Если диагонали трапеции взаимно перпендикулярны то она равнобедренная

Содержание
  1. Если диагонали трапеции взаимно перпендикулярны то она равнобедренная
  2. Равнобедренная трапеция. Формулы, признаки и свойства равнобедренной трапеции
  3. Признаки равнобедренной трапеции
  4. Основные свойства равнобедренной трапеции
  5. Стороны равнобедренной трапеции
  6. Формулы длин сторон равнобедренной трапеции:
  7. Средняя линия равнобедренной трапеции
  8. Формулы длины средней линии равнобедренной трапеции:
  9. Высота равнобедренной трапеции
  10. Формулы определения длины высоты равнобедренной трапеции:
  11. Диагонали равнобедренной трапеции
  12. Формулы длины диагоналей равнобедренной трапеции:
  13. Площадь равнобедренной трапеции
  14. Формулы площади равнобедренной трапеции:
  15. Окружность описанная вокруг трапеции
  16. Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:
  17. Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны

Если диагонали трапеции взаимно перпендикулярны то она равнобедренная

Напомним свойства трапеции, которые часто используются при решении задач. Некоторые из этих свойств были доказаны в заданиях для 9-го класса, другие попробуйте доказать самостоятельно. Приведённые рисунки напоминают ход доказательства.

$$ 4.<1>^<○>$$. Диагонали трапеции разбивают её на четыре треугольника с общей вершиной (рис. 20). Площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам, равны, а треугольники прилежащие к основаниям — подобны.

$$ 4.<2>^<○>$$. В любой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжении боковых сторон, лежат на одной прямой (на рис. 21 точки `M`, `N`, `O` и `K`).

$$ 4.<3>^<○>$$. В равнобокой трапеции углы при основании равны (рис. 22).

$$ 4.<4>^<○>$$. В равнобокой трапеции прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции (рис. 23).

$$ 4.<5>^<○>$$. В равнобокой трапеции диагонали равны (рис. 24).

$$ 4.<6>^<○>$$. В равнобокой трапеции высота, опущенная на большее основание из конца меньшего основания, делит его на два отрезка, один из которых равен полуразности оснований, а другой – их полусумме

(рис. 25, основания равны `a` и `b`, `a>b`).

$$ 4.<7>^<○>$$. Во всякой трапеции середины боковых сторон и середины диагоналей лежат на одной прямой (рис. 26).

$$ 4.<8>^<○>$$. Во всякой трапеции отрезок, соединяющий середины диагоналей, параллелен основаниям и равен полуразности оснований (рис. 27).

$$ 4.<9>^<○>$$.В равнобокой трапеции `d^2=c^2+ab`, где `d` — диагональ, `c` — боковая сторона, `a` и `b` основания.

Во всякой трапеции сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон и удвоенного произведения оснований, т. е. `d_1^2+d_2^2=c_1^2+c_2^2+2*ab`.

$$ 4.<10>^<○>$$. Во всякой трапеции с основаниями `a` и `b` отрезок с концами на боковых сторонах, проходящий через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям, равен `(2ab)/(a+b)` (на рис. 28 отрезок `MN`).

Читайте также:  Как разделить прямоугольную трапецию на 4 равные трапеции

$$ 4.<11>^<○>$$. Трапецию можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая.

Докажем, например, утверждение $$ 4.<9>^<○>$$ .

Применяем теорему косинусов (см. рис. 29а и б):

`ul(DeltaACD):` `d_1^2=a^2+c_2^2-2a*c_2*cos varphi`,

`ul(DeltaBCD):` `d_2^2=b^2+c_2^2+2b*c_2*cos varphi` (т. к. `cos(180^@-varphi)=-cos varphi`).

Проводим `CK«|\|«BA` (рис. 29в), рассматриваем треугольник `ul(KCD):` `c_1^2=c_2^2+(a-b)^2-2c_2*(a-b)*cos varphi`. Используя последнее равенство, заменяем выражение в скобках в (2), получаем:

`d_1^2+d_2^2=c_1^2+c_2^2+2ab`.

В случае равнобокой трапеции `d_1=d_2`, `c_1=c_2=c`, поэтому получаем

Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен `5`, одна из диагоналей равна `6`. Найти площадь трапеции, если её диагонали перпендикулярны.

