Если равные углы опираются на один отрезок то можно описать окружность

Окружность

Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся от данной точки на данном расстоянии. Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, — радиусом окружности.

Часть плоскости, ограниченная окружностью называется кругом.

Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой.

Основные термины


Касательная

Прямая, имеющая с только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Свойства касательной


  1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Хорда

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Свойства хорд


  1. Диаметр (радиус), перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам. Верна и обратная теорема: если диаметр (радиус) делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде.

Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.

Если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M , то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AM•MB = CM•MD.

Свойства окружности


  1. Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку ( касательная ); иметь с ней две общие точки ( секущая ).
  2. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
  3. Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.

Теорема о касательной и секущей

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: MC 2 = MA•MB .

Теорема о секущих

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть. MA•MB = MC•MD.

Углы в окружности

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным углом.

Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Мерой дуги может служить мера соответствующего ей центрального угла.

Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.

Свойства углов, связанных с окружностью


  1. Вписанный угол либо равен половине соответствующего ему центрального угла, либо дополняет половину этого угла до 180°.

Углы, вписанные в одну окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.

Угол, образованный касательной к окружности и секущей, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между его сторонами.

Длины и площади


  1. Длина окружности C радиуса R вычисляется по формуле:

Площадь S круга радиуса R вычисляется по формуле:

Длина дуги окружности L радиуса R с центральным углом ,измеренным в радианах, вычисляется по формуле:

Площадь S сектора радиуса R с центральным углом в радиан вычисляется по формуле:

Вписанные и описанные окружности


Окружность и треугольник


  • центр вписанной окружности — точка пересечения биссектристреугольника, ее радиус r вычисляется по формуле:

где S — площадь треугольника, а — полупериметр;

центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров, ее радиус R вычисляется по формуле:

здесь a, b, c — стороны треугольника, — угол, лежащий против стороны a , S — площадь треугольника;

  • центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы;
  • центр описанной и вписанной окружностей треугольника совпадают только в том случае, когда этот треугольник — правильный.
  • Окружность и четырехугольники


    • около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180°:

    в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у него равны суммы противоположных сторон:

    • около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда он является прямоугольником;
    • около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда эта трапеция — равнобедренная; центр окружности лежит на пересечении оси симметрии трапеции с серединным перпендикуляром к боковой стороне;
    • в параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом.

    Источник

    Справочник репетитора по математике. Свойства окружности и ее элементов

    Теоретические справочные материалы по геометрии для выполнения заданий от репетитора по математике. В помощь ученикам при решении задач.

    1) Терема о вписанном угле в окружность.

    Теорема: вписанный в окружность угол равен половие градусной меры дуги, на которую он опирается (или половине центрального угла, соответствующего данной дуге), то есть .

    2) Следствия из теоремы о вписанном угле в окружность.

    2.1) Свойство углов, опирающихся на одну дугу.

    Теорема:
    если вписанные углы опираются на одну дугу, то они равны (если они опираются на дополнителные дуги, их сумма равна

    2.2) Свойство угла, опирающегося на диаметр.

    Теорема:
    вписанный угол в окружность опирается на диаметр тогда и только тогда, когда он прямой.

    AC-диаметр

    3) Cвойство отрезков касательных. Окружность, вписанная в угол.

    Теорема 1: если из одной точки, не лежащей на окружности, проведены к ней две касательные, то их отрезки равны, то есть PB=PC.

    Теорема 2: Если окружность вписана в угол, то ее центр лежит на биссектрисе этого угла, то есть PO-биссектриса.

    4) Свойство отрезков хорд при внутреннем пересечении секущих.
    Теорема 1: произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды, то есть

    = .

    Теорема 2:
    угол между хордами равен полусумме дуг, которые этими хордами образуются на окружности, то есть

    5) Свойство отрезков хорд при внешнем пересечении секущих.

    Теорема 1: произведение отрезков одной секущей равно произведению отрезков другой, то есть

    = .

    Теорема 2:
    угол между секущими равен полуразности соответствующих им дуг, то есть

    Комментарий репетитора по математике: Обратитте внимание на общую закономерность 4-го и 5-го свойства: хорды в произведениях не участвуют, а сами равенства (с частями и продолжениями хорд) при сохранении обозначений являются точной копией друг друга. Также можно подметить общую структуру равенств с дугами. Репетитору по математике стоит обратить на этих особенностях внимание ученика.

    6) Свойства квадрата отрезка касательной

    Теорема 1:
    Квадрат отрезка касательной равен произведению отрезков секущей, то есть



    Теорема 2:
    угол между касательной и секущей равен полуразности соответствующих им дуг, то есть

    7) Угол между касательной и секущей

    Теорема:угол между касательной и секущей, проведенными из одной точки окружности, равен поливине дуги, которую отсекает сукущая (половине центрального угла, соответствующего данной дуге).

    .

    Колпаков Александр Николаевич, репетитор по математике.

    Уважаемый коллега, ваш материал на сайте является для меня хорошим методическим подспорьем. Спасибо.

    Александр Николаевич, спасибо за методики, я восхищена Вашим трудолюбием и профессионализмом.

    Уважаемый Александр Николаевич! Полезность вашего материала безгранична! Огромнейшее спасибо за справочные материалы, их оформление. Я еще не со всеми ознакомилась. Спасибо за помощь репетиторам по математике, школьным преподавателям и ученикам! Вы Учитель с большой буквы!

    Спасибо за хороший материал, готовимся к олимпиаде по математике.

    Александр Николаевич, большое спасибо за материал! У меня завтра экзамен, и ваш труд поможет сдать мне его на хорошую оценку. Так, как я поняла все по ваши справочникам, мне не объяснит ни один учитель — репетитор. Спасибо вам большое!

    Источник

    Углы, связанные с окружностью

    Вписанные и центральные углы
    Углы, образованные хордами, касательными и секущими
    Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

    Вписанные и центральные углы

    Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

    Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

    Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

    Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

    Теоремы о вписанных и центральных углах

    Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

    Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
    около этого треугольника окружности.

    Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

    Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

    Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

    Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

    Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

    Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
    около этого треугольника окружности.

    Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

    Фигура Рисунок Теорема
    Вписанный угол
    Вписанный угол Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
    Вписанный угол Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
    Вписанный угол Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
    Вписанный угол Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
    Окружность, описанная около прямоугольного треугольника
    Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

    Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

    Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

    Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

    Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

    Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

    Фигура Рисунок Теорема Формула
    Угол, образованный пересекающимися хордами
    Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне круга
    Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касания
    Угол, образованный касательной и секущей
    Угол, образованный двумя касательными к окружности

    Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

    Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

    Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
    Формула:
    Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
    Формула:

    Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

    Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
    Формула:
    Формула:

    Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

    Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
    Формулы:

    Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

    Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

    Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

    Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

    Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

    Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

    В этом случае справедливы равенства

    и теорема 1 в этом случае доказана.

    Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

    В этом случае справедливы равенства

    что и завершает доказательство теоремы 1.

    Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

    Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

    Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

    что и требовалось доказать.

    Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

    Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

    Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

    что и требовалось доказать.

    Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

    Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

    Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

    что и требовалось доказать

    Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

    Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

    Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

    что и требовалось доказать.

    Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

    Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

    Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

    Источник

    Читайте также:  Одна сторона равнобедренного треугольника на 3 см больше другой стороны
    Поделиться с друзьями
    Объясняем