Если провести две высоты у параллелограмма

Угол между высотами параллелограмма

Чему равен угол между высотами параллелограмма? Это зависит от того, из вершины какого угла — острого или тупого — проведены эти высоты.

Угол между высотами параллелограмма, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу параллелограмма.

BM, BN — высоты параллелограмма.

1) Рассмотрим треугольник NBC — прямоугольный ( ∠ BNC=90º, поскольку BN — высота параллелограмма).

Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то ∠ NBC+ ∠ C=90º. Следовательно, ∠ NBC=90º- ∠ C.

2) Так как BM — высота параллелограмма, то ∠ MBC=90º.

Отсюда, ∠ MBN=90º- ∠ NBC.

Так как ∠ NBC=90º- ∠ C,

∠ MBN=90º-(90º- ∠ C)=90º-90º+ ∠ C= ∠ C.

Что и требовалось доказать.

1)∠C+∠D=180° (как сумма внутренних односторонних углов при AD∥BC и секущей CD).

В четырёхугольнике MBND ∠BMD+∠BND=90°+90°=180°.

Что и требовалось доказать.

Угол между высотами параллелограмма, проведенными из вершины острого угла, равен тупому углу параллелограмма.

Дано: ABCD — параллелограмм,

CK и CF — высоты параллелограмма.

1) ∠ ABC+ ∠ KBC=180º (как смежные).

Следовательно, ∠ KBC=180º- ∠ ABC.

2) Так как CF — высота параллелограмма ABCD, то она перпендикулярна к прямым, содержащим стороны AD и BC. Поэтому ∠ BCF=90º.

3) Рассмотрим треугольник KBC — прямоугольный ( ∠ KBC=90º, так как CK- высота параллелограмма ABCD).

Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то

∠ KCB=90º- ∠ KBC=90º-(180º- ∠ ABC)=90º-180º+ ∠ ABC= ∠ ABC-90º.

4) ∠ KCF= ∠ KCB+ ∠ BCF= ∠ ABC-90º+90º= ∠ ABC.

Что и требовалось доказать.

1) ∠ADC для треугольника DCF — внешний. Следовательно, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

∠KCD=90º (так как KC — высота параллелограмма). Отсюда,

Что и требовалось доказать .

1)∠A+∠ABC=180° (как сумма внутренних односторонних углов при AD∥BC и секущей AB).

2) В четырёхугольнике AKCF ∠A+∠AKC+∠KCF+∠AFC=360°.

Источник

Высота параллелограмма

Что такое высота параллелограмма? Сколько у параллелограмма высот?

Что такое основание параллелограмма?

Высота параллелограмма — это перпендикуляр, опущенный из любой точки одной стороны параллелограмма на прямую, содержащую противоположную сторону.

Высотой параллелограмма также называют длину этого перпендикуляра. Расстояние между противоположными сторонами параллелограмма равно высоте параллелограмма.

BK, PF, DE — высоты параллелограмма.

BK, PF, DE — меньшие высоты параллелограмма.

Меньшая высота параллелограмма — это высота, проведенная к его большей стороне.

BM, DL — высоты параллелограмма.

BM, DL — большие высоты параллелограмма.

Большая высота высота параллелограмма — это высота, проведенная к ее меньшей стороне.

На рисунке 3 BK и BM — высоты параллелограмма ABCD, проведенные из вершины тупого угла B.

Из них BM — большая высота параллелограмма ABCD, BK — его меньшая высота.

На рисунке 4 CN и CH — высоты, проведенные из вершины острого угла C параллелограмма ABCD.

Из них CN — меньшая высота, CH- большая высота параллелограмма.

Иногда одну из сторон называют основанием параллелограмма.

Например, на рисунке 3 AD — основание параллелограмма, BK — проведенная к нему высота.

CD тоже можно считать основанием параллелограмма. BM — проведенная к нему высота.

Но чаще об основании говорят, когда хотят подчеркнуть, что эта сторона — нижняя горизонтальная (для понимания того, как лучше выполнить рисунок).