`AC=6`, `BM=MC`, `AN=ND`, `MN=5` (рис. 30а). Во всякой трапеции середины оснований и точка пересечения диагоналей лежат на од-ной прямой (свойство $$ 4.<2>^<○>$$). Треугольник `BOC` прямоугольный (по условию `AC_|_BD`), `OM` — его медиана, проведённая из вершины прямого угла, она равна половине гипотенузы: `OM=1/2BC`. Аналогично устанавливается `ON=1/2AD`, поэтому `MN=1/2(BC+AD)`. Через точку `D` проведём прямую, параллельную диагонали `AC`, пусть `K` — её точка пересечения с прямой `BC` (рис. 30б).

По построению `ACKD` — параллелограмм, `DK=AC`, `CK=AD` и `/_BDK=90^@`

(т. к. угол `BDK` — это угол между диагоналями трапеции).

Прямоугольный треугольник `ul(BDK)` с гипотенузой `BK=BC+AD=2MN=10` и катетом `DK=6` имеет площадь `S=1/2DK*BD=1/2DKsqrt(BK^2-DK^2)=24`. Но площадь треугольника `BDK` равна площади трапеции, т. к. если `DP_|_BK`, то

Диагонали трапеции, пересекаясь, разбивают её на четыре треугольника с общей вершиной. Найти площадь трапеции, если площади треугольников, прилежащих к основаниям, равны `S_1` и `S_2`.

Пусть `BC=a`, `AD=b`, и пусть `h` — высота трапеции (рис. 31). По свойству $$ 4.<1>^<○>$$ `S_(ABO)=S_(CDO)`, обозначим эту площадь `S_0` (действительно, `S_(ABD)=S_(ACD)`, т. к. у них общие основания и равные высоты, т. е. `S_(AOB)+S_(AOD)=S_(COD)+S_(AOD)`, откуда следует `S_(AOB)=S_(COD)`). Так как `S_(ABC)=S_0 + S_1=1/2ah` и `S_(ACD)=S_0+S_2=1/2bh`, то `(S_0+S_1)/(S_0 + S_2)=a/b`.

Далее, треугольники `BOC` и `DOA` подобны, площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон, значит, `(S_1)/(S_2)=(a/b)^2`. Таким образом, `(S_0+S_1)/(S_0+S_2)=sqrt((S_1)/(S_2))`.Отсюда находим `S_0=sqrt(S_1S_2)`, и поэтому площадь трапеции будет равна

Основания равнобокой трапеции равны `8` и `10`, высота трапеции равна `3` (рис. 32).

Найти радиус окружности, описанной около этой трапеции.

Трапеция равнобокая, по свойству $$ 4.<11>^<○>$$ около этой трапеции можно описать окружность. Пусть `BK_|_AD`, по свойству $$ 4.<6>^<○>$$

Из прямоугольного треугольника `ABK` находим `AB=sqrt(1+9)=sqrt(10)` и `sinA=(BK)/(AB)=3/(sqrt10)`. Окружность, описанная около трапеции `ABCD`, описана и около треугольника `ABD`, значит (формула (1), § 1), `R=(BD)/(2sinA)`. Отрезок `BD` находим из прямоугольного треугольника `KDB:` `BD=sqrt(BK^2+KD^2)=3sqrt(10)` (или по формуле `d^2=c^2+ab`), тогда

Читайте также:  Какое утверждение верно любая биссектриса равнобедренного треугольника является его медианой

$$ 4.<12>^<○>$$. Площадь трапеции равна площади треугольника, две стороны которого равны диагоналям трапеции, а третья равна сумме оснований.

$$ 4.<13>^<○>$$. Если `S_1` и `S_2` — площади треугольников, прилежащих к основаниям, то площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам равны `sqrt(S_1S_2)`, а площадь всей трапеции равна `(sqrt(S_1) +sqrt(S_2))^2`.

$$ 4.<14>^<○>$$. Радиус окружности, описанной около трапеции, находится по формуле `R+a/(2sin alpha)`, где `a` — какая-то сторона (или диагональ трапеции), `alpha` — смотрящий на неё вписанный угол.

