Если расстояние между центральными точками двух несовпадающих окружностей равно разности их радиусов

Презентация на тему: Две окружности

Две окружностиДве окружности могут:б) иметь только одну общую точку. В этом случае окружности касаются к окружности. Общая точка называется точкой касания;в) иметь две общие точки. В этом случае говорят, что окружности пересекаются.

Теорема 1Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их радиусов или меньше их разности, то эти окружности не имеют общих точек.Доказательство. Пусть даны две окружности с центрами в точках О1, О2 и радиусами соответственно R1, R2, R1 + R2 R1 + R2 — R1 = R2 и, следовательно, точка С не принадлежит второй окружности. Значит, эти окружности не имеют общих точек. Аналогичным образом доказывается, что если O1O2 R2), то окружности также не имеют общих точек.

Теорема 2Если расстояние между центрами двух окружностей равно сумме или разности их радиусов, то эти окружности касаются. Доказательство. Пусть даны две окружности с центрами в точках О1, О2 и радиусами соответственно R1, R2, R1+R2 = O1O2. Рассмотрим точку С на отрезке О1О2, для которой О1С = R1, O2C = R2. Она будет общей точкой для данных окружностей. Если D – точка на первой окружности, отличная от С, то из неравенства треугольника следует, что О2D > O1O2 — O1D = R1 + R2 — R1 = R2, следовательно, точка D не принадлежит второй окружности. Значит, данные окружности имеют только одну общую точку, т.е. касаются. Аналогичным образом доказывается, что если O1O2 = R1- R2 (R1 > R2), то окружности также касаются.

Теорема 3Если расстояние между центрами двух окружностей меньше суммы радиусов и больше их разностей, то эти окружности пересекаются.

Вопрос 1Сколько общих точек могут иметь две окружности?Ответ: Ни одной, одну или две.

Вопрос 2Какие две окружности называются касающимися? Ответ: Две окружности называются касающимися, если они имеют только одну общую точку.

Вопрос 3Какие две окружности называются пересекающимися?Ответ: Две окружности называются пересекающимися, если они имеют две общие точки.

Вопрос 4Какие окружности называются концентрическими?Ответ: Окружности называются концентрическими, если они имеют общий центр.

Вопрос 5В каком случае две окружности не имеют общих точек?Ответ: Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их радиусов или меньше их разности.

Вопрос 6В каком случае две окружности касаются: а) внешним образом; б) внутренним образом?Ответ: а) Если расстояние между их центрами равно сумме радиусов; б) если расстояние между их центрами равно разности радиусов.

Вопрос 7В каком случае две окружности пересекаются?Ответ: Если расстояние между центрами двух окружностей меньше суммы радиусов и больше их разностей.

Упражнение 1Дана окружность радиуса 3 см и точка А на расстоянии, равном 5 см, от центра окружности. Найдите радиус окружности, касающейся данной и имеющей центр в точке А.

Упражнение 2Расстояние между центрами двух окружностей равно 5 см. Как расположены эти окружности по отношению друг к другу, если их радиусы равны: а) 2 см и 3 см; б) 2 см и 2 см?

Упражнение 3Расстояние между центрами двух окружностей равно 2 см. Как расположены эти окружности по отношению друг к другу, если их радиусы равны: а) 3 см и 5 см; б) 2 см и 5 см?

Упражнение 4Чему равно расстояние между центрами двух окружностей, радиусы которых равны 4 см и 6 см, если окружности: а) касаются внешне; б) касаются внутренне?

Упражнение 5Радиусы двух концентрических окружностей относятся как 3:7. Найдите диаметры этих окружностей, если ширина кольца, образованного ими, равна 24 см.

Упражнение 6Две окружности касаются внешним образом. Радиусы окружностей относятся как 2:3. Найдите диаметры окружностей, если расстояние между их центрами равно 10 см.

Упражнение 7Две окружности касаются внутренним образом. Найдите радиусы этих окружностей, если они относятся как 5:2, а расстояние между центрами равно 15 см.

Упражнение 8Расстояние между центрами двух окружностей равно d и больше суммы их радиусов R1 и R2. Найдите наименьшее расстояние между точками, расположенными на данных окружностях.

Читайте также:  Замечательное свойство окружности доказательство

Упражнение 9Расстояние между центрами двух окружностей равно d и больше суммы их радиусов R1 и R2. Найдите наибольшее расстояние между точками, расположенными на данных окружностях.

Упражнение 10Расстояние между центрами двух окружностей равно d и меньше разности R1 – R2 их радиусов. Найдите наименьшее и наибольшее расстояния между точками, расположенными на данных окружностях.

Упражнение 11Могут ли попарно касаться друг друга: а) три окружности; б) четыре окружности; в) пять окружностей?

Упражнение 12Могут ли попарно касаться друг друга четыре окружности одинакового радиуса?

Упражнение 13Какое наибольшее число точек попарных пересечений могут иметь а) две окружности; б) три окружности; в) четыре окружности?

