Если два угла треугольника равны то этот треугольник равнобедренный верно или неверно

Если в треугольнике два угла равны

Теорема (Признак равнобедренного треугольника)

Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник — равнобедренный.

Рассмотрим треугольники ACF и BCF.

1) ∠ ACF= ∠ BCF (так как CF — биссектриса (по построению))

2) CF — общая сторона

∠ A= ∠ B (по условию)

Сумма углов треугольника равна 180º.

В треугольнике ACF

∠ AFC=180º — ( ∠ A+ ∠ ACF).

В треугольнике BCF

∠ BCF =180º — ( ∠ B+ ∠ BCF).

Из 180º вычли сумму равных углов. Получили равные углы:

Таким образом, имеем:

Следовательно, ∆ACF = ∆BCF (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AC=BC.

Значит, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AB (по определению равнобедренного треугольника).

Что и требовалось доказать.

Данный признак равнобедренного треугольника можно доказать другими способами.

Рассмотрим треугольники ABC и BAC.

(это — два разных треугольника. Подробнее — смотрите «Два треугольника равны«)

1) AB=BA (по условию)

2) ∠ A= ∠ B (по условию)

3) ∠ B = ∠ A (по условию)

Следовательно, ∆ACF = ∆BCF (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AC=BC.

Вывод: ∆ ABC — равнобедренный с основанием AB.

По соотношениям между углами треугольника и противолежащими сторонами, в треугольнике против б’ольшего угла лежит б’ольшая сторона. Следствие: против равных углов лежат равные стороны. Таким образом, если в треугольнике два угла равны, то лежащие напротив этих углов стороны тоже равны, а значит, треугольник — равнобедренный.

Источник

Равнобедренный треугольник

Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого две стороны равны между собой.

Равные стороны называются боковыми , третья сторона называется основанием .

Читайте также:  Задание по математике 5 класс прямоугольный параллелепипед

Свойства равнобедренного треугольника

1. Углы при основании равны

2. Биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию совпадают между собой

3. Углы при основании равнобедренного треугольника вычисляются по следующей формуле:

,

где – угол напротив основания.

4. Биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из углов при основании равны между собой

5. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на медиане=высоте=биссектрисе, проведенной к основанию

Признаки равнобедренного треугольника

1. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

2. Если в треугольнике медиана является и высотой (биссектрисой), то такой треугольник равнобедренный.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Источник

докажите, что если 2 угла треугольника равны то треугольник равнобедренный нужно прям доказательство))) _

Теорема: Если любые два угла треугольника равны, то он равнобедренный.

Доказательство: Аналогично доказательству прямой теоремы, но используя второй признак равенства треугольников. Центр тяжести, центры описанной и вписанной окружностей и точка пересечения высот равнобедренного треугольника – все лежат на его оси симметрии, т. е. на высоте.
Равносторонний треугольник является равнобедренным для каждой пары своих сторон. Ввиду равенства всех его сторон равны и все три угла такого треугольника. Учитывая, что сумма углов любого треугольника равна двум прямым, мы видим, что каждый из углов равностороннего треугольника равен 60°. Обратно, чтобы убедиться в равенстве всех сторон треугольника, достаточно проверить, что два из трех его углов равны 60°.

еорема: Если любые два угла треугольника равны, то он равнобедренный.

Доказательство: Аналогично доказательству прямой теоремы, но используя второй признак равенства треугольников. Центр тяжести, центры описанной и вписанной окружностей и точка пересечения высот равнобедренного треугольника – все лежат на его оси симметрии, т. е. на высоте.
Равносторонний треугольник является равнобедренным для каждой пары своих сторон. Ввиду равенства всех его сторон равны и все три угла такого треугольника. Учитывая, что сумма углов любого треугольника равна двум прямым, мы видим, что каждый из углов равностороннего треугольника равен 60°. Обратно, чтобы убедиться в равенстве всех сторон треугольника, достаточно проверить, что два из трех его углов равны 60°.

Читайте также:  Как рассчитать основание равнобедренной трапеции

Теорема: Если любые два угла треугольника равны, то он равнобедренный.

Доказательство: Аналогично доказательству прямой теоремы, но используя второй признак равенства треугольников. Центр тяжести, центры описанной и вписанной окружностей и точка пересечения высот равнобедренного треугольника – все лежат на его оси симметрии, т. е. на высоте.
Равносторонний треугольник является равнобедренным для каждой пары своих сторон. Ввиду равенства всех его сторон равны и все три угла такого треугольника. Учитывая, что сумма углов любого треугольника равна двум прямым, мы видим, что каждый из углов равностороннего треугольника равен 60°. Обратно, чтобы убедиться в равенстве всех сторон треугольника, достаточно проверить, что два из трех его углов равны 60°.