Источник

Равнобедренная трапеция. Формулы, признаки и свойства равнобедренной трапеции

Рис.1

Признаки равнобедренной трапеции

∠ABC = ∠BCD и ∠BAD = ∠ADC

∠ABD = ∠ACD, ∠DBC = ∠ACB, ∠CAD = ∠ADB, ∠BAC = ∠BDC

∠ABC + ∠ADC = 180° и ∠BAD + ∠BCD = 180°

Основные свойства равнобедренной трапеции

∠ABC + ∠BAD = 180° и ∠ADC + ∠BCD = 180°

AC 2 + BD 2 = AB 2 + CD 2 + 2BC · AD

9. Высота (CP), опущенная из вершины (C) на большее основание (AD), делит его на большой отрезок (AP), который равен полусумме оснований и меньший (PD) — равен полуразности оснований:

AP = BC + AD
2
PD = AD — BC
2

Стороны равнобедренной трапеции

Формулы длин сторон равнобедренной трапеции:

a = b + 2 h ctg α = b + 2 c cos α

b = a — 2 h ctg α = a — 2 c cos α

c = h = a — b
sin α 2 cos α

2. Формула длины сторон трапеции через диагонали и другие стороны:

a = d 1 2 — c 2 b = d 1 2 — c 2 c = √ d 1 2 — ab
b a

3. Формулы длины основ через площадь, высоту и другую основу:

a = 2S — b b = 2S — a
h h

4. Формулы длины боковой стороны через площадь, среднюю линию и угол при основе:

с = S
m sin α

5. Формулы длины боковой стороны через площадь, основания и угол при основе:

с = 2S
( a + b ) sin α

Средняя линия равнобедренной трапеции

Формулы длины средней линии равнобедренной трапеции:

m = a — h ctg α = b + h ctg α = a — √ c 2 — h 2 = b + √ c 2 — h 2

2. Формула средней линии трапеции через площадь и сторону:

m = S
c sin α

Высота равнобедренной трапеции

Формулы определения длины высоты равнобедренной трапеции:

1. Формула высоты через стороны:

h = 1 √ 4 c 2 — ( a — b ) 2
2

2. Формула высоты через стороны и угол прилегающий к основе:

h = a — b tg β = c sin β
2

Диагонали равнобедренной трапеции

Формулы длины диагоналей равнобедренной трапеции:

d 1 = √ a 2 + c 2 — 2 ac cos α

d 1 = √ b 2 + c 2 — 2 bc cos β

4. Формула длины диагонали через высоту и основания:

d 1 = 1 √ 4 h 2 + ( a + b ) 2
2

Площадь равнобедренной трапеции

Формулы площади равнобедренной трапеции:

1. Формула площади через стороны:

S = a + b √ 4 c 2 — ( a — b ) 2
4

2. Формула площади через стороны и угол:

S = ( b + c cos α ) c sin α = ( a — c cos α ) c sin α

3. Формула площади через радиус вписанной окружности и угол между основой и боковой стороной:

S = 4 r 2 = 4 r 2
sin α sin β

4. Формула площади через основания и угол между основой и боковой стороной:

S = ab = ab
sin α sin β

5. Формула площади ранобедренной трапеции в которую можно вписать окружность:

S = ( a + b ) · r = √ ab ·c = √ ab ·m

6. Формула площади через диагонали и угол между ними:

S = d 1 2 · sin γ = d 1 2 · sin δ
2 2

7. Формула площади через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании:

S = mc sin α = mc sin β

8. Формула площади через основания и высоту:

S = a + b · h
2

Окружность описанная вокруг трапеции

Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:

1. Формула радиуса через стороны и диагональ:

R = a·c·d 1
4√ p ( p — a )( p — c )( p — d 1)

где

p = a + c + d 1
2

a — большее основание

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Источник

Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны

Здравствуйте!
Если диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны, какие формулы нужно использовать?
Спасибо!

Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны
Диагонали равнобедренной трапеции могут располагаться друг к другу перпендикулярно.

В таком случае при решении задач удобно пользоваться следующими свойствами:

  1. Тогда высота трапеции равна половине суммы оснований:

В правой части данного равенства мы видим формулу для нахождения средней линии трапеции, следовательно, из первого свойства можно сделать следующий вывод:

  1. Если равнобедренная трапеция имеет перпендикулярные диагонали, то длина ее высоты равна длине средней линии:

  1. Тогда площадь трапеции равна высоте трапеции, возведенной в квадрат:

Как известно, площадь трапеции можно найти по формуле:

В случае равнобокой трапеции высота также равна средней линии и половине суммы оснований трапеции. Тогда можно записать:

Делаем вывод, что:

  1. Можно связать диагональ, основания, высоту и среднюю линию следующими равенствами:

Источник

Читайте также:  Какие углы есть у параллелограмма
Поделиться с друзьями
Объясняем