быть численно нестабильным для равнобедренных треугольников с очень острыми углами из-за почти полного сокращения между полупериметром и длиной стороны в этих треугольниках.

Если известны угол при вершине и длина ног равнобедренного треугольника, то площадь этого треугольника равна: ( θ ) <\ Displaystyle (\ тета)> ( а ) <\ Displaystyle (а)>

Т знак равно 1 2 а 2 грех ⁡ θ . <\ displaystyle T = <\ frac <1><2>> a ^ <2>\ sin \ theta.>

Это частный случай общей формулы для площади треугольника, равной половине произведения двух сторон, умноженной на синус включенного угла.

Периметр

Периметр равнобедренного треугольника с равными сторонами и основанием равен п <\ displaystyle p> а <\ displaystyle a> б <\ displaystyle b>

п знак равно 2 а + б . <\ displaystyle p = 2a + b.>

Как и в любом треугольнике, площадь и периметр связаны изопериметрическим неравенством Т <\ displaystyle T> п <\ displaystyle p>

12<\sqrt <3>>T.>»> п 2 > 12 3 Т . <\ displaystyle p ^ <2>> 12 <\ sqrt <3>> т.> 12 <\ sqrt <3>> Т.»>

Это строгое неравенство для равнобедренных треугольников со сторонами, не равными основанию, и становится равенством для равностороннего треугольника. Площадь, периметр и основание также могут быть связаны друг с другом уравнением

2 п б 3 — п 2 б 2 + 16 Т 2 знак равно 0. <\ displaystyle 2pb ^ <3>-p ^ <2>b ^ <2>+ 16T ^ <2>= 0.>

Если основание и периметр фиксированы, то эта формула определяет площадь результирующего равнобедренного треугольника, которая является максимально возможной среди всех треугольников с одинаковым основанием и периметром. С другой стороны, если площадь и периметр фиксированы, эту формулу можно использовать для восстановления базовой длины, но не однозначно: как правило, есть два различных равнобедренных треугольника с заданной площадью и периметром . Когда изопериметрическое неравенство превращается в равенство, остается только один такой треугольник, который является равносторонним. Т <\ displaystyle T> п <\ displaystyle p>

Длина биссектрисы угла

Если две равные стороны имеют длину, а другая — длину , то биссектриса внутреннего угла от одной из двух равных угловых вершин удовлетворяет условию а <\ displaystyle a> б <\ displaystyle b> т <\ displaystyle t>

t><\frac >>>>»> 2 а б а + б > т > а б 2 а + б <\ displaystyle <\ frac <2ab>>> t> <\ frac >> >> t> <\ frac >> >>»>

и наоборот, если последнее условие выполняется, равнобедренный треугольник параметризован и существует. а <\ displaystyle a> т <\ displaystyle t>

Теорема Штейнера – Лемуса утверждает, что любой треугольник с двумя биссектрисами равной длины равнобедренный. Он был сформулирован в 1840 г. К.Л. Лемусом . Другой его тезка, Якоб Штайнер , был одним из первых, кто предложил решение. Хотя изначально он был сформулирован только для биссектрис внутреннего угла, он работает во многих (но не во всех) случаях, когда вместо этого две биссектрисы внешних углов равны. Равнобедренный треугольник 30-30-120 представляет собой граничный случай для этой вариации теоремы, поскольку он имеет четыре равных биссектрисы (две внутренние и две внешние).

Радиусы

Формулы радиуса и описанной окружности для равнобедренного треугольника могут быть получены из их формул для произвольных треугольников. Радиус вписанной окружности равнобедренного треугольника с длиной стороны , основанием и высотой равен: а <\ displaystyle a> б <\ displaystyle b> час <\ displaystyle h>

2 а б — б 2 4 час . <\ displaystyle <\ frac <2ab-b ^ <2>> <4h>>.>

Центр круга лежит на оси симметрии треугольника, на этом расстоянии от основания. Равнобедренный треугольник имеет самый большой вписанный круг среди треугольников с тем же основанием и углом при вершине, а также имеет самую большую площадь и периметр среди треугольников того же класса.

а 2 2 час . <\ displaystyle <\ frac > <2h>>.>

Центр круга лежит на оси симметрии треугольника, на этом расстоянии ниже вершины.

Вписанный квадрат

Для любого равнобедренного треугольника существует уникальный квадрат, одна сторона которого коллинеарна основанию треугольника, а два противоположных угла на его сторонах. Треугольник Калаби это специальный равнобедренный треугольник со свойством , что два других вписанных квадратов со сторонами коллинеарны со сторонами треугольника, одного и того же размера, что и основной площади. Гораздо более старая теорема, сохранившаяся в трудах Героя Александрийского , утверждает, что для равнобедренного треугольника с основанием и высотой длина стороны вписанного квадрата в основание треугольника равна б <\ displaystyle b> час <\ displaystyle h>

б час б + час . <\ displaystyle <\ frac >.>

Равнобедренное подразделение других форм

Для любого целого числа любой треугольник можно разбить на равнобедренные треугольники. В прямоугольном треугольнике медиана гипотенузы (то есть отрезок прямой от середины гипотенузы до прямоугольной вершины) делит прямоугольный треугольник на два равнобедренных треугольника. Это потому, что середина гипотенузы является центром описанной окружности прямоугольного треугольника, и каждый из двух треугольников, образованных разделением, имеет два равных радиуса в качестве двух сторон. Точно так же острый треугольник можно разделить на три равнобедренных треугольника отрезками от его центра описанной окружности, но этот метод не работает для тупых треугольников, потому что центр описанной окружности лежит вне треугольника. п ≥ 4 <\ displaystyle n \ geq 4> п <\ displaystyle n>

