Если отрезок соединяет середины диагоналей трапеции

Содержание
  1. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции
  2. Свойства трапеции: отрезок, соединяющий середины диагоналей
  3. Диагонали трапеции
  4. Свойства диагоналей трапеции
  5. Свойства отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции
  6. Свойства треугольников, образованных диагоналями трапеции
  7. Свойства треугольников, лежащих на боковой стороне и диагоналях трапеции
  8. Свойства трапеции, достроенной до треугольника
  9. Свойства отрезка, соединяющего основания трапеции
  10. Свойства отрезка, параллельного основаниям трапеции
  11. Формулы для нахождения диагоналей трапеции
  12. Формулы нахождения диагоналей трапеции через основания, боковые стороны и углы при основании
  13. Формулы нахождения диагоналей трапеции через высоту
  14. Отрезок соединяющий середины диагоналей трапеции
  15. Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.
  16. Президентский ФМЛ №239
  17. Инструменты пользователя
  18. Инструменты сайта
  19. Содержание
  20. Определение
  21. Свойства средней линии трапеции
  22. Доказательство
  23. Признаки средней линии трапеции
  24. Доказательство
  25. Теорема (об отрезке, соединяющем середины диагоналей трапеции)
  26. Доказательство

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции

Свойства отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции

1) лежит на средней линии трапеции,

2) равен полуразности оснований трапеции.

Дано: ABCD — трапеция, AD||BC,

F — середина AC, K — середина BD,

MN — средняя линия трапеции

Так MN — средняя линия трапеции ABCD, то M — середина AB, N — середина CD, и MN||AD, MN||BC.

Рассмотрим угол ABD.

Так как AM=BM и MN||AD, то по теореме Фалеса, отрезки, на которые прямая MN делит BD, также равны, то есть MN пересекает отрезок BD в его середине, то есть в точке K.

Аналогично, для угла BAC:

AM=BM, MN||AD, следовательно, по теореме Фалеса прямая MN пересекает отрезок AC в его середине, то есть в точке F.

Таким образом, отрезок, соединяющий середины диагонали трапеции, параллелен основаниям трапеции и лежит на её средней линии.

MF — средняя линия треугольника ABC. Поэтому

Что и требовалось доказать.

Если использовать обозначения AD=a, BC=b, то формула длины отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, примет вид

Источник

Свойства трапеции: отрезок, соединяющий середины диагоналей

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.

Пусть точка М – середина диагонали АС, N – середина диагонали ВD, Р и Q – середины боковых сторон АВ и СD.
Тогда РМ – средняя линия треугольника АВС, РМ параллельна ВС. Это значит, что точка М лежит на средней линии РQ трапеции, поскольку через точку Р можно провести на плоскости единственную прямую, параллельную прямой ВС. При этом .
Аналогично, точка N – середина диагонали BD – также лежит на РQ, то есть на средней линии трапеции, и . Поскольку , .

Задача ЕГЭ по теме: «Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований».

Основания трапеции равны 10 и 6. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Проведем PQ – среднюю линию трапеции, PQ = 8. Как мы доказали, отрезок MN, соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии.
PM – средняя линия треугольника ABC, значит, PM = 3.
NQ – средняя линия треугольника BCD, значит, NQ = 3.

Читайте также:  Трапеция на дворники вектры

Тогда MN = PQ − PM − NQ = 8 − 3 − 3 = 2
Ответ: 2.

Источник

Диагонали трапеции

Свойства диагоналей трапеции

  1. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции равен половине разности оснований
  2. Треугольники, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей до точки их пересечения — подобны
  3. Треугольники, образованные отрезками диагоналей трапеции, стороны которых лежат на боковых сторонах трапеции — равновеликие (имеют одинаковую площадь)
  4. Если продлить боковые стороны трапеции в сторону меньшего основания, то они пересекутся в одной точке с прямой, соединяющей середины оснований
  5. Отрезок, соединяющий основания трапеции, и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, делится этой точкой в пропорции, равной соотношению длин оснований трапеции
  6. Отрезок, параллельный основаниям трапеции, и проведенный через точку пересечения диагоналей, делится этой точкой пополам, а его длина равна 2ab/(a + b), где a и b — основания трапеции