Источник

Президентский ФМЛ №239

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Содержание

Равнобедренный треугольник

Свойства равнобедренного треугольника

Доказательство

Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $BC$.

Пусть $AD$ – биссектриса этого треугольника.

Треугольники $ABD$ и $ACD$ равны по первому признаку равенства треугольников $(AB=AC, AD$ – общая, $\angle 1=\angle 2)$.

Следовательно, $\angle B=\angle C$.

Кроме того, $\angle 3=\angle 4$, а поскольку они смежные, то каждый из них является прямым, то есть $AD$ – высота.

Из равенства этих треугольников следует, что $BD=DC$.

Следовательно $AD$ – не только биссектриса и высота, но и медиана.

Признаки равнобедренного треугольника

Доказательство

Рассмотрим треугольник $ABC$.

Докажем первый пункт теоремы

Докажем, что если $\angle B=\angle C$, то $AB=AC$.

Первый способ.

Поскольку $\angle B$ и $\angle C$ острые (иначе сумма углов треугольника $ABC$ была бы больше $180^\circ$), то высота, проведенная из вершины $A$ падает на сторону $BC$.

Так как сумма углов треугольника равна $180^\circ$, то $\angle 1=180^\circ-90^\circ-\angle B=180^\circ-90^\circ-\angle C=\angle 2$.

Следовательно, треугольники $ABD$ и $ACD$ равны по второму признаку равенства треугольников $(\angle 1=\angle 2, \angle 3=\angle 4, AD$– общая сторона$)$.

Тогда $AB=AC$, то есть треугольник равнобедренный.

Второй способ.

Если предположить, что одна из указанных сторон больше другой, то угол, лежащий против нее, будет больше угла, лежащего против другой стороны, а это противоречит условию (тому, что данные углы равны).

Читайте также:  Как сшить атласную юбку трапецию

Докажем второй пункт теоремы

Докажем теперь, что если $AD$ – медиана и высота, то треугольник равнобедренный.

Действительно, так как $BD=DC, \angle 3=\angle 4=90^\circ$, a $AD$ – общая сторона, то треугольники $ABD$ и $ACD$ равны по первому признаку равенства треугольников.

Следовательно, $AB=AC$, то есть треугольник равнобедренный.

Докажем третий пункт теоремы

Докажем, что если $AD$ – биссектриса и высота для $\triangle ABС$, то треугольник равнобедренный.

Действительно, так как $\angle 1 =\angle 2, \angle 3=\angle 4=90^\circ$, a $AD$ – общая сторона, то треугольники $ABD$ и $ACD$ равны по второму признаку равенства треугольников.

Следовательно, $AB=AC$, то есть треугольник равнобедренный.

Докажем четвертый пункт теоремы

Докажем, что если $AD$ – медиана и биссектриса, то треугольник равнобедренный.

Предположим противное – треугольник $ABC$ не равнобедренный, и, следовательно, $AD$ не высота.

Проведем через точку $D$ прямую $l$ перпендикулярно $AD$.

Обозначим точки пересечения прямой $l$ с прямыми $AB$ и $AC$ как $M$ и $N$ соответственно.

Треугольник $AMN$ – равнобедренный, так как $AD$ – биссектриса и высота этого треугольника.

Тогда $AD$ – медиана треугольника $AMN$, то есть $MD=ND$.

Тогда треугольники $BMD$ и $CND$ равны по первому признаку $(\angle BDM=\angle CDN$ как вертикальные, $BD=DC, MD=ND)$.

Тогда $\angle 4=\angle 5$, и, следовательно, прямые $AB$ и $AC$ параллельны, что невозможно.

Источник

Равнобедренный треугольник

Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого две стороны равны между собой.

Равные стороны называются боковыми , третья сторона называется основанием .

Свойства равнобедренного треугольника

1. Углы при основании равны

2. Биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию совпадают между собой

3. Углы при основании равнобедренного треугольника вычисляются по следующей формуле:

,

где – угол напротив основания.

4. Биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из углов при основании равны между собой

5. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на медиане=высоте=биссектрисе, проведенной к основанию

Признаки равнобедренного треугольника

1. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

2. Если в треугольнике медиана является и высотой (биссектрисой), то такой треугольник равнобедренный.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Источник

Поделиться с друзьями
Объясняем