Равнобедренная трапеция
Что такое равнобедренная трапеция и каковы ее свойства?
Равнобедренная трапеция — это трапеция, у которой боковые стороны равны.
Еще равнобедренную трапецию называют равнобокой (или равнобочной) трапецией.
ABCD — равнобедренная трапеция.
AD и BC — основания трапеции,
AB и CD — её боковые стороны,
Перечислим основные свойства равнобедренной трапеции.
Свойства равнобедренной трапеции:
1) Углы при основании равнобедренной трапеции равны.
2) Сумма противолежащих углов равнобедренной трапеции равна 180º.
3) Диагонали равнобедренной трапеции равны.
4) Около любой равнобедренной трапеции можно описать окружность.
Кроме основных, у равнобедренной трапеции есть и другие свойства. Например, можно доказать один раз и в дальнейшем использовать при решении задач следующее утверждение:
Высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, а другой — полуразности оснований.
AD=a, BC=b
Признаки равнобедренной трапеции:
1) Если углы при основании трапеции равны, то она — равнобедренная.
2) Если сумма противолежащих углов трапеции равна 180º, то она — равнобедренная.
3) Если диагонали трапеции равны, то она — равнобедренная.
4) Если около трапеции можно описать окружность, то она — равнобедренная.
Источник
Трапеции
 Основные определения и свойства трапеций |
| Свойства и признаки равнобедренных трапеций |
Основные определения и свойства трапеций
| Тип утверждения | Фигура | Рисунок | Формулировка |
| Определение | Трапеция |  | |
| Определение | Диагонали трапеции |  | Диагоналями трапеции называют отрезки, соединяющие противоположные вершины трапеции |
| Определение | Высота трапеции |  | Высотой трапеции называют перпендикуляр, опущенный из любой точки одного оснований трапеции на другое основание или его продолжение |
| Свойство | Точка пересечения диагоналей |  | |
| Определение | Средняя линия трапеции |  | Средней линией трапеции называют отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции |
| Свойство | |||
| Свойство | Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции |  | Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции перпендикулярны |
| Определение: трапеция | |
| |
| Определение: диагонали трапеции | |
| Диагоналями трапеции называют отрезки, соединяющие противоположные вершины трапеции |
| Определение: высота трапеции | |
| Высотой трапеции называют перпендикуляр, опущенный из любой точки одного оснований трапеции на другое основание или его продолжение |
| Свойство: точка пересечения диагоналей | |
| |
| Определение: средняя линия трапеции | |
| Средней линией трапеции называют отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции |
| Свойство: средняя линия трапеции | |
| |
| Свойство: биссектрисы углов при боковой стороне трапеции | |
| Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции перпендикулярны |
| Трапеция |
|
Определение: Трапецией называют четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – не параллельны.
Параллельные стороны трапеции называют основаниями, а непараллельные стороны – боковыми сторонами трапеции
Определение: Диагоналями трапеции называют отрезки, соединяющие противоположные вершины трапеции
Определение: Высотой трапеции называют перпендикуляр, опущенный из любой точки одного оснований трапеции на другое основание или его продолжение
Свойство: Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой
Определение: Средней линией трапеции называют отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции
Свойство: Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме
Свойство: Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции перпендикулярны
Подробнее со свойствами средней линии трапеции можно ознакомиться в разделе нашего справочника «Средняя линия трапеции».
В разделе нашего справочника «Типы четырёхугольников» представлена схема классификации трапеций. В том же разделе представлена таблица, в которой описаны всевозможные типы трапеций.
Свойства и признаки равнобедренных трапеций
| Тип утверждения | Фигура | Рисунок | Формулировка |
| Определение | Равнобедренная трапеция |  | Равнобедренной трапецией называют трапецию, у которой боковые стороны равны. |
| Свойство | Равенство углов при основании |  | Если трапеция является равнобедренной, то углы при каждом из её оснований равны. |
| Признак | Если у трапеции углы при одном из оснований равны, то углы равны и при другом основании, а трапеция является равнобедренной. | ||
| Свойство | Равенство диагоналей |  | Если трапеция является равнобедренной, то её диагонали равны. |
| Признак | Если у трапеции диагонали равны, то она является равнобедренной | ||
| Свойство | Углы, которые диагонали образуют с основаниями |  | Если трапеция является равнобедренной, то её диагонали образуют равные углы с каждым из её оснований. |
| Признак | Если диагонали трапеции образуют равные углы с одним из оснований, то диагонали образуют равные углы и с другим основанием, а трапеция является равнобедренной. | ||
| Свойство | Описанная окружность |  | Если трапеция является равнобедренной, то около неё можно описать окружность. |
| Признак | Если около трапеции можно описать окружность, то она является равнобедренной. | ||
| Свойство | Высоты трапеции |  | Основания высот равнобедренной трапеции, опущенных из вершин меньшего основания, делят большее основание на отрезки, один из которых равен меньшему основанию, а два других – полуразности оснований |
| Определение: Равнобедренная трапеция | |
| Равнобедренной трапецией называют трапецию, у которой боковые стороны равны. |
| Свойство: равенство углов при основании | |
| Если трапеция является равнобедренной, то углы при каждом из её оснований равны. |
| Признак: равенство углов при основании | |
| Если у трапеции углы при одном из оснований равны, то углы равны и при другом основании, а трапеция является равнобедренной. |
| Свойство: равенство диагоналей | |
| Если трапеция является равнобедренной, то её диагонали равны. |
| Признак: равенство диагоналей | |
| Если у трапеции диагонали равны, то она является равнобедренной |
| Свойство: углы, которые диагонали образуют с основаниями | |
| Если трапеция является равнобедренной, то её диагонали образуют равные углы с каждым из её оснований. |
| Признак: углы, которые диагонали образуют с основаниями | |
| Если диагонали трапеции образуют равные углы с одним из оснований, то диагонали образуют равные углы и с другим основанием, а трапеция является равнобедренной. |
| Свойство: описанная окружность | |
| Если трапеция является равнобедренной, то около неё можно описать окружность. |
| Признак: описанная окружность | |
| Если около трапеции можно описать окружность, то она является равнобедренной. |
| Свойство: высоты трапеции | |
| Основания высот равнобедренной трапеции, опущенных из вершин меньшего основания, делят большее основание на отрезки, один из которых равен меньшему основанию, а два других – полуразности оснований |
| Равнобедренная трапеция |
|
Определение: Равнобедренной трапецией называют трапецию, у которой боковые стороны равны.
Свойство: Если трапеция является равнобедренной, то углы при каждом из её оснований равны.
Признак: Если у трапеции углы при одном из оснований равны, то углы равны и при другом основании, а трапеция является равнобедренной.
Свойство: Если трапеция является равнобедренной, то её диагонали равны.
Признак: Если у трапеции диагонали равны, то она является равнобедренной.
Свойство: Если трапеция является равнобедренной, то её диагонали образуют равные углы с каждым из её оснований.
Признак: Если диагонали трапеции образуют равные углы с одним из оснований, то диагонали образуют равные углы и с другим основанием, а трапеция является равнобедренной.
Свойство: Если трапеция является равнобедренной, то около неё можно описать окружность.
Признак: Если около трапеции можно описать окружность, то она является равнобедренной.
Свойство: Основания высот равнобедренной трапеции, опущенных из вершин меньшего основания, делят большее основание на отрезки, один из которых равен меньшему основанию, а два других – полуразности оснований
Источник