Читайте также:  Как решать задачи по геометрии 9 класс трапеции

Обобщая разбиение острого треугольника, любой циклический многоугольник , содержащий центр его описанной окружности, может быть разбит на равнобедренные треугольники радиусами этой окружности, проходящей через ее вершины. Тот факт, что все радиусы окружности имеют одинаковую длину, означает, что все эти треугольники равнобедренные. Это разбиение можно использовать для получения формулы площади многоугольника как функции от его длин сторон, даже для циклических многоугольников, которые не содержат центров окружности. Эта формула обобщает формулу Герона для треугольников и формулу Брахмагупты для циклических четырехугольников .

Либо по диагонали из через ромб делит его на два конгруэнтные равнобедренные треугольники. Точно так же одна из двух диагоналей воздушного змея делит его на два равнобедренных треугольника, которые не совпадают, за исключением случая, когда воздушный змей является ромбом.

Приложения

В архитектуре и дизайне

Равнобедренные треугольники обычно появляются в архитектуре как формы фронтонов и фронтонов . В древнегреческой архитектуре и ее более поздних подражаниях использовался тупой равнобедренный треугольник; в готической архитектуре его заменил острый равнобедренный треугольник.

В архитектуре средневековья стала популярна другая форма равнобедренного треугольника: египетский равнобедренный треугольник. Это равнобедренный треугольник, имеющий меньшую остроту, чем равносторонний; его высота пропорциональна 5/8 его основания. Египетский равнобедренный треугольник вернулся в современную архитектуру голландским архитектором Хендриком Петрусом Берлаге .

Ферменные конструкции Уоррена , такие как мосты, обычно располагаются в виде равнобедренных треугольников, хотя иногда также включаются вертикальные балки для дополнительной прочности. Поверхности, замощенные тупыми равнобедренными треугольниками, можно использовать для формирования развертываемых структур, которые имеют два стабильных состояния: развернутое состояние, в котором поверхность расширяется до цилиндрической колонны, и сложенное состояние, в котором она складывается в более компактную форму призмы, которая может быть больше легко транспортируется. Тот же самый узор мозаики составляет основу потери устойчивости Йошимуры , рисунка, образованного при осевом сжатии цилиндрических поверхностей, и фонаря Шварца , примера, используемого в математике, чтобы показать, что площадь гладкой поверхности не всегда может быть точно аппроксимирована многогранниками, сходящимися к поверхность.

В графическом дизайне и декоративном искусстве равнобедренные треугольники были частым элементом дизайна в культурах по всему миру, по крайней мере, от раннего неолита до наших дней. Они являются обычным элементом дизайна флагов и геральдики , заметно выступая с вертикальным основанием, например, на флаге Гайаны или с горизонтальным основанием на флаге Сент-Люсии , где они образуют стилизованное изображение горного острова.

Они также используются в конструкциях с религиозной или мистической значимости, например , в Шри Янтра из индуистской медитационной практики .

В других областях математики

Если кубическое уравнение с действительными коэффициентами имеет три корня, которые не являются действительными числами , то, когда эти корни нанесены на комплексную плоскость в виде диаграммы Аргана, они образуют вершины равнобедренного треугольника, ось симметрии которого совпадает с горизонтальной (действительной) осью. . Это связано с тем, что комплексные корни являются комплексно сопряженными и, следовательно, симметричными относительно действительной оси.

В небесной механике , то задача трех тел было изучено в специальном случае, когда три тела образуют равнобедренный треугольник, потому что если предположить , что тела расположены таким образом , уменьшает число степеней свободы системы , не снижая его к решен случай лагранжевой точки, когда тела образуют равносторонний треугольник. Первые примеры неограниченных колебаний в задаче трех тел были в равнобедренной задаче трех тел.

История и заблуждения

Задолго до того, как равнобедренные треугольники были изучены древнегреческими математиками , практики древнеегипетской математики и вавилонской математики знали, как вычислить их площадь. Задачи этого типа включены в » Московский математический папирус» и » Математический папирус Райнда» .

Теорема о том, что углы при основании равнобедренного треугольника равны, появляется как Предложение I.5 в Евклиде. Этот результат получил название Pons asinorum (мост ослов) или теоремы о равнобедренном треугольнике. Соперничающие объяснения этого имени включают теорию, что это потому, что диаграмма, используемая Евклидом в его демонстрации результата, напоминает мост, или потому, что это первый трудный результат Евклида, и он действует, чтобы отделить тех, кто может понять геометрию Евклида от тех, кто кто не может.

Хорошо известное заблуждение — это ложное доказательство утверждения, что все треугольники равнобедренные . Робин Уилсон приписывает этот аргумент Льюису Кэрроллу , который опубликовал его в 1899 году, но У.В. Роуз Болл опубликовал его в 1892 году и позже написал, что Кэрролл получил этот аргумент от него. Заблуждение коренится в непризнании Евклидом концепции промежуточности и возникающей в результате двусмысленности внутреннего и внешнего фигур.

Источник

Поделиться с друзьями
Объясняем