Упражнение 14На какое наибольшее число частей могут делить плоскость: а) одна окружность; б) две окружности; в) три окружности?

Упражнение 15Две окружности с центрами в точках O1, O2 и радиусами R1, R2 разбили плоскость на четыре области. Какой области принадлежит точка A, для которой выполняются неравенства: а) AO1 R2;в) AO1 > R1 и AO2 R1 и AO2 > R2;

Упражнение 16Три окружности разбили плоскость на восемь областей. Напишите неравенства, которым удовлетворяет точка A, принадлежащая области: а) 1; б) 2; в) 3; г) 4.

Источник

Взаимное расположение двух окружностей

Список вопросов теста

Вопрос 1

Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их радиусов,то

1. окружности пересекаются

2. окружности не имеют общих точек

3 окружности касаются друг друга

Варианты ответов
Вопрос 2

Если расстояние между центрами двух окружностей меньше разности их радиусов,то

1. окружности пересекаются

2. окружности не имеют общих точек

3 окружности касаются друг друга

Варианты ответов
Вопрос 3

Если расстояние между центрами двух окружностей меньше суммы их радиусов,то

1. окружности пересекаются

2. окружности не имеют общих точек

3 окружности касаются друг друга

Варианты ответов
Вопрос 4

Если расстояние между центрами двух окружностей больше разности их радиусов,то

1. окружности пересекаются

2. окружности не имеют общих точек

3 окружности касаются друг друга

Варианты ответов
Вопрос 5

Если расстояние между центрами двух окружностей равно сумме их радиусов,то

1. окружности пересекаются

2. окружности не имеют общих точек

3 окружности касаются друг друга

Варианты ответов
Вопрос 6

Если расстояние между центрами двух окружностей равно разности их радиусов,то

1. окружности пересекаются

2. окружности не имеют общих точек

3 окружности касаются друг друга

Варианты ответов
Вопрос 7

Расстояние между центрами двух окружностей равно 7 см. Как расположены эти окружности по отношению друг к другу если радиусы их равны 2см и 3 см?

1. окружности пересекаются

2. окружности не имеют общих точек

3 окружности касаются друг друга

Варианты ответов
Вопрос 8

Расстояние между центрами двух окружностей равно 4 см. Как расположены эти окружности по отношению друг к другу если радиусы их равны 10 см и 7 см?

1. окружности пересекаются

2. окружности не имеют общих точек

3 окружности касаются друг друга

Варианты ответов
Вопрос 9

Расстояние между центрами двух окружностей равно 7 см. Как расположены эти окружности по отношению друг к другу если радиусы их равны 4см и 3 см?

1. окружности пересекаются

2. окружности не имеют общих точек

3 окружности касаются друг друга

Варианты ответов
Вопрос 10

Расстояние между центрами двух окружностей равно 20 см. Как расположены эти окружности по отношению друг к другу если радиусы их равны 10 см и 8 см?

1. окружности пересекаются

2. окружности не имеют общих точек

3 окружности касаются друг друга

Варианты ответов
Вопрос 11

Радиусы двух концентрических окружностей относятся как 4:5. Найдите диаметр меньшей окружности, если ширина кольца, образованного этими окружностями, равна 7 см.

Вопрос 12

Найдите радиус меньшей из окружностей, если известно, что их диаметры относятся как 2:5 и ширина кольца, образованного этими окружностями, равна 24 см.

Подсказка: найти сколько частей составляет ширина кольца и найти одну часть

Вопрос 13

Две окружности касаются внешним образом. Радиусы окружностей относятся как 1:4. Найдите диаметры меньшей из окружностей, если расстояние между их центрами равно 15 см.

Вопрос 14

Две окружности касаются внешним образом. Радиусы окружностей относятся как 1:4. Найдите диаметры большей из окружностей, если расстояние между их центрами равно 15 см.

Источник

Расстояние между центрами окружностей радиусов равно

Если расстояние между центрами окружностей радиусами R и r равно а и R+r’ alt=’a > R+r’/>, то отрезки общих внешних и общих внутренних касательных, заключенные между точками касания, равны соответственно и

1) Рассмотрим внешнюю касательную MN к непересекающимся окружностям радиусов R и r.

Читайте также:  Как правильно измерять окружность грудной клетки у детей

Задача решается в одно действие, а схему решения желательно запомнить – пригодится в задачах ЕГЭ.

Четырехугольник – прямоугольная трапеция, так как (как радиус и касательная) .

Из (по теореме Пифагора).

При этом (так как – прямоугольник по построению).

2) Теперь внутреннее касание.

Даны окружности с центрами и и радиусами R и r.

Точки касания общей внутренней касательной – P и K соответственно, расстояние между центрами окружностей .

Продолжим (радиус меньшей окружности). Из точки опустим перпендикуляр . Получим, что – прямоугольник .
В треугольнике имеем:

(по теореме Пифагора).

Поскольку – прямоугольник, .
, что и требовалось доказать.

Задача 12346 Расстояние между центрами окружностей.

