- Если гипотенуза треугольника является радиусом окружности то он прямоугольный
- Прямоугольный треугольник
- Свойства и особенности прямоугольных треугольников
- Прямоугольный треугольник
- Прямоугольный треугольник: Признаки Равенства и Подобия
- Определение
- Свойства прямоугольного треугольника
- Признаки равенства прямоугольных треугольников
- Признаки прямоугольного треугольника
- Признаки подобия прямоугольных треугольников
Если гипотенуза треугольника является радиусом окружности то он прямоугольный
Ключевые слова: треугольник, прямоугольный, катет, гипотенуза, теорема Пифагора, окружность
Треугольник называют прямоугольным, если у него есть прямой угол.
Прямоугольный треугольник имеет две взаимно перпендикулярные стороны, называемые катетами; третья его сторона называется гипотенузой.
- По свойствам перпендикуляра и наклонных гипотенуза длиннее каждого из катетов (но меньше их суммы).
- Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна прямому углу.
- Две высоты прямоугольного треугольника совпадают с его катетами. Поэтому одна из четырех замечательных точек попадает в вершины прямого угла треугольника.
- Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит в середине гипотенузы.
- Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямоуго угла на гипотенузу, является радиусом описанной около этого треугольника окружности.
Рассмотрим произвольный прямоугольный треугольник АВС и проведем высоту СD = hc из вершины С его прямого угла.
Она разобьет данный треугольник на два прямоугольных треугольника АСD и ВСD; каждый из этих треугольников имеет с треугольником АВС общий острый угол и потому подобен треугольнику АВС.
Все три треугольника АВС, АСD и ВСD подобны между собой.
Из подобия треугольников определяются соотношения:
Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.
Геометрическая формулировка. В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.
Алгебраическая формулировка. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через c, а длины катетов через a и b:
a 2 + b 2 = c 2
Обратная теорема Пифагора. Для всякой тройки положительных чисел a, b и c, такой, что
a 2 + b 2 = c 2 ,
существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c.
Признаки равенства прямоугольных треугольников:
- по катету и гипотенузе;
- по двум катетам;
- по катету и острому углу;
- по гипотенузе и острому углу.
См. также:
Площадь треугольника, Равнобедренный треугольник, Равносторонний треугольник
Источник
Прямоугольный треугольник
Треугольник в геометрии представляет одну из основных фигур. Из предыдущих уроков вы знаете, что треугольник – это многоугольная фигура, которая имеет три угла и три стороны.
Треугольник называют прямоугольным, если у него есть прямой угол, который равен 90 градусов.
Прямоугольный треугольник имеет две взаимно перпендикулярные стороны, называемые катетами; третья его сторона называется гипотенузой. Гипотенуза является самой большой стороной этого треугольника.
- По свойствам перпендикуляра и наклонных гипотенуза длиннее каждого из катетов (но меньше их суммы).
- Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна прямому углу.
- Две высоты прямоугольного треугольника совпадают с его катетами. Поэтому одна из четырех замечательных точек попадает в вершины прямого угла треугольника.
- Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит в середине гипотенузы.
- Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямоуго угла на гипотенузу, является радиусом описанной около этого треугольника окружности.
Свойства и особенности прямоугольных треугольников
I – е свойство. В прямоугольном треугольнике сумма его острых углов равна 90°. Против большей стороны треугольника лежит больший угол, а против большего угла лежит большая сторона. В прямоугольном треугольнике наибольшим углом, является прямоугольный угол. Если же в треугольнике самый большой угол имеет более 90°, то такой треугольник перестает быть прямоугольным, так как сумма всех углов превысить 180 градусов. Со всего этого следует, что гипотенуза является наибольшей стороной треугольника.
II – е свойство. Катет прямоугольного треугольника, который лежит против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузе.
III – е свойство. Если же в прямоугольном треугольнике катет равняется половине гипотенузы, то и угол, который лежит напротив данного катета будет равен 30 градусам.
Источник
Прямоугольный треугольник
Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).
Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.
Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами .
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по двум катетам ).
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по катету и острому углу ).
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и острому углу ).
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и катету ).
Свойства прямоугольного треугольника
1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.
2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.
И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.
3. Теорема Пифагора:
, где
– катеты,
– гипотенуза. Видеодоказательство
4. Площадь прямоугольного треугольника с катетами
:
5. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе выражается через катеты
и гипотенузу
следующим образом:
6. Центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.
7. Радиус описанной окружности есть половина гипотенузы
:
8. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине
9. Радиус вписанной окружности выражается через катеты
и гипотенузу
следующим образом:
Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике смотрите здесь.
Источник
Прямоугольный треугольник: Признаки Равенства и Подобия
Определение
Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один из углов прямой.
Гипотенуза в прямоугольном треугольнике — это сторона напротив прямого угла.
Катет в прямоугольном треугольнике — это две стороны прилежащие к прямому углу.
Свойства прямоугольного треугольника
В прямоугольном треугольнике:
- Сумма острых углов 90˚.
- Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.
- Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.
- Центр описанной окружности — середина гипотенузы.
Формулы:
- Площадь прямоугольного треугольника равна
половине произведения катетов: - Радиус описанной окружности около прямоугольного
треугольника равен половине гипотенузы: - Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник
выражается следующим образом: - Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
Признаки равенства прямоугольных треугольников
С помощью признаков равенства прямоугольных треугольников
можно доказать что прямоугольные треугольники равны.
- По двум катетам:
Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно
равны двум катетам другого прямоугольного треугольника,
то такие треугольники равны. - По катету и гипотенузе:
Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно
равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника,
то такие треугольники равны. - По гипотенузе и острому углу:
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно
равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника,
то такие треугольникиравны. - По катету и острому углу:
Если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно
равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника,
то такие треугольники равны.
Признаки прямоугольного треугольника
С помощью признаков прямоугольного треугольника можно
доказать, что треугольник прямоугольный.
- По теореме Пифагора:
Если квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон,
то треугольник прямоугольный. - По центру описанной окружности:
Если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника,
то треугольник прямоугольный. - По медиане:
Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена,
то треугольник прямоугольный. - По площади:
Если площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон,
то треугольник прямоугольный. - По радиусу описанной окружности:
Если радиус описанной окружности равен половине,
то треугольник прямоугольный.
Признаки подобия прямоугольных треугольников
С помощью признаков подобия прямоугольных треугольников можно
доказать, что прямоугольные треугольники подобны.
Источник