Если гипотенуза прямоугольного треугольника лежит против угла то она равна половине катета

Содержание
  1. Как найти стороны прямоугольного треугольника
  2. Онлайн калькулятор
  3. Найти гипотенузу (c)
  4. Найти гипотенузу по двум катетам
  5. Найти гипотенузу по катету и прилежащему к нему острому углу
  6. Найти гипотенузу по катету и противолежащему к нему острому углу
  7. Найти гипотенузу по двум углам
  8. Найти катет
  9. Найти катет по гипотенузе и катету
  10. Найти катет по гипотенузе и прилежащему к нему острому углу
  11. Найти катет по гипотенузе и противолежащему к нему острому углу
  12. Найти катет по второму катету и прилежащему к нему острому углу
  13. Найти катет по второму катету и противолежащему к нему острому углу
  14. Свойства прямоугольного треугольника
  15. Прямоугольные треугольники
  16. Некоторые свойства прямоугольного треугольника:
  17. Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:
  18. Значения тригонометрических функций некоторых углов:
  19. Гипотенуза прямоугольного треугольника, все формулы
  20. Как найти гипотенузу в прямоугольном треугольнике: самые простые и запоминающиеся формулы для учеников
  21. Как найти гипотенузу по катетам?
  22. Свойства геометрической фигуры
  23. Как найти гипотенузу через угол?
  24. Гипотенуза в прямоугольном треугольнике
  25. Формула гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника
  26. Законы геометрии
  27. Теорема Пифагора
  28. Как вычислить формулу
  29. Вопрос на засыпку
  30. Практическое применение
  31. Свойство медианы прямоугольного треугольника
  32. Гипотенуза и угол «α» прямоугольного треугольника

Как найти стороны прямоугольного треугольника

Онлайн калькулятор

Чтобы вычислить длины сторон прямоугольного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):

  • для гипотенузы (с):
    • длины катетов a и b
    • длину катета (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
    • длину катета (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)
  • для катета:
    • длину гипотенузы (с) и длину одного из катетов
    • длину гипотенузы (с) и прилежащий к искомому катету (a или b) острый угол (β или α, соответственно)
    • длину гипотенузы (с) и противолежащий к искомому катету (a или b) острый угол (α или β, соответственно)
    • длину одного из катетов (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
    • длину одного из катетов (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)

Введите их в соответствующие поля и получите результат.

Найти гипотенузу (c)

Найти гипотенузу по двум катетам

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны оба катета (стороны a и b)?

Формула

следовательно: c = √ a² + b²

Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 3 см, а катет b = 4 см:

c = √ 3² + 4² = √ 9 + 16 = √ 25 = 5 см

Найти гипотенузу по катету и прилежащему к нему острому углу

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и прилежащий к нему угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а прилежащий к нему ∠β = 60°:

c = 2 / cos(60) = 2 / 0.5 = 4 см

Найти гипотенузу по катету и противолежащему к нему острому углу

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и противолежащий к нему угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а противолежащий к нему ∠α = 30°:

c = 2 / sin(30) = 2 / 0.5 = 4 см

Найти гипотенузу по двум углам

Найти гипотенузу прямоугольного треугольника только по двум острым углам невозможно.

Найти катет

Найти катет по гипотенузе и катету

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и второй катет?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а катет b = 4 см:

a = √ 5² — 4² = √ 25 — 16 = √ 9 = 3 см

Найти катет по гипотенузе и прилежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и прилежащий к искомому катету острый угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равен катет b прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а ∠α = 60°:

b = 5 ⋅ cos(60) = 5 ⋅ 0.5 = 2.5 см

Найти катет по гипотенузе и противолежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и противолежащий к искомому катету острый угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 4 см, а ∠α = 30°:

a = 4 ⋅ sin(30) = 4 ⋅ 0.5 = 2 см

Найти катет по второму катету и прилежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и прилежащий к нему острый угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равен катет b прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а ∠β = 45°:

b = 2 ⋅ tg(45) = 2 ⋅ 1 = 2 см

Найти катет по второму катету и противолежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и противолежащий к нему острый угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если катет b = 3 см, а ∠β = 35°:

Источник

Свойства прямоугольного треугольника

Треугольник, у которого один из углов равен 90°, называют прямоугольным треугольником. Сторону, лежащую против угла в 90°, называют гипотенузой , две другие стороны называют катетами .

