Если диагонали трапеции перпендикулярны то это ромб

Трапеция. Свойства трапеции

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны .
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной .

Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции .

Свойства трапеции

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

3. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия –

Отношение площадей этих треугольников есть .

4. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Вписанная окружность

Если в трапецию вписана окружность с радиусом и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — и , то

Площадь

или где – средняя линия

Смотрите хорошую подборку задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Источник

Помогите

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Можно дать и другое определение квадрата:
Квадрат — это ромб, у которого все углы прямые.
Св-ва квадрата: все углы квадрата — прямые, все стороны квадрата — равны.
Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом.
Диагонали квадрата делят его углы пополам.
Признаки:
1. Если две смежные стороны прямоугольника равны, то этот прямоугольник является . квадратом.
2. Если диагонали прямоугольника перпендикулярны, то этот прямоугольник является квадратом.
3. Если один из углов ромба прямой, то этот ромб является квадратом. 4. Если диагонали ромба равны, то этот ромб является квадратом.
Прямоугольник — это фигура, которая имеет четыре стороны и четыре прямых угла.
Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.
У прямоугольника противоположные стороны равны.
Свойства прямоугольника:

Читайте также:  Как число пи связано с окружностью

*противолежащие стороны равны;
*противоположные углы равны;
*диагонали точкой пересечения делятся пополам;
*сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;
*сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон;
*диагонали равны.
*величина площади прямоугольника равна произведению ширины прямоугольника на его высоту (длину).
*периметр прямоугольника равен удвоенной сумме длин его ширины и высоты.
1. Если три угла четырёхугольника прямые, то этот четырёхугольник является прямоугольником.
2. Если один угол параллелограмма прямой, то этот параллелограмм является прямоугольником.
3. Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.
Четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны, называется трапецией.
Параллельные стороны трапеции называются её основаниями.
Стороны, которые не параллельны, называются боковыми сторонами трапеции.
Есть несколько видов трапеций. Чаще всего рассматриваются прямоугольные и равнобедренные трапеции.
Трапеция, у которой одна боковая сторона перпендикулярна основаниям, называется прямоугольной трапецией.
Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной.
Сумма внутренних углов трапеции (и любого другого четырёхугольника) равна 360°.
Свойство, которое присуще трапеции любого вида:
сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180°.
ромб — это параллелограмм, все стороны которого равны.
Свойства ромба:
Диагонали ромба перпендикулярны.
Диагонали ромба делят его углы пополам.
1. Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то данный параллелограмм является ромбом.
2. Если две смежные стороны параллелограмма равны, то данный параллелограмм является ромбом.
3. Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то данный параллелограмм является ромбом.
4. Если все стороны четырёхугольника равны, то данный четырёхугольник является ромбом.
Параллелограмм — четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Если противоположные стороны четырехугольника попарно параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Если в четырехугольнике диагонали, пересекаясь, точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам
Углы, прилежащие к любой стороне, в сумме равны 180^\circ
Диагонали параллелограмма делят его на два равных треугольника.
сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон

Источник

Диагональ трапеции перпендикулярна стороне и биссектриса

Если диагональ равнобедренной трапеции перпендикулярна ее боковой стороне и диагональ — биссектриса угла трапеции, то что можно сказать о свойствах такой трапеции?

Если диагональ трапеции является биссектрисой ее угла, то боковая сторона трапеции равна одному из оснований трапеции.

Когда диагональ трапеции перпендикулярна боковой стороне, делить пополам тупой угол она не может (если один угол прямой, то и второй должен быть прямым, что невозможно).

Если диагональ равнобедренной трапеции перпендикулярна боковой стороне и делит острый угол трапеции пополам, то

1) диагональ разбивает трапецию на два треугольника: один — равнобедренный, другой — прямоугольный;

2) углы трапеции равны 60º и 120º;

3) большее основание трапеции в два раза больше меньшего основания и её боковых сторон;

Читайте также:  Замена трапеции шкода рапид 2016

4) высота трапеции равна половине её диагонали.

Дано : ABCD- трапеция,

AC — биссектриса ∠BAD.

1) Треугольник ABC — равнобедренный, треугольник ACD — прямоугольный;

2) ∠BAC=60º, ∠ABC=120º;

4) высота трапеции равна половине AC.

то треугольник ACD — прямоугольный.

∠BAC=∠DAC (так как AC — биссектриса ∠BAD по условию).

∠BCA=∠DAC (как внутренние накрест лежащие при AD ∥ BC и секущей AC).

Следовательно, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC (по признаку)

2) Пусть ∠BAC=∠DAC=∠BCA=xº.

Составляем уравнение:x+x+x+90=180, откуда x=30.

Таким образом, ∠BAC=∠DAC=∠BCA=30º, ∠BAD=∠BAC+∠DAC=60º.

∠BAD+∠ABC=180º (как внутренние односторонние при AD ∥ BC и секущей AB), откуда

3) В прямоугольном треугольнике ACD CD — катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, следовательно,

AD=2CD, а так как CD=BC, то AD=2BC.

