Если площадь параллелограмма равна произведению его сторон то этот параллелограмм прямоугольник

Площадь параллелограмма — определение и вычисление с примерами решения

Теорема (о площади параллелограмма). Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Доказательство:

Пусть

1) Проведем высоту к прямой, содержащей сторону параллелограмма.

2) (как соответственные углы при параллельных прямых и и секущей Поэтому (по гипотенузе и острому углу).

3) Параллелограмм состоит из трапеции и треугольника а прямоугольник — из трапеции и треугольника Так как треугольники и равны, то равны и их площади, а потому равными будут площади параллелограмма и прямоугольника

4) Но и поэтому Следовательно,

Заметим, что если основание высоты — точка -совпадает с точкой или лежит на продолжении стороны то доказательство теоремы будет аналогичным.

В общем виде формулу площади параллелограмма можно записать так:

где — сторона параллелограмма, — высота, к ней проведенная.

Пример:

Докажите, что высоты ромба, проведенные из одной вершины, равны.

Доказательство:

Пусть — данный ромб, и — его высоты (рис. 232).

Ромб является параллелограммом, поэтому Но а значит

Пример:

Периметр параллелограмма равен 36 см, а его высоты — 4 см и 5 см. Найдите площадь параллелограмма.

Решение:

1) Пусть — данный параллелограмм, и — его высоты (рис. 232),

2) По условию поэтому

3) Пусть см, тогда см.

4) Так как по формуле площади параллелограмма или имеем уравнение: То есть откуда (см).

5) Тогда

Ответ. 40

Площадь параллелограмма

С помощью формулы площади прямоугольника можно доказать формулу площади произвольного параллелограмма.

Теорема (формула площади параллелограмма)

Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

где — сторона параллелограмма, — проведенная к ней высота.

Пусть — данный параллелограмм, не являющийся прямоугольником (рис. 145, а). Проведем его высоты и докажем, что Четырехугольник является прямоугольной трапецией, площадь которой можно вычислить двумя способами — как сумму площадей параллелограмма и треугольника или как сумму площадей прямоугольника и треугольника Треугольники равны по гипотенузе и катету как противолежащие стороны параллелограмма, как расстояния между параллельными прямыми). Следовательно, эти треугольники имеют равные площади. Тогда площади параллелограмма и прямоугольника также равны, т.е. Случаи, когда точка не является внутренней точкой отрезка (рис. 145, б, в), рассмотрите самостоятельно.

Пример:

Площадь параллелограмма равна а длины его высот — 3 см и 4 см. Найдите периметр параллелограмма.

Решение:

Пусть дан параллелограмм с площадью и высотами (рис. 146).

Поскольку

Следовательно, периметр параллелограмма равен

Ответ: 42 см.

Решая приведенную задачу, можно заметить интересную закономерность: чем больше сторона параллелограмма, тем меньше проведенная к ней высота.

Рекомендую подробно изучить предметы:

Геометрия Аналитическая геометрия Начертательная геометрия

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

• Прямоугольник и его свойства
• Ромб и его свойства, определение и примеры
• Квадрат и его свойства
• Трапеция и ее свойства
• Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°
• Четырехугольник и его элементы
• Четырехугольники и окружность
• Параллелограмм, его свойства и признаки

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Прямоугольник и Параллелограмм

Прямоугольник и параллелограмм

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма:

1. В параллелограмме противоположные стороны и углы попарно равны.

2. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.

3. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

4. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

5. Биссектриса угла в параллелограмме отсекает от него равнобедренный треугольник.

6. В параллелограмме биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне (соседних углов), пересекаются под углом в $90°$.

Площадь параллелограмма:

1. Площадь параллелограмма равна произведению двух соседних сторон на синус угла между ними.

$S=a·b·sin⁡α$, где $а$ и $b$ — длины сторон параллелограмма, а $α$ — угол между этими сторонами.

2. Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

$S=h_a·a$, где $a$ — сторона параллелограмма, $h_a$ — высота, проведенная к стороне $a$.

Периметр параллелограмма: $P=2(a+b)$, где $а$ и $b$ — длины сторон параллелограмма.

Периметр параллелограмма равен $14$. Одна сторона параллелограмма на $1$ больше другой. Найдите меньшую сторону параллелограмма.

Пусть меньшая сторона $ВС-х$, тогда $АВ-(х+1)$, так как она на $1$ больше.

Запишем формулу периметра параллелограмма: $P=2(a+b)$, где $а$ и $b$ — длины сторон параллелограмма.

Подставим в формулу известные данные и значения сторон, записанные через «х».

Получили линейное уравнение, разделим обе части на $2$.

За «х» брали меньшую сторону параллелограмма, следовательно, это и есть ответ.

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойства прямоугольника:

1. Все свойства параллелограмма (Так как прямоугольник – это тот же параллелограмм, только особенный, поэтому у него присутствуют все свойства параллелограмма).

2. Диагонали прямоугольника равны.

Площадь прямоугольника равна половине произведения смежных (соседних) сторон.

$S=a·b$, где $а$ и $b$ — смежные стороны.

Периметр прямоугольника: $P=2(a+b)$, где $а$ и $b$ — длины сторон прямоугольника.

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

1. Все свойства прямоугольника.
2. Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом. $BD⊥AC$.
3. Диагонали квадрата являются биссектрисами углов.

1. $S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.
2. $S=/<2>$, где $d$ — диагональ квадрата.

Периметр квадрата: $P=4a$

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой (равен $90$ градусов).

Катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.
2. Если в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $45$ градусов, то этот треугольник равнобедренный.
3. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $30$ градусов, равен половине гипотенузы.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

1. В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$
2. Для острого угла $В$: $АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.
3. Для острого угла $А$: $ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

1. Синусом ($sin$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
2. Косинусом ($cos$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
3. Тангенсом ($tg$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
4. Котангенсом ($ctg$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

В треугольнике $АВС$ угол $С$ равен $90$ градусов. Высота $СН$ равна $2√<54>, ВС= 15$. Найдите $sin A$.

Угол $В$ и $А$ это два острых угла треугольника $АВС$.

В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла. Следовательно, $sin A= cos B$

Рассмотрим треугольник $СНВ$, который является прямоугольным, так как $СН$ высота.

В треугольнике $CНВ: cos В = <ВН>/<СВ>$. Найдем $ВН$ по теореме Пифагора

Подставляем найденную длину в формулу косинуса

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

Источник