Если прямая касательная окружности то она имеет только 2 общие точки с окружностью

Касательная к окружности

О чем эта статья:

Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница

В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.

Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.

Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).

Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.

Свойства касательной к окружности

Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.

Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, взаимно перпендикулярны.

Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:

  • окружность с центральной точкой А;
  • прямая а — касательная к ней;
  • радиус АВ, проведенный к касательной.

Докажем, что касательная и радиус АВ взаимно перпендикулярны, т.е. аАВ.

Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.

В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.

Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Задача

У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.

Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.

Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.

∠АОС = 180° — ∠САО — ∠АСО = 180° — 90° — 28° = 62°

Поскольку вершина угла АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, АВ = 62°.

Если провести две касательных к окружности из одной точки, лежащей вне этой окружности, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.

Докажем и это свойство на примере. Итак, у нас есть окружность с центром А, давайте проведем к ней две касательные из точки D. Обозначим эти прямые как ВD и CD . А теперь выясним, на самом ли деле BD = CD.

Для начала дополним наш рисунок, проведем еще одну прямую из точки D в центр окружности. Как видите, у нас получилось два треугольника: ABD и ACD . Поскольку мы уже знаем, что касательная и радиус к ней перпендикулярны, углы ABD и ACD должны быть равны 90°.

Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD (по катету и гипотенузе).. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично равны.

Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.

Задача 1

У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.

Решение

Для этой задачи вполне подойдет уже рассмотренный выше рисунок окружности с радиусами АВ и АC. Поскольку касательная ВD перпендикулярна радиусу АВ , у нас есть прямоугольный треугольник АВD. Зная длину его катета и гипотенузы, определим величину ∠BDA.

∠BDA = 30° (по свойству прямоугольного треугольника: угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы, составляет 30°).

Мы знаем, что прямая, проведенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проведенными из этой же точки, пополам. Другими словами:

∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°

Итак, угол между касательными составляет 60°.

Задача 2

К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.

Решение

Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.

Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.

∠МNК = (180° — ∠МКN) : 2 = (180° — 50°) : 2 = 65°

Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, лежащей вне окружности, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.

Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.

Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.

Задача 1

Из точки М к окружности проведены две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.

Решение

Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.

Найдем длину внешней части секущей:

МС = МВ — ВС = 16 — 12 = 4 (см)

МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64

Задача 2

Дана окружность с радиусом 6 см. Из некой точки М к ней проведены две прямые — касательная МA и секущая МB . Известно, что прямая МB пересекает центр окружности O. При этом МB в 2 раза длиннее касательной МA . Требуется определить длину отрезка МO.

Решение

Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.

В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.

Поскольку МВ = 2 МА, значит:

МА = МВ : 2 = (у + R) : 2

Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.

(у + R) 2 : 4 = (у + R) × (у — R)

Сократим уравнение на (у + R), так как эта величина не равна нулю, и получим:

Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).

Ответ: MO = 10 см.

Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.

Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда . Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.

Задача 1

Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.

Решение

Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ АВ.

АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°

Задача 2

У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.

Решение

Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:

КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°

Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.

∠ОКМ = ∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2

Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:

∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2 = (180° — 168°) : 2 = 6°

Источник

Касательные к окружности

В обычной жизни ты очень хорошо представляешь себе, что значит слово «коснуться».

И вот представь себе, в математике тоже существует такое понятие.

В этой теме мы разберёмся с выражениями «прямая касается окружности» и «две окружности касаются».

Касательные к окружности. Коротко о главном

Касательная – прямая, которая имеет с окружностью только одну общую точку.

Касательная окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

Угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги, которая находится внутри угла: \( \displaystyle \angle CAB=\frac<1><2>\angle AOB\), где:

Касание окружностей: если две окружности касаются, то точка касания лежит на прямой, соединяющей их центры. Кроме того, эта прямая перпендикулярна касательной, проведённой в точку касания окружностей:

Внешнее касание

Внутреннее касание

Для двух окружностей с центрами \( \displaystyle <>\) и \( \displaystyle <_<1>>\), и радиусами \( \displaystyle R=OA\) и \( \displaystyle r=<_<1>>A\):

Касательные к окружности. Определения и основная теорема

Прямая касается окружности, если имеет с ней ровно одну общую точку.

Такая прямая называется касательной к данной окружности.

Посмотри-ка внимательно: очень похоже на жизнь, не правда ли? Прямая на картинке лишь чуть-чуть дотрагивается до окружности, касается ее.

Ну вот, и точно так же:

Две окружности касаются, если имеют ровно одну общую точку.

Что же тебе нужно знать о касательных и касающихся окружности?

Самая важная теорема гласит, что:

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

Запомни это прямо как таблицу умножения! Все остальные факты о касательных и касающихся окружностях основаны именно на этой теореме.

Доказывать её мы здесь не будем, а вот как эта самая важная теорема работает, увидим сейчас несколько раз.

