Если окружность сжимать до эллипса

Если окружность сжимать до эллипса

Пусть, наконец, из точки P проведены к эллипсу две взаимно перпендикулярные касательные t₁ и t₂ (см. Рис. 17).

Отразим фокус относительно прямой t₂ и полученную точку соединим с F. Очевидно, что и угол — прямой (последнее следует из того, что угол между t₁ и t₂ прямой, и второй теоремы Понселе); следовательно . Но ; поэтому . С другой стороны, PO — медиана треугольника , так что . Учитывая предыдущее равенство получаем: PO 2 = 2a 2 — c 2 или PO 2 = (a 2 — c 2 ) + a 2 = a 2 + b 2 , т. е. вершины прямых углов, стороны которых касаются эллипса, расположены на окружности радиуса с центром в центре эллипса.

Эллипс как результат сжатия окружности. Пусть точка M, принадлежащая эллипсу, удалена от главной оси x на расстояние MM₁ = y, а от главной оси y — на расстояние MM₂ = x (см. Рис. 18). Симметрия эллипса позволяет ограничиться рассмотрением точек эллипса, расположенных внутри одного из прямых углов, образованных главными осями x и y. Из соотношений (2) следует:

После исключения r и d, получим:

откуда, умножая обе части равенства на a и учитывая соотношения (2), найдем окончательно:

(3)

Источник

Если окружность сжимать до эллипса

Таким образом, координаты ( X, Y) точки M₁ удовлетворяют уравнению эллипса, и множество точек M₁ представляет собой эллипс. Иными словами, кривая, получаемая из окружности сжатием к одному из ее диаметров, есть эллипс, для которого данная окружность является описанной.

Установленное свойство эллипса позволяет легко строить эллипс по точкам, если известна окружность, из которой он получается сжатием. Из точки M окружности радиуса a опускаем на диаметр перпендикуляр и находим на нем такую точку M₁, что h₁ : h = b : a. Тогда точка M₁ принадлежит эллипсу с полуосями a и b.

При сжатии к прямой три точки, принадлежащие одной прямой, переходят в три точки, также принадлежащие одной прямой; другими словами, прямая переходит при этом преобразовании снова в прямую. Из этого свойства и свойства взаимной однозначности преобразования сжатия к прямой вытекает, что касательная к окружности при сжатии переходит в касательную к эллипсу в соответствующей точке. Если из некоторой точки N₁ мы хотим провести к эллипсу касательную, поступим следующим образом: построим точку N, получаемую из N₁ преобразованием сжатия с осью x (большая ось эллипса) и коэффициентом , затем из точки N проведем к описанной окружности эллипса касательную t и, наконец, подвергнем ее сжатию с коэффициентом k (см. Рис. 19). Полученная прямая t₁ является касательной к эллипсу. Поэтому из точки N₁ можно к эллипсу провести не более двух касательных (так как не более двух касательных можно провести из точки N к описанной окружности). Внешние точки по отношению к окружности переходят при сжатии во внешние точки эллипса и наоборот; следовательно, из внешней точки эллипса можно провести к эллипсу две касательные.

При сжатии к прямой точке пересечения двух прямых соответствует точка пересечения преобразованных прямых; поэтому параллельные прямые преобразуются в параллельные. Кроме того, отношение двух параллельных отрезков равно отношению преобразованных отрезков; в частности, отрезок и его середина переходят при сжатии к прямой в отрезок и его середину. Но середины параллельных хорд окружности расположены на одной прямой — на диаметре окружности; поэтому середины параллельных хорд эллипса также принадлежат одной прямой — диаметру эллипса (см. Рис. 20). Очевидно, что диаметр эллипса проходит через его центр и касательные в концах отрезка диаметра параллельны хордам, которые делятся этим диаметром пополам.

Источник

Тема 8. Эллипс и окружность. Фокусы, большие и малые оси

1. Эллипс. Геометрическое и аналитическое определение. Их эквивалентность

Определение (геометрическое).Эллипс – геометрическое место точек на плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек и , называемых фокусами, равна заданному числу 2а.

• Расстояния от Х до F₁ (назовем его r₁) и от Х до F₂ (назовем его r₂) называются фокальными радиусами. .
• Расстояниемежду фокусами эллипса называется фокусным расстоянием. Эту величину принято обозначать 2с. .

При этом из треугольника F₁ХF₂ можно увидеть, что .

В случае получаем отрезок, а в случае — окружность

• Введем на данной плоскостисистему координат, которая будет называться канонической для эллипса.
• Каноническое уравнение эллипса:, где

Определение (аналитическое). Эллипс – кривая второго порядка, задаваемая в некоторой прямоугольной системе координат уравнением , где .

• Наибольшее из чисел а и b называют большой полуосью эллипса,меньшее— малой полуосью эллипса.
• Эллипс проходит через точки , которые называются вершинами эллипса.
• Эллипс заключен в прямоугольник , который называется основным прямоугольником эллипса.

При построении эллипса строим основной прямоугольник эллипса и вписываем эллипс в него.

• Отношение называется эксцентриситетом эллипса.
• Директрисами эллипса называются две прямые, уравнения которых в канонической для эллипса системе координат имеют вид . Так как .
• Расстояниемежду директрисами равно .

Отсюда следует еще одно определение эллипса:

Определение (через директрису).Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых отношениерасстояния до фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, к расстоянию до фиксированной прямой, называемой директрисой, есть величина постоянная, меньшая единицы, и называемая его эксцентриситетом:

!Параллельный перенос эллипса:

Уравнение задаёт эллипс с большой полуосью «а», малой полуосью «бэ» и центром симметрии в точке .

1. Окружность как частный случай эллипса. Полуокружность

+полуэллипс. Пересечение окружностей

Эллипс при a=b превращается в окружность, оба фокуса срастаются с центром, эксцентриситет обнуляется, а директрисы вырождаются.

Если из уравнения окружности (эллипса) выразить одну из переменных, получится два корня, каждый из которых задает верхнюю/нижнюю/правую/левую полуокружность (полуэллипс).

Из планиметрии: при касании двух окружностей (внешним или внутренним образом) точка касания лежит на прямой, соединяющей центры этих окружностей. При этом расстояние между центрами равно сумме радиусов окружностей в ситуации внешнего касания и разности радиусов в ситуации внутреннего касания.

1. Обобщение по кривым второго порядка

Фигура	Уравнение	с	Фокусы	Эксцентриситет	Директрисы
Парабола		—
Гипербола
Эллипс
Окружность			—

Общее свойство для кривых второго порядка:

Отношениерасстоянияот точки кривой второго порядка (отличной от окружности) до фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, к расстоянию до фиксированной прямой, называемой директрисой (ближайшей, если их две), есть величина постоянная и равнаяэксцентриситету.

1. Длина окружности, площадь круга и эллипса

• Длина дуги равна произведению радиуса окружности на радианную меру дуги:
• Длина окружности равна произведению радиуса окружности на :
• Площадь круга равна произведению квадрата радиуса окружности на число : .
• Площадь сектора равна половине произведения квадрата радиуса окружности на радианную меру дуги: .
• Площадь сегмента равна половине произведения квадрата радиуса окружности на разность радианной меры дуги с её синусом: .
• Площадь эллипса с большой полуосьюа и малой полуосью b равна:

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого.

Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ — конструкции, предназначен­ные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой.

Папиллярные узоры пальцев рук — маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни.

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰).

Источник