Катеты прямоугольного треугольника

Длины катетов прямоугольного треугольника меньше длины гипотенузы.

Равнобедренным прямоугольным треугольником называют такой прямоугольный треугольник, у которого равны катеты.
Острые углы равнобедренного прямоугольного треугольника равны 45°.

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30° , равен половине гипотенузы.

Катет, равный половине гипотенузы

Если в прямоугольном треугольнике один из катетов равен половине гипотенузы, то этот катет лежит против угла в 30° .

Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника

Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Медиана треугольника, равная половине стороны, к которой она проведена

Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то такой треугольник является прямоугольным.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной около него окружности.

Если в треугольнике центр описанной окружности лежит на одной из сторон, то этот треугольник является прямоугольным треугольником, а центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Обратная теорема Пифагора

Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным

Определение прямоугольного треугольника:

Треугольник, у которого один из углов равен 90° , называют прямоугольным треугольником .

Сторону, лежащую против угла в 90° , называют гипотенузой , две другие стороны называют катетами .

Свойство катетов прямоугольного треугольника:

Длины катетов прямоугольного треугольника меньше длины гипотенузы.

Фигура Рисунок Формулировка
Прямоугольный треугольник
Равнобедренный прямоугольный треугольник
Прямоугольный треугольник с углом в 30°
Равнобедренный прямоугольный треугольник

Определение равнобедренного прямоугольного треугольника:

Равнобедренным прямоугольным треугольником называют такой прямоугольный треугольник, у которого равны катеты.

Свойство углов прямоугольного треугольника:

Острые углы равнобедренного прямоугольного треугольника равны 45° .

Прямоугольный треугольник с углом в 30°

Свойство прямоугольного треугольника с углом в 30° :

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30° , равен половине гипотенузы.

Признак прямоугольного треугольника с углом в 30° :

Если в прямоугольном треугольнике один из катетов равен половине гипотенузы, то этот катет лежит против угла в 30° .

Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника

Свойство медианы, проведенной к гипотенузе прямоугольного треугольника:

Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Признак прямоугольного треугольника:

Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то такой треугольник является прямоугольным.

Центр описанной окружности

Свойство окружности, описанной около прямоугольного треугольника:

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной около него окружности.

Признак прямоугольного треугольника:

Если в треугольнике центр описанной окружности лежит на одной из сторон, то этот треугольник является прямоугольным треугольником, а центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Обратная теорема Пифагора:

Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным

Источник

Прямоугольные треугольники

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой (равен $90$ градусов).

Катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.

2. Если в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $45$ градусов, то этот треугольник равнобедренный.

3. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $30$ градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.)

4. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $60$ градусов, равен малому катету этого треугольника, умноженному на $√3$.

5. В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна катету, умноженному на $√2$

6. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, равна ее половине и радиусу описанной окружности $(R)$

7. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями, которых являются катеты данного треугольника.

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$

Для острого угла $В$: $АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

Для острого угла $А$: $ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

1. Синусом $(sin)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

2. Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

3. Тангенсом $(tg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

4. Котангенсом $(ctg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

В прямоугольном треугольнике $АВС$ для острого угла $В$:

5. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.

6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.

7. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

$α$ $30$ $45$ $60$
$sinα$ $<1>/<2>$ $<√2>/<2>$ $<√3>/<2>$
$cosα$ $<√3>/<2>$ $<√2>/<2>$ $<1>/<2>$
$tgα$ $<√3>/<3>$ $1$ $√3$
$ctgα$ $√3$ $1$ $<√3>/<3>$

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов

В треугольнике $АВС$ угол $С$ равен $90$ градусов, $АВ=10, АС=√<91>$. Найдите косинус внешнего угла при вершине $В$.

Так как внешний угол $АВD$ при вершине $В$ и угол $АВС$ смежные, то

Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Следовательно, для угла $АВС$:

Катет $ВС$ мы можем найти по теореме Пифагора:

Подставим найденное значение в формулу косинуса

В треугольнике $АВС$ угол $С$ равен $90$ градусов, $sin⁡A=<4>/<5>, AC=9$. Найдите $АВ$.

Распишем синус угла $А$ по определению:

Так как мы знаем длину катета $АС$ и он не участвует в записи синуса угла $А$, то можем $ВС$ и $АВ$ взять за части $4х$ и $5х$ соответственно.

