Если диагонали трапеции перпендикулярны то ее высота равна средней линии доказать

Президентский ФМЛ №239

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Содержание

Трапеция

Определение

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

Замечание

Сумма углов при боковой стороне трапеции равна $180^\circ$.

Доказательство

Действительно, так как основания трапеции параллельны, а боковая сторона является секущей, то углы при боковой стороне являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых, и, следовательно, их сумма равна $180^\circ$.

Определение

Свойства равнобедренной трапеции

Доказательство

Докажем первый пункт теоремы.

Рассмотрим равнобедренную трапецию $ABCD$, $AB=CD$.

Докажем, что $\angle A=\angle D$.

Проведем из точек $B$ и $C$ высоты $BE$ и $CF$.

Треугольники $\triangle ABE$ и $\triangle CFD$ равны по катету и гипотенузе ($AB=CD, BE=CF$).

Следовательно, $\angle A=\angle D$.

Докажем второй пункт теоремы.

В равнобедренной трапеции $ABCD$ рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$.

Они равны по первому признаку ($AB=CD$, $AD$ – общая, $\angle A=\angle D$ по первому пункту).

Докажем третий пункт теоремы.

Пусть диагонали равнобедренной трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Докажем, что треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$ – равнобедренные, а треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$ равны.

Действительно, во втором пункте уже было доказано, что $\triangle ABD=\triangle ACD$.

Следовательно, $\angle 1=\angle 2$, а так как они накрест лежащие с углами $\angle 3$ и $\angle 4$ соответственно, то $\angle 3=\angle 4$, что и означает, что треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$ – равнобедренные.

Тогда $AO=OD$ и $BO=OC$, и как следствие, $\triangle AOB=\triangle COD$ по третьему признаку равенства треугольников.

Докажем четвертый пункт теоремы.

Так как $\triangle AEB=\triangle CFD$ (по катету и гипотенузе), то $AE=FD$.

Кроме того, $EF=BC$, следовательно, $AE=\dfrac<2>$ и $AF=\dfrac<2>+BC=\dfrac<2>$.

Признаки равнобедренной трапеции

Доказательство

Докажем первый пункт теоремы.

Рассмотрим трапецию $ABCD$, в которой $\angle A=\angle D$.

Докажем, что тогда $AB=CD$, то есть трапеция равнобедренная.

Проведем из вершины $C$ отрезок $CE$ параллельный стороне $AB$.

Тогда $\angle A=\angle CED$, как соответственные углы.

Следовательно, $\angle CED=\angle D$, а тогда $\triangle CED$ – равнобедренный.

А поскольку $AB=CE$ ($ABCE$ – параллелограмм), то $AB=CD$.

Докажем второй пункт теоремы.

Рассмотрим трапецию $ABCD$, у которой $AC=BD$.

Докажем, что тогда $AB=CD$.

Построим из точки $C$ прямую, параллельный диагонали $BD$. Пусть она пересекает прямую $AD$ в точке $F$.

Тогда $BD=CF$, так как $BCFD$ – параллелограмм по определению.

Тогда $\triangle ACF$ – равнобедренный, так как $AC=CF$.

Следовательно $\angle OAD=\angle ODA$, и $\triangle AOD$ – равнобедренный.

Тогда $AO=OD$ и $BO=OC$.

Следовательно, $\triangle BOA=\triangle COD$ по первому признаку ($\angle BOA=\angle COD$ — как вертикальные).

Теорема (о равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями)

В равнобедренной трапеции со взаимно перпендикулярными диагоналями высота равна средней линии.

Доказательство

Рассмотрим равнобедренную трапецию $ABCD$, в которой $AC\perp BD$.

Докажем, что в такой трапеции высота $CH$ равна средней линии то есть полусумме оснований.

Действительно, $\triangle AOD$ – равнобедренный и прямоугольный, следовательно, $\angle OAD = 45^\circ$. Тогда $\triangle AHC$ – равнобедренный, то есть $AH=CH$.

Источник

Узнать ещё

Знание — сила. Познавательная информация

В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны

Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, при решении задачи будет полезен следующий теоретический материал.

1. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, высота трапеции равна полусумме оснований.

Проведем через точку C прямую CF, параллельную BD, и продлим прямую AD до пересечения с CF.

Четырехугольник BCFD — параллелограмм ( BC ∥ DF как основания трапеции, BD ∥ CF по построению). Значит, CF=BD, DF=BC и AF=AD+BC.

Треугольник ACF прямоугольный (если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой). Поскольку в равнобедренной трапеции диагонали равны, а CF=BD, то CF=AC, то есть треугольник ACF — равнобедренный с основанием AF. Значит, его высота CN является также медианой. А так как медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна ее половине, то

что в общем виде можно записать как

где h — высота трапеции, a и b — ее основания.

2. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то ее высота равна средней линии.

Так как средняя линия трапеции m равна полусумме оснований, то

3. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то площадь трапеции равна квадрату высоты трапеции (или квадрату полусуммы оснований, или квадрату средней линии).