Условие

Расстояние между центрами окружностей радиусов 1 и 9 равно 17. Этих окружностей и их общей внутренней касательной касается третья окружность.

а)Докажите, что её точка касания с прямой совпадает с точкой касания одной из первых двух окружностей.

б)Найдите радиус третьей окружности.

Решение

а) Пусть х- радиус искомой окружности, О-её центр. СD-внутренняя касательная данных окружностей, О1 и О2 — их центры. Заметим, что прямая CD — либо общая внешняя касательная окружностей с центрами О и О2(см. рис.), либо окружностей с центрами О и О1(см. рис.). При этом её точка касания с прямой совпадает с точкой касания одной из первых двух окружностей, так как касательная будет проходить через общую точку(точку касания) окружностей.

б) Для нахождения радиуса третьей окружности, докажем сначала следующее утверждение. Если а-расстояние между центрами окружностей радиусов r и R, a⩾r+R, общая внешняя касательная касается окружностей в точках А и В, внутренняя в точках С и D, то
AB=sqrt(a^2-(R-r)^2), CD=sqrt(a^2-(R+r)^2).
Действительно, пусть О1 и О2 -центры окружностей радиусов r и R соответственно(см. рис.2). Из точек О1 и О2 опустим перпендикуляры О1Q на прямую О2В и О2F на прямую О1С. Из прямоугольных треугольников О1QO2 и O1FO2 находим, что
O1Q=sqrt(O1O2^2-QO2^2)=sqrt(a^2-(R-r)^2), O2F=sqrt(O1O2^2-FO1^2)-sqrt(a^2-(R+r)^2).
Следовательно, CD=O2F=sqrt(a^2-(R+r)^2).
По доказанному CD=sqrt(17^2-(1+9)^2)=sqrt((17-10)(17+10))=sqrt(7*27)=3sqrt(21)

В первом случае CD-общая внешняя касательная к окружности с центрами О и О2, поэтому CD=sqrt((x+9)^2-(9-x)^2)=6sqrt(х)
6sqrt(х)=3sqrt(21)
2sqrt(х)=sqrt(21)
4х=21
х=5,25

Во втором случае CD-общая внешняя касательная к окружностям с центрами О и О1, поэтому CD=sqrt((x+2)^2-(2-x)^2)=2sqrt(х)
2sqrt(х)=3sqrt(21)
4x=189
x=47,25

Как найти расстояние между центрами окружностей

У Вас недостаточно прав для добавления комментариев.
Вам необходимо зарегистрироваться на сайте

Все права защищены 2019
Перепечатка информации возможна только при наличии
согласия администратора и активной ссылки на источник!

Взаимное расположение двух окружностей
Общие касательные к двум окружностям
Формулы для длин общих касательных и общей хорды
Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды

Взаимное расположение двух окружностей

Фигура Рисунок Свойства
Две окружности на плоскости

Взаимное расположение на плоскости двух окружностей радиусов r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Каждая из окружностей лежит вне другой

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Внешнее касание двух окружностей

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Внутреннее касание двух окружностей

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Окружности пересекаются в двух точках

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Каждая из окружностей лежит вне другой

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Внешнее касание двух окружностей

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Внутреннее касание двух окружностей

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Окружности пересекаются в двух точках

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Каждая из окружностей лежит вне другой

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Внешнее касание двух окружностей

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Внутреннее касание двух окружностей

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Окружности пересекаются в двух точках

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Внутренняя касательная к двум окружностям

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Внутреннее касание двух окружностей

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Окружности пересекаются в двух точках

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также
две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Каждая из окружностей лежит вне другой

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Внешняя касательная к двум окружностям

Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Внутренняя касательная к двум окружностям

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Внутреннее касание двух окружностей

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Окружности пересекаются в двух точках

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Внешнее касание двух окружностей

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Каждая из окружностей лежит вне другой

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Внешняя касательная к двум окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностям
Внутреннее касание двух окружностей
Окружности пересекаются в двух точках
Внешнее касание двух окружностей
Каждая из окружностей лежит вне другой

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Фигура Рисунок Формула
Внешняя касательная к двум окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностям
Общая хорда двух пересекающихся окружностей
Внешняя касательная к двум окружностям

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Внутренняя касательная к двум окружностям

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Общая хорда двух пересекающихся окружностей

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Внешняя касательная к двум окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностям
Общая хорда двух пересекающихся окружностей

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Утверждение 1 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d (рис.1), то длина общей внешней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей внутренней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей хорды AB этих окружностей вычисляется по формуле

Доказательство . Для того, чтобы найти длину общей хорды AB двух окружностей, введём, как показано на рисунке 3,

Ответ

Проверено экспертом

Уравнение окружности с центром (a;b) и радиусом R

центр окружности (-2;6) радиус 6

центр окружности (4;-5)радиус 5

по формуле расстояние между двумя точками :

находим расстояние между центрами заданных окружностей

Источник

Читайте также:  Трапеция дворников с мотором газель некст
Поделиться с друзьями
Объясняем