Применим теорему Пифагора, чтобы отыскать $«х»$

Так как длина $АВ$ составляет пять частей, то $3∙5=15$

В прямоугольном треугольнике с прямым углом $С$ и высотой $СD$:

Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые высота поделила гипотенузу.

В прямоугольном треугольнике : квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

Произведение катетов прямоугольного треугольника равно произведению его гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.

Источник

Гипотенуза прямоугольного треугольника, все формулы

О нас
Демоверсии
Учебные пособия
Справочник по математике
Справочник по математике Геометрия (Планиметрия) Треугольники
Фигура Рисунок Формулировка
Прямоугольный треугольник Треугольник, у которого один из углов равен 90°, называют прямоугольным треугольником. Сторону, лежащую против угла в 90°, называют гипотенузой, две другие стороны называют катетами.
Катеты прямоугольного треугольника Длины катетов прямоугольного треугольника меньше длины гипотенузы.
Равнобедренный прямоугольный треугольник Равнобедренным прямоугольным треугольником называют такой прямоугольный треугольник, у которого равны катеты.Острые углы равнобедренного прямоугольного треугольника равны 45°.
Прямоугольный треугольник с углом в 30° Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
Катет, равный половине гипотенузы Если в прямоугольном треугольнике один из катетов равен половине гипотенузы, то этот катет лежит против угла в 30°.
Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.Посмотреть доказательство
Медиана треугольника, равная половине стороны, к которой она проведена Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то такой треугольник является прямоугольным.
Центр описанной окружности Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной около него окружности.Посмотреть доказательство
Если в треугольнике центр описанной окружности лежит на одной из сторон, то этот треугольник является прямоугольным треугольником, а центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.
Теорема Пифагора
  • В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов
  • c2 = a2 + b2
  • Посмотреть доказательство
Обратная теорема Пифагора Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным
Прямоугольный треугольник
  1. Определение прямоугольного треугольника:
  2. Треугольник, у которого один из углов равен 90°, называют прямоугольным треугольником.
  3. Сторону, лежащую против угла в 90°, называют гипотенузой, две другие стороны называют катетами.
  4. Свойство катетов прямоугольного треугольника:
  5. Длины катетов прямоугольного треугольника меньше длины гипотенузы.
Равнобедренный прямоугольный треугольник
  • Определение равнобедренного прямоугольного треугольника:
  • Равнобедренным прямоугольным треугольником называют такой прямоугольный треугольник, у которого равны катеты.
  • Свойство углов прямоугольного треугольника:
  • Острые углы равнобедренного прямоугольного треугольника равны 45°.
Прямоугольный треугольник с углом в 30°
  1. Свойство прямоугольного треугольника с углом в 30°:
  2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
  3. Признак прямоугольного треугольника с углом в 30°:
  4. Если в прямоугольном треугольнике один из катетов равен половине гипотенузы, то этот катет лежит против угла в 30°.
Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника
  • Свойство медианы, проведенной к гипотенузе прямоугольного треугольника:
  • Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
  • Посмотреть доказательство
  • Признак прямоугольного треугольника:
  • Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то такой треугольник является прямоугольным.
Центр описанной окружности
  1. Свойство окружности, описанной около прямоугольного треугольника:
  2. Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной около него окружности.
  3. Посмотреть доказательство
  4. Признак прямоугольного треугольника:
  5. Если в треугольнике центр описанной окружности лежит на одной из сторон, то этот треугольник является прямоугольным треугольником, а центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.
Теорема Пифагора
  • Теорема Пифагора:
  • В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов
  • c2 = a2 + b2
  • Посмотреть доказательство
  • Обратная теорема Пифагора:
  • Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным

На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Как найти гипотенузу в прямоугольном треугольнике: самые простые и запоминающиеся формулы для учеников

Как известно, геометрия – непростая наука, требующая особой аккуратности и точности в решении задач. Многие выражения и формулы, которые мы впоследствии используем в более сложных вычислениях, изложены в учебниках по математике 6-7 класса. Чтобы сделать процесс изучения тригонометрических функций более простым и приятным, в этой статье мы рассмотрим несколько коротких способ вычисления гипотенузы прямоугольного треугольника.

Как найти гипотенузу по катетам?

Вспомним немного теории: прямоугольным треугольником называют плоскую фигуру, у которой есть три угла. Один из них имеет величину 90º, а стороны называют катетами и гипотенузой.