Так как площадь трапеции находится по формуле

а высота, полусумма оснований и средняя линия равнобокой трапеции с перпендикулярными диагоналями равны между собой:

4. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то квадрат ее диагонали равен половине квадрата суммы оснований, а также удвоенному квадрату высоты и удвоенному квадрату средней линии.

Так как площадь выпуклого четырехугольника можно найти через его диагонали и угол между ними по формуле

sin 90 º =1, и диагонали равнобедренной трапеции равны, то площадь равнобедренной трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, равна

Источник

Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020 Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

ГИА. Модуль «Геометрия». В трапеции диагонали перпендикулярны

В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 16. Найдите её среднюю линию.

В равнобедренной трапеции равны не только боковые стороны, но и диагонали, что следует из равенства треугольников ABD и DCA. Кроме того, АС ⊥ BD. Проведём высоту, длина которой дана по условию, сначала из вершины тупого угла (BH), затем через точку пересечения диагоналей. Высота EF является осью симметрии трапеции. Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований. Рисовать мы её не будем, но вычислим: Учтём, что ЕС = ВЕ и ВЕ = HF. Получим ЕС = HF. Продолжим верхнее равенство: Задачу переформулируем так — зная высоту трапеции ВН, найти длину отрезка HD. Интуиция подсказывает наверняка, что треугольник BHD равнобедренный и HD = 16. Докажем это. Треугольник АОD прямоугольный равнобедренный, значит, ∠ODA = 45°. А в прямоугольном треугольнике BHD второй острый угол тоже равен 45°. Значит, и он равнобедренный. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны и HD = BH = 16. Ответ: 16

Автор: Ольга Себедаш Просмотров: 45548

Курс-тренинг Разбираем вариант 97 (1-14) —> Полный цикл видеоуроков по задачам 1-14 —> Полная В-подготовка (задачи 1-14) Полный цикл видеоуроков по задачам 1-14 При каком условии верно равенство 2990 + 1990 + 990 = 3900? —> Новые курсы: «EGE-мастер», «Достойный балл», «Ларинские варианты», «Раз-в-неделю», «Всё включено» —> Постоянно работают курсы для выпускников, учителей и репетиторов

Комментарии к этой задаче:

Комментарий добавил(а): Лилия
Дата: 2013-10-29

Очень красивое решение.

Комментарий добавил(а): Галина Михайловна
Дата: 2013-10-07

Комментарий добавил(а): Игорь
Дата: 2014-02-19

Красивое решение, не буду оригинальничать)

Комментарий добавил(а): Елена
Дата: 2014-03-23

красивое решение, с этим не поспоришь.

Комментарий добавил(а): нв
Дата: 2014-04-13

спасибо, всё понятно

Комментарий добавил(а): Яна
Дата: 2014-04-04

красивое решение, прекрасное объяснение.

Комментарий добавил(а): наташа
Дата: 2014-04-02

спасибо замечательное пояснение

Комментарий добавил(а): Татьяна
Дата: 2014-04-17

Можно проще: Так как треугольники АОD и BOC равнобедренные, то высота трапеции, проведенная через точку О(пересечение диагоналей) будет состоять из медиан этих треугольников. Но медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Значит высота трапеции равна полусумме оснований, то есть равна средней линии трапеции.

Комментарий добавил(а): Яна
Дата: 2014-05-05

спасибо большое) очень хорошая решения) и все понятно)

Комментарий добавил(а): Раиса
Дата: 2014-11-03

Красивое решение и понятное

Комментарий добавил(а): Катя
Дата: 2014-10-01

Понятное и красивое решение) не поспоришь

Комментарий добавил(а): Мадина
Дата: 2014-12-16

Комментарий добавил(а): Наталья Анатольевна
Дата: 2017-02-22

Комментарий добавил(а): Анастасия
Дата: 2015-05-24

Огромное спасибо! Никак не могла вникнуть в суть задачи, а после вашего объяснения все на свои места встало!!

Комментарий добавил(а): Галина
Дата: 2015-10-14

спасибо,задача решена красиво и понятно.

Комментарий добавил(а): Алиса
Дата: 2015-05-11

А ещё есть свойство: если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота, проведённая к большему основании, равна средней линии. В данном случае высота уже дана, так что задача в одно действие

Комментарий добавил(а): Ольга Себедаш
Дата: 2015-05-11

Алиса, так любую задачу можно обозвать свойством)) Данная задача и дана для того, чтобы это свойство простое ученик доказал. В этом и суть.

Комментарий добавил(а): алик
Дата: 2015-05-14

Источник

Трапеция. Свойства трапеции

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны .
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной .

Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции .

Свойства трапеции

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

3. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия –

Отношение площадей этих треугольников есть .

4. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Вписанная окружность

Если в трапецию вписана окружность с радиусом и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — и , то

Площадь

или где – средняя линия

Смотрите хорошую подборку задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Источник