Источник

Параллелограмм

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны параллельны. Если у параллелограмма все углы прямые, то такой параллелограмм называется прямоугольником, а прямоугольник, у которого все стороны равны, называется квадратом.

Все параллелограммы обладают следующими свойствами:

противоположные стороны равны:

противолежащие углы равны:

сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°:

в точке пересечения диагонали делятся пополам:

каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника:

точка пересечения диагоналей — это центр симметрии параллелограмма:

Точка O — это центр симметрии.

Высота

Нижняя сторона параллелограмма называется его основанием, а перпендикуляр, опущенный на основание из любой точки противоположной стороны, — высотой.

AD — это основание параллелограмма, h — высота.

Высота выражает расстояние между противоположными сторонами, поэтому определение высоты можно сформулировать ещё так: высота параллелограмма — это перпендикуляр, опущенный из любой точки одной стороны на противоположную ей сторону.

Площадь

Для измерения площади параллелограмма можно представить его в виде прямоугольника. Рассмотрим параллелограмм ABCD:

Построенные высоты BE и CF образуют прямоугольник EBCF и два треугольника: ΔABE и ΔDCF. Параллелограмм ABCD состоит из четырёхугольника EBCD и треугольника ABE, прямоугольник EBCF состоит из того же четырёхугольника и треугольника DCF. Треугольники ABE и DCF равны (по четвёртому признаку равенства прямоугольных треугольников), значит и площади прямоугольника с параллелограммом равны, так как они составлены из равных частей.

Итак, параллелограмм можно представить в виде прямоугольника, имеющего такое же основание и высоту. А так как для нахождения площади прямоугольника перемножаются длины основания и высоты, значит и для нахождения площади параллелограмма нужно поступить также:

Из данного примера можно сделать вывод, что площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Общая формула площади параллелограмма:

где S — это площадь параллелограмма, a — основание, h — высота.

Источник

Как найти высоту параллелограмма

• Как найти высоту параллелограмма
• Как найти высоту треугольника
• Как найти высоту, если известна длина и ширина

В задачах по геометрии, точнее по планиметрии и тригонометрии, иногда требуется найти высоту параллелограмма, исходя из заданных значений сторон, углов, диагоналей и т.п.

Чтобы найти высоту параллелограмма, зная его площадь и длину основания, необходимо воспользоваться правилом определения площади параллелограмма. Площадь параллелограмма, как известно, равняется произведению высоты на длину основания:

S — площадь параллелограмма,

а — длина основания параллелограмма,

h — длина опущенной на сторону а высоты, (или на ее продолжение).

Отсюда получаем, что высота параллелограмма будет равняться площади, разделенной на длину основания:

дано: площадь параллелограмма равняется 50 кв.см., основание — 10 см.;

найти: высоту параллелограмма.

Так как высота параллелограмма, часть основания и прилежащая к основанию сторона образуют прямоугольный треугольник, то для нахождения высоты параллелограмма можно использовать некоторые соотношения сторон и углов прямоугольных треугольников.

Если известны прилежащая к высоте h (DE) сторона параллелограмма d (AD) и противоположный высоте угол A (BAD), то расчета высоты параллелограмма нужно умножить длину прилежащей стороны на синус противоположного угла:

например, если d=10 см, а угол А=30 градусов, то

Если в условиях задачи заданы длина прилежащей к высоте h (DE) стороне параллелограмма d (AD) и длина отсекаемой высотой части основания (АЕ), то высоту параллелограмма можно найти воспользовавшись теоремой Пифагора:

|AE|^2+|ED|^2=|AD|^2, откуда определяем:

т.е. высота параллелограмма равняется корню квадратному из разности квадратов длины прилежащей стороны и отсекаемой высотой части основания.

Например, если длина прилегающей стороны равняется 5 см., а длина отсекаемой части основания равна 3 см, то длина высоты будет:

Если известны длина прилежащей к высоте диагональ (DВ) параллелограмма и длина отсекаемой высотой части основания (ВЕ), то высоту параллелограмма можно также найти воспользовавшись теоремой Пифагора:

|ВE|^2+|ED|^2=|ВD|^2, откуда определяем:

т.е. высота параллелограмма равняется корню квадратному из разности квадратов длины прилежащей диагонали и отсекаемой высотой (и диагональю) части основания.