Та сторона, которая противолежит прямому углу, и есть гипотенуза, а остальные две – это прилежащие катеты. Главная игра сторон проявляется в теореме Пифагора, согласно которой гипотенуза равняется сумме квадратов катетов.

Однако это лишь кажется запутанным, ведь на самом деле все гораздо проще.

Свойства геометрической фигуры

Перед тем, как найти гипотенузу треугольника, необходимо разобраться, какие особенности имеет данная фигура. Рассмотрим главные из них:

  1. В прямоугольном треугольнике оба острых угла в сумме будут равны 90º.
  2. Катет, лежащий против угла в 30º, будет равен ½ от величины гипотенузы.
  3. Если катет равен ½ от значения гипотенузы, тогда второй угол будет иметь такую же величину – 30º.

Найти гипотенузу в прямоугольном треугольнике можно несколькими способами. Самым простым решением является вычисление через катеты. Допустим, вам известны значения катетов сторон А и В.

Тогда на выручку приходит теорема Пифагора, повествующая нам, что если поставить каждую величину катета в квадрат и просуммировать полученные данные, мы узнаем чему равна гипотенуза.

Таким образом, нам необходимо просто извлечь значение квадратного корня:

  • Например, если катет А = 3 см, а катет В = 4 см, тогда вычисление будет иметь следующий вид:

Как найти гипотенузу через угол?

Еще одним способом, который поможет узнать, чему равна гипотенуза в прямоугольном треугольнике, является вычисление через заданный угол. Для этого нам потребуется вывести величину через формулу синуса. Допустим, нам известна величина катета (А) и значение противолежащего угла (α). Тогда все решение заключается в одной формуле: С=А/sin(α).

  1. Например, если длина катета 40 см, а угол составляет 45°, тогда длину гипотенузы можно вывести следующим образом:
  2. 40/sin(45°) = 40/0,71 = 56,33.

Определить искомую величину можно также через косинус заданного угла. Допустим, нам известно значение одного катета (В) и острого прилежащего угла (α). Тогда для решения задачи понадобится одна формула: С=В/ cos(α).

  • К примеру, если длина катета имеет значение 50 см, а угол составляет 45°, тогда гипотенузу можно вычислить следующим образом:
  • 50/cos(45°) = 50/0,71 = 80,42.

Таким образом, мы рассмотрели основные способы как узнать гипотенузу в треугольнике. В ходе решения задания важно сконцентрировать внимание на имеющихся данных, тогда найти неизвестную величину будет достаточно просто. Необходимо знать всего пару формул и процесс решения задач станет простым и приятным.

Гипотенуза в прямоугольном треугольнике

Гипотенуза – это самая длинная сторона прямоугольного треугольника. Она лежит напротив прямого угла. Длина гипотенузы может быть найдена различными способами.

Если известна длина обоих катетов, то ее размер вычисляется по теореме Пифагора: сумма квадратов двух катетов равняется квадрату гипотенузы.

Соответственно длина гипотенузы в прямоугольном треугольнике вычисляется по формуле:


К примеру: катет a = 3 см, катет b = 4 см.
Чтобы найти длину гипотенузы в прямоугольном треугольнике, подставим числа в формулу. =5 см

Преобразовав эту формулу можно найти и длину одного неизвестного катета.
,
В случае если известна длина катета A и гипотенузы C, угол α можно определить по формуле:
Второй угол будет вычисляться так: β = 180°-90°-α. Зная, что сумма всех углов составляет 180°, вычитаем прямой угол и уже известный.

К примеру: A = 3 см, C=5 см, подставляем значения в формулу: =0,6
По таблицу синусов угол α будет приблизительно равен 36°, соответственно угол β = 54°.

Если по условиям даны параметры двух катетов, то можно найти острый угол по следующей формуле:

К примеру: A = 3 см, B = 4 см
Подставляем значения в формулу =0,75
По таблице тангенсов угол α будет равняться 36°, соответственно угол β = 54°.

Также стороны прямоугольного треугольника можно найти по различным формулам в зависимости от количества известных переменных.

При расчете параметров прямоугольного треугольника важно обращать внимание на известные значения и решать задачу по самой простой формуле.

Формула гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника

1001student.ru > Геометрия > Формула гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника

В повседневной жизни каждому человеку время от времени приходится решать задачи из школьной программы.