Угол между касательной и хордой

Угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги, которая находится внутри угла.

Прежде всего: как это понимать? Подробнее о том, что такое «градусная мера дуги», написано в теме «Окружность. Вписанный угол».

Здесь напомним только, что в дуге столько же градусов, сколько в центральном угле, заключающем эту дугу.

То есть «градусная мера дуги» – это «сколько градусов в центральном угле» – и всё!

Ну вот, как говорит Карлсон, продолжаем разговор. Рисуем ещё раз теорему об угле между касательной и хордой.

Смотри, хорда \( \displaystyle AB\) разбила окружность на две дуги. Одна дуга находится ВНУТРИ угла \( \displaystyle BAC\), а другая дуга – внутри угла \( \displaystyle BAD\).

И теорема об угле между касательной и хордой говорит, что \( \displaystyle \angle CAB\) равен ПОЛОВИНЕ угла \( \displaystyle AOB\), \( \displaystyle \angle DAB\) равен ПОЛОВИНЕ большего (на рисунке — зеленого) угла \( \displaystyle AOB\).

При чем же тут тот факт, что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной?

Сейчас и увидим. \( \displaystyle OA\) – радиус, \( \displaystyle AC\) – касательная.

Значит, \( \displaystyle \angle OAC=90<>^\circ \).

Поэтому:\( \displaystyle \angle 1=90<>^\circ -\angle 4\).

Но \( \displaystyle \angle 2=\angle 1\) (\( \displaystyle OA\) и \( \displaystyle OB\) – радиусы)\( \displaystyle \angle 2=90<>^\circ -\angle 4\).

И осталось вспомнить, что сумма углов треугольника \( \displaystyle AOB\) равна \( \displaystyle 180<>^\circ \).

Здорово, правда? И самым главным оказалось то, что \( \displaystyle \angle OAC=90<>^\circ \).

Равенство отрезков касательных

Задумывался ли ты над вопросом «а сколько касательных можно провести из одной точки к одной окружности»? Вот, представь себе, ровно две! Вот так:

А ещё более удивительный факт состоит в том, что:

Отрезки касательных, проведённых из одной точки к одной окружности, равны.

То есть, на нашем рисунке, \( \displaystyle AB=AC\).

И для этого факта тоже самым главным является то, что радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

Проведём радиусы \( \displaystyle OB\) и \( \displaystyle OC\) и соединим \( \displaystyle O\) и \( \displaystyle A\).

\( \displaystyle OB\) – радиус.

\( \displaystyle AB\) – касательная, значит, \( \displaystyle OB\bot AB\).
Ну, и так же \( \displaystyle OC\bot AC\).

Получилось два прямоугольных треугольника \( \displaystyle AOB\) и \( \displaystyle AOC\), у которых:

(заглядываем в тему «Прямоугольный треугольник«, если не помним, когда бывают равны прямоугольные треугольники).

Но раз \( \displaystyle \Delta AOB=\Delta AOC,\) то\( \displaystyle AB=AC\). УРА!

И ещё раз повторим – этот факт тоже очень важный:

Отрезки касательных, проведённых из одной точки, – равны.

И есть ещё один факт, который мы здесь не будем доказывать, но он может оказаться тебе полезен при решении задач.

Для любой прямой \( \displaystyle AD\), пересекающей окружность,\( \displaystyle AD\cdot AC=A<^<2>>\), где \( \displaystyle AB\) – отрезок касательной.

Хитроумными словами об этом говорят так:

«Квадрат длины отрезка касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть».

Страшно? Не бойся, помни только, что в буквах это:

Общая касательная к двум окружностям

Прямая, которая касается двух окружностей, называется их общей касательной.

Общие касательные бывают внешние и внутренние. Смотри на картинки.

Две внутренние общие касательные:

Две внешние общие касательные:

А всего – четыре! Не больше, но может быть меньше.

Есть только две внешние общие касательные.

Или так: одна внутренняя и две внешних.

А может быть вообще так:

Только одна общая касательная.

И снова факты:

Длины отрезков двух внутренних общих касательных равны

Длины отрезков двух внешних общих касательных равны.

НО! При этом: внешние и внутренние касательные – разные! (а некоторых, может, и вообще нет…)

Касающиеся окружности

Касание окружностей бывает внешним и внутренним.

Вот такая картинка называется «окружности касаются внешним образом»:

А вот такая картинка называется «окружности касаются внутренним образом»:

Что же самое главное нужно знать?

Если две окружности касаются, то точка касания лежит на прямой, соединяющей центры. Кроме того, эта прямая перпендикулярна касательной, проведённой в точку касания окружностей.

Если тебе показалось слишком длинно – посмотри картинку. Может быть ещё так:

Ура, теперь ты полностью вооружён на борьбу с касательными – дерзай! 🙂

Источник

Читайте также:  Как примерно рассчитать вес плода по окружности живота
Поделиться с друзьями
Объясняем