Например, если длина прилегающей стороны равняется 5 см., а длина отсекаемой части основания равна 4 см, то длина высоты будет:

Источник

Параллелограмм: свойства и признаки

О чем эта статья:

Определение параллелограмма

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны. Как выглядит параллелограмм:

Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.

Диагонали — отрезки, которые соединяют противоположные вершины.

Свойства диагоналей параллелограмма:

1. В параллелограмме точка пересечения диагоналей делит их пополам.
2. Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
3. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон.

Биссектриса угла параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
2. Биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма пересекаются под прямым углом.
3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.

Как найти площадь параллелограмма:

1. S = a × h, где a — сторона, h — высота.
   
2. S = a × b × sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними. Для ромба формула примет вид S = a 2 × sinα.
   
3. Для ромба: S = 0,5 × (d1 × d2), где d1 и d2 — две диагонали.
   Для параллелограмма: S = 0,5 × (d1 × d2) × sinβ, где β — угол между диагоналями.
   

Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.

P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.

У нас есть отличные дополнительные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Свойства параллелограмма

Геометрическая фигура — это любое множество точек. У каждой фигуры есть свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.

Рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем чему равна сумма углов параллелограмма и другие особенности этой фигуры. Вот они:

1. Противоположные стороны параллелограмма равны.
   ABCD — параллелограмм, значит, AB = DC, BC = AD.
   
2. Противоположные углы параллелограмма равны.
   ABCD — параллелограмм, значит, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D.
   
3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
   ABCD — параллелограмм, AC и BD — диагонали, AC∩BD=O, значит, BO = OD, AO = OC.
   
4. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
   ABCD — параллелограмм, AC — диагональ, значит, △ABC = △CDA.
   
5. Сумма углов в параллелограмме, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусам.
   ABCD — параллелограмм, значит, ∠A + ∠D = 180°.
   
6. В параллелограмме диагонали d1, d2 и стороны a, b связаны следующим соотношением: d1 2 + d2 2 = 2 × (a 2 + b 2 ).
   

А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.

Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.

Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:

1. AB = CD как противоположные стороны параллелограмма.
2. ∠1 = ∠2 как накрест лежащие углы при пересечении секущей AC параллельных прямых AB и CD; ∠3 = ∠4 как накрест лежащие углы при пересечении секущей BD параллельных прямых AB и CD.
3. Следовательно, треугольник AOB равен треугольнику COD по второму признаку равенства треугольников, то есть по стороне и прилежащим к ней углам, из чего следует:
   • CO = AO
   • BO = DO

   

Теорема доказана. Наше предположение верно.

Признаки параллелограмма

Признаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.

Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 1 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

• AB || CD
• AB = CD

Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.

Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.

Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:

1. AC — общая сторона;
2. По условию AB = CD;
3. ∠1 = ∠2 как внутренние накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей АС.

Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:

Эти углы тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых CB и AD. А это как раз и есть признак параллельности прямых. Значит, CB || AD и ABCD — параллелограмм.

Вот так быстро мы доказали первый признак.

Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 2 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

• AB = CD
• BC = AD

Шаг 2. Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники ABC и CDA:

• AC — общая сторона;
• AB = CD по условию;
• BC = AD по условию.

Из этого следует, что треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.

Шаг 3. Из равенства треугольников следует:

А так как эти углы — накрест лежащие при сторонах BC и AD и диагонали AC, значит, стороны BC и AD параллельны.

Эти углы — накрест лежащие при сторонах AB и CD и секущей AC. Поэтому стороны AB и CD тоже параллельны. Значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.

Доказали второй признак.

Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 3 признак параллелограмма:

Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:

• CO = OA;
• DO = BO;
• углы между ними равны, как вертикальные, то есть угол AOB равен углу COD.

Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.

Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству накрест лежащих углов: ∠1 = ∠2 (следует из равенства треугольников AOB и COD).

Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. Что и требовалось доказать.

Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — признаки. Так как они совпадают, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все-таки связано с параллельностью противоположных сторон.

Источник