Несмотря на то что многие в детстве считали эти знания ненужными, сейчас все понимают, что были неправы.

Например, в любой момент может понадобиться найти длину гипотенузы равнобедренного треугольника, формулу расчета которой несложно вывести самостоятельно. Для этого следует вспомнить законы геометрии.

Законы геометрии

В первую очередь надо определиться с терминами. Чтобы в дальнейшем было понятно, что означают те или иные геометрические понятия, необходимо вспомнить следующие определения:

  • треугольник;
  • сторона;
  • угол;
  • бедро;
  • равнобедренный;
  • равносторонний;
  • прямоугольный;
  • гипотенуза;
  • катет;
  • теорема.

Треугольник – это замкнутая геометрическая фигура, состоящая из трех точек, соединенных последовательно тремя отрезками, которые являются сторонами этой фигуры. Прямые, исходящие из одной точки, образуют угол.

Каждый треугольник состоит из трех сторон. Исходящие из одной вершины стороны называются бедрами, поэтому фигура, у которой минимум две стороны имеют равную длину, называется равнобедренной. В случае когда все стороны фигуры равны, она называется равносторонним треугольником.

Треугольник, в котором есть прямой угол, называется прямоугольным. Прямым в геометрии называется угол в 90 градусов. Поскольку в каждой треугольной фигуре сумма всех углов равна 180 градусов, то в ней может быть только один прямой угол. Гипотенуза в переводе с греческого языка означает «натянутая» – это сторона треугольника, которая лежит напротив прямого угла.

Катет – это одна из двух других сторон прямоугольного треугольника, тоже греческое слово, которое в переводе означает опущенный, отвесный или перпендикуляр. Катеты одновременно являются бедрами, а в равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза служит еще и основанием.

Теорема – это истина, которую надо доказать. Одно из самых известных и значимых правил геометрии – это теорема Пифагора.

Теорема Пифагора

Древнегреческий математик и философ Пифагор, если верить историкам, первым нашел правильный расчет соотношения размеров длин катетов и гипотенузы. Согласно теореме Пифагора, длина гипотенузы в квадрате равна сумме длин катетов, возведенных в квадрат. Можно кратко описать теорему, обозначив гипотенузу буквой Г, а катеты — К1 и К2:

Как вычислить формулу

Если довериться логике и Пифагору, то легко высчитать, что размер самой длинной стороны треугольника будет равен квадратному корню из суммы квадратов двух меньших сторон. Если учесть, что в равнобедренном треугольнике катеты равны, то формулу можно усовершенствовать.

Гипотенузу равнобедренного треугольника можно рассчитать путем вычисления квадратного корня из квадрата длины катета, умноженного на два.

Вопрос на засыпку

Чтобы ответить на вопрос, как найти гипотенузу равностороннего треугольника, надо вспомнить, чему равен каждый его угол.

При любой длине сторон в этой фигуре, сумма всех углов неизменна и равна 180 градусов, соответственно каждый из них в этой фигуре равен 60 градусов.

Прямого угла в такой фигуре не может быть по определению, поэтому нет и гипотенузы. Значит, поставленный вопрос некорректен и не имеет ответа.

Практическое применение

В каких сферах повседневной жизни может понадобиться знание формулы? Эта тема находит практическое применение в архитектуре, строительстве, физике, математике, астрономии и других областях народного хозяйства, например:

  • Для дизайнера, работающего над планировкой дома или квартиры, важно знать, является ли конкретный угол прямым. Высчитав длину всех сторон, можно сделать вывод о размере угла.
  • В организациях, занимающихся оптовой торговлей или транспортными услугами, для правильного построения логистической схемы распределения товара между розничными точками порой необходимо рассчитывать самые краткие и оптимальные пути передвижения между различными объектами.
  • На даче или огороде можно правильно рассчитать длину лестницы, необходимой для установки на определенную высоту под определенным углом, чтобы легко взбираться на мансарду или чердак.

Если внимательно оглядеться вокруг, можно различить большое количество разнообразных геометрических фигур.

Где геометрия, там и возможности использовать ее правила и формулы расчетов, в том числе и формулу длины гипотенузы.

Свойство медианы прямоугольного треугольника

Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Пусть СМ — медиана прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С.
Проведем через вершину В прямую m, параллельную катету АС.
Через вершину А проведем прямую n, параллельную катету ВС.

Прямые m и n пересекаются в точке К.