Свойства отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции

Свойства треугольников, образованных диагоналями трапеции

Свойства треугольников, лежащих на боковой стороне и диагоналях трапеции

Свойства трапеции, достроенной до треугольника

  • Треугольники, образованные основаниями трапеции с общей вершиной в точке пересечения продленных боковых сторон являются подобными
  • Прямая, соединяющая середины оснований трапеции, является, одновременно, медианой построенного треугольника

Свойства отрезка, соединяющего основания трапеции

Свойства отрезка, параллельного основаниям трапеции

  • Заданный отрезок (KM) делится точкой пересечения диагоналей трапеции пополам
  • Длина отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции и параллельного основаниям, равна KM = 2ab/(a + b)

Формулы для нахождения диагоналей трапеции

Формулы нахождения диагоналей трапеции через основания, боковые стороны и углы при основании

Формулы нахождения диагоналей трапеции через высоту

Примечание. В данном уроке приведено решение задач по геометрии о трапециях. Если Вы не нашли решение задачи по геометрии, интересующего Вас типа — задайте вопрос на форуме.

Задача.
Диагонали трапеции ABCD (AD | | ВС) пересекаются в точке О. Найдите длину основания ВС трапеции, если основание АD = 24 см, длина АО = 9см, длина ОС = 6 см.

Решение.
Решение данной задачи по идеологии абсолютно идентично предыдущим задачам.

Треугольники AOD и BOC являются подобными по трем углам — AOD и BOC являются вертикальными, а остальные углы попарно равны, поскольку образованы пересечением одной прямой и двух параллельных прямых.

Поскольку треугольники подобны, то все их геометрические размеры относятся между собой, как геометрически размеры известных нам по условию задачи отрезков AO и OC. То есть

AO / OC = AD / BC
9 / 6 = 24 / BC
BC = 24 * 6 / 9 = 16

Задача .
В трапеции ABCD известно, что AD=24, ВС=8, АС=13, BD=5√17. Найдите площадь трапеции.

Решение .
Для нахождения высоты трапеции из вершин меньшего основания B и C опустим на большее основание две высоты. Поскольку трапеция неравнобокая — то обозначим длину AM = a, длину KD = b ( не путать с обозначениями в формуле нахождения площади трапеции). Поскольку основания трапеции параллельны, а мы опускали две высоты, перпендикулярных большему основанию, то MBCK — прямоугольник.

Читайте также:  Прямоугольная потенциальная яма энергетические уровни

Значит
AD = AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 — b

Треугольники DBM и ACK — прямоугольные, так их прямые углы образованы высотами трапеции. Обозначим высоту трапеции через h. Тогда по теореме Пифагора

h 2 + (24 — a) 2 = (5√17) 2
и
h 2 + (24 — b) 2 = 13 2

Учтем, что a = 16 — b , тогда в первом уравнении
h 2 + (24 — 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 — (8 + b) 2

Подставим значение квадрата высоты во второе уравнение, полученное по Теореме Пифагора. Получим:
425 — (8 + b) 2 + (24 — b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 — b) 2 = -256
-64 — 16b — b 2 + 576 — 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12

Таким образом, KD = 12
Откуда
h 2 = 425 — (8 + b) 2 = 425 — (8 + 12) 2 = 25
h = 5

Найдем площадь трапеции через ее высоту и полусумму оснований
, где a b — основания трапеции, h — высота трапеции
S = (24 + 8) * 5 / 2 = 80 см 2

Ответ: площадь трапеции равна 80 см 2 .

Источник

Отрезок соединяющий середины диагоналей трапеции

Здравствуйте!
Нужно доказать, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, расположен параллельно относительно ее оснований и численно равен половине их разности.
Спасибо!

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции
У трапеции есть интересное свойство, которое объединяет сразу три ее основные измерения: диагонали, основания и среднюю линию:
Отрезок, которые соединяет середины диагоналей, принадлежит средней линии, а его длина равна разности оснований трапеции, деленной на 2.
В школьном курсе геометрии предлагается решить такую задачу:
Доказать, что отрезок, который соединяет середины диагоналей трапеции, расположен параллельно относительно ее оснований и численно равен половине их разности.
Рассмотрим доказательство этой задачи.
Итак, дана трапеция, назовем которую стандартно — ABCD.
Обозначим середину диагонали АС точкой М, а середину диагонали BD точкой N. Следовательно, АМ = МС и BN = ND.
Докажем, что:
1) прямая, которая содержит отрезок MN, параллельна основанию трапеции AD;
2) .