Мы получили прямоугольник АКВС (параллелограмм, в котором угол С – прямой).
Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам.

Задача ЕГЭ по теме «Медиана прямоугольного треугольника»
В треугольнике ABC угол ACB равен , угол B равен , CD — медиана. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Это значит, что треугольник CBD – равнобедренный, CD = BD. Тогда

Гипотенуза и угол «α» прямоугольного треугольника

Если в прямоугольном треугольнике известна гипотенуза и угол α, то можно сразу вычислить катеты и угол β из свойства суммы углов треугольника и отношений синуса и косинуса. (рис. 79.1)
β=90°-α
a=c sin⁡α
b=c cos⁡α

Периметр, заданный суммой катетов и гипотенузы, можно представить в виде суммы известной гипотенузы и выраженных через нее катетов.
P=a+b+c=c sin⁡α+c cos⁡α+c=c(sin⁡α+cos⁡α+1)

Площадь любого прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, следовательно, чтобы рассчитать площадь через гипотенузу и угол α, необходимо также заменить неизвестные на соответствующие выражения.
S=ab/2=(sin⁡α cos⁡α)/2

Треугольник, в котором один угол прямой, будет иметь всего одну высоту, опущенную на гипотенузу. Из любого внутреннего прямоугольного треугольника, полученного с помощью дополнительного построения высоты, можно выразить ее, как произведение катета и синуса угла. (рис. 79.2)
h=b sin⁡α=c cos⁡α sin⁡α

Найти медиану прямоугольного треугольника проще всего, если она опущена на гипотенузу, в таком случае она будет равна ее половине. Медианы катетов вычисляются по стандартным формулам с заменой переменных через гипотенузу. (рис.79.

3)
m_с=c/2
m_b=√(2a^2+2c^2-b^2 )/2=√(2a^2+2a^2+2b^2-b^2 )/2=√(4a^2+b^2 )/2=√(4 〖c^2 sin^2〗⁡α+〖c^2 cos^2〗⁡α )/2=(с√(3 sin^2⁡α+1))/2
m_a=√(2c^2+2b^2-a^2 )/2=√(2a^2+2b^2+2b^2-a^2 )/2=√(4 〖c^2 cos〗^2⁡α+sin^2⁡α )/2=(с√(3 cos^2⁡α+1))/2

Рассчитать биссектрисы прямоугольного треугольника тоже достаточно просто, если использовать специальные формулы, зная гипотенузу и угол α. Преобразуя выражения, можно упростить их до следующих тождеств. (рис. 79.

4)
l_с=(ab√2)/(a+b)=(c sin⁡α cos⁡α √2)/(sin⁡α+cos⁡α )
l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a) )/(b+c)=√(bc((b+c)^2-a^2 ) )/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2 ) )/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+b^2 ) )/(b+c)=√(bc(2b^2+2bc) )/(b+c)=(b√(2c(b+c) ))/(b+c)=(c cos⁡α √(2c(c cos⁡α+c) ))/(c cos⁡α+c)=(c cos⁡α √(2(cos⁡α+1) ))/(cos⁡α+1)
l_b=√(ac(a+b+c)(a+c-b) )/(a+c)=(a√(2c(a+c) ))/(a+c)=(c sin⁡α √(2c(c sin⁡α+c) ))/(c sin⁡α+c)=(c sin⁡α √(2(sin⁡α+1) ))/(sin⁡α+1)

Проведенная средняя линия прямоугольного треугольника создает внутри него еще один подобный треугольник в два раза меньше первоначального, поэтому сама она равна половине параллельной ей стороны. (рис. 79.7)
M_a=a/2=(c sin⁡α)/2
M_b=b/2=(c cos⁡α)/2
M_c=c/2

Прямоугольный треугольник может быть вписан в окружность и описан вокруг нее.

Радиус вписанной окружности внутри треугольника можно вычислить, сложив катеты за вычетом гипотенузы, и разделив полученное число на два.

Рассчитать радиус описанной окружности для прямоугольного треугольника через гипотенузу еще проще, так как он равен ее половине. (рис. 79.5, 79.6)
r=(a+b-c)/2=(c sin⁡α+c cos⁡α-c)/2=c/2 (sin⁡α+cos⁡α-1)
R=c/2

Источник

Читайте также:  Задачи на равенство прямоугольных треугольников с решением 7 класс
Поделиться с друзьями
Объясняем