Доказательство:
Воспользуемся теоремой Фалеса.
Рассмотрим треугольники АВС и ВСD.
Средняя линия трапеции KF проходит через средины сторон АВ и CD, а также через середины диагоналей AC и BD. Следовательно отрезок MN, который также проходит через середины М и N диагоналей трапеции, лежит на прямой KF. Прямая KF по свойству средней линии трапеции параллельна ее основаниям. Значит, отрезок MN также параллелен основанию AD. Что и требовалось доказать.
Воспользуемся еще одним свойством средней линии трапеции, согласно которому она равна половине суммы оснований трапеции.
Рассмотрим треугольник АСD.
В нем средней линией является отрезок MF. Запишем:

Читайте также:  Единица окружности тригонометрии это

Рассмотрим треугольник BСD.
В нем средней линией является отрезок NF. Запишем:

Отрезок MN можно найти путем вычитания из отрезка MF отрезка NF:
MN = MF — NF.
Подставим в формулу выражения для MF и NF:

Теорема доказана.

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.

Копирование материалов с сайта возможно только с разрешения
администрации портала и при наличие активной ссылки на источник.

Источник

Президентский ФМЛ №239

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Содержание

Определение

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции.

Свойства средней линии трапеции

Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме.

Доказательство

Рассмотрим трапецию $ABCD$, в которой проведена средняя линия $MN$.

Докажем, что $MN\parallel AD$ и $MN=\frac<2>$.

Проведем через точку $M$ прямую $FE$ параллельно $CD$ ($F\in CB, E\in AD$).

Тогда $FCDE$ – параллелограмм ($FC\parallel ED, FE\parallel CD$).

Следовательно, $FE=CD$, $FC=ED$.

Кроме того $\triangle FBM=\triangle AME$, по второму признаку равенства ($\angle 1=\angle 2$, как накрест лежащие, $\angle 3=\angle 4$, как вертикальные, $AM=MB$, так как $M$ – середина).

Тогда $FMNC$ и $MNDE$ — параллелограммы ($FM=ME=ND=NC$ и $FE\parallel CD$).

Следовательно, $MN\parallel BC$.

Кроме того, из равенства треугольников $\triangle FBM=\triangle AME$ следует,что $FB=AE$.

Пусть $FB=AE=x$ и $BC=y$.

Кроме того, $BC+AD=BC+AE+ED=y+x+(x+y)=2x+2y$.

Таким образом, $MN=x+y=\dfrac<2>$.

Признаки средней линии трапеции

Доказательство

Первый пункт теоремы является прямым следствием теоремы Фалеса.

Докажем второй пункт теоремы.

Рассмотрим трапецию $ABCD$, в которой на боковых сторонах $AB$ и $CD$ выбраны точки $M$ и $N$ соответственно, и при этом $MN=\dfrac<2>$.

Докажем, что тогда $MN$ – средняя линия трапеции $ABCD$.

Предположим противное, то есть $MN$ – не средняя линия данной трапеции.

Если ровно одна из точек $M$ или $N$ является серединой, то по первому пункту теоремы $MN$ – это средняя линия, так как $MN$ параллельна основаниям трапеции.

Пусть точки $M$ и $N$ – не середины боковых сторон.

Тогда пусть $M’N’$ – средняя линия трапеции.

Следовательно, $M’N’=\frac<2>=MN$ и $MN\parallel BC\parallel MN$.

Но тогда $MNN’M’$ – параллелограмм, и, следовательно, $MM’\parallel NN’$, что противоречит тому, что $ABCD$ – это трапеция.

Следовательно, $MN$ – средняя линия.

Теорема (об отрезке, соединяющем середины диагоналей трапеции)

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности ее оснований.

Доказательство

Рассмотрим трапецию $ABCD$, в которой точки $E$ и $F$ – это середины диагоналей $AC$ и $BD$ соответственно.

По теореме Фалеса средняя линия трапеции $MN$ делит диагонали $AC$ и $BD$ пополам, то есть точки $E$ и $F$ лежат на средней линии.

Тогда $ME$ и $FN$ – это средние линии треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle DBC$.

Следовательно, если обозначить $BC=2x$, то $ME=FN=x$.

Источник

Поделиться с друзьями
Объясняем