4) Опустим из вершины C высоту CF,

В прямоугольном треугольнике ACF CF — катет, лежащий напротив угла в 30º. Поэтому

Источник

Если диагонали трапеции перпендикулярны то это ромб

Напомним свойства трапеции, которые часто используются при решении задач. Некоторые из этих свойств были доказаны в заданиях для 9-го класса, другие попробуйте доказать самостоятельно. Приведённые рисунки напоминают ход доказательства.

$$ 4.<1>^<○>$$. Диагонали трапеции разбивают её на четыре треугольника с общей вершиной (рис. 20). Площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам, равны, а треугольники прилежащие к основаниям — подобны.

$$ 4.<2>^<○>$$. В любой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжении боковых сторон, лежат на одной прямой (на рис. 21 точки `M`, `N`, `O` и `K`).

$$ 4.<3>^<○>$$. В равнобокой трапеции углы при основании равны (рис. 22).

$$ 4.<4>^<○>$$. В равнобокой трапеции прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции (рис. 23).

$$ 4.<5>^<○>$$. В равнобокой трапеции диагонали равны (рис. 24).

$$ 4.<6>^<○>$$. В равнобокой трапеции высота, опущенная на большее основание из конца меньшего основания, делит его на два отрезка, один из которых равен полуразности оснований, а другой – их полусумме

(рис. 25, основания равны `a` и `b`, `a>b`).

$$ 4.<7>^<○>$$. Во всякой трапеции середины боковых сторон и середины диагоналей лежат на одной прямой (рис. 26).

$$ 4.<8>^<○>$$. Во всякой трапеции отрезок, соединяющий середины диагоналей, параллелен основаниям и равен полуразности оснований (рис. 27).

$$ 4.<9>^<○>$$.В равнобокой трапеции `d^2=c^2+ab`, где `d` — диагональ, `c` — боковая сторона, `a` и `b` основания.

Во всякой трапеции сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон и удвоенного произведения оснований, т. е. `d_1^2+d_2^2=c_1^2+c_2^2+2*ab`.

$$ 4.<10>^<○>$$. Во всякой трапеции с основаниями `a` и `b` отрезок с концами на боковых сторонах, проходящий через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям, равен `(2ab)/(a+b)` (на рис. 28 отрезок `MN`).

$$ 4.<11>^<○>$$. Трапецию можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая.

Читайте также:  291 постройте равнобедренный треугольник

Докажем, например, утверждение $$ 4.<9>^<○>$$ .

Применяем теорему косинусов (см. рис. 29а и б):

`ul(DeltaACD):` `d_1^2=a^2+c_2^2-2a*c_2*cos varphi`,

`ul(DeltaBCD):` `d_2^2=b^2+c_2^2+2b*c_2*cos varphi` (т. к. `cos(180^@-varphi)=-cos varphi`).

Проводим `CK«|\|«BA` (рис. 29в), рассматриваем треугольник `ul(KCD):` `c_1^2=c_2^2+(a-b)^2-2c_2*(a-b)*cos varphi`. Используя последнее равенство, заменяем выражение в скобках в (2), получаем:

`d_1^2+d_2^2=c_1^2+c_2^2+2ab`.

В случае равнобокой трапеции `d_1=d_2`, `c_1=c_2=c`, поэтому получаем

Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен `5`, одна из диагоналей равна `6`. Найти площадь трапеции, если её диагонали перпендикулярны.

`AC=6`, `BM=MC`, `AN=ND`, `MN=5` (рис. 30а). Во всякой трапеции середины оснований и точка пересечения диагоналей лежат на од-ной прямой (свойство $$ 4.<2>^<○>$$). Треугольник `BOC` прямоугольный (по условию `AC_|_BD`), `OM` — его медиана, проведённая из вершины прямого угла, она равна половине гипотенузы: `OM=1/2BC`. Аналогично устанавливается `ON=1/2AD`, поэтому `MN=1/2(BC+AD)`. Через точку `D` проведём прямую, параллельную диагонали `AC`, пусть `K` — её точка пересечения с прямой `BC` (рис. 30б).

По построению `ACKD` — параллелограмм, `DK=AC`, `CK=AD` и `/_BDK=90^@`

(т. к. угол `BDK` — это угол между диагоналями трапеции).

Прямоугольный треугольник `ul(BDK)` с гипотенузой `BK=BC+AD=2MN=10` и катетом `DK=6` имеет площадь `S=1/2DK*BD=1/2DKsqrt(BK^2-DK^2)=24`. Но площадь треугольника `BDK` равна площади трапеции, т. к. если `DP_|_BK`, то

Диагонали трапеции, пересекаясь, разбивают её на четыре треугольника с общей вершиной. Найти площадь трапеции, если площади треугольников, прилежащих к основаниям, равны `S_1` и `S_2`.

Пусть `BC=a`, `AD=b`, и пусть `h` — высота трапеции (рис. 31). По свойству $$ 4.<1>^<○>$$ `S_(ABO)=S_(CDO)`, обозначим эту площадь `S_0` (действительно, `S_(ABD)=S_(ACD)`, т. к. у них общие основания и равные высоты, т. е. `S_(AOB)+S_(AOD)=S_(COD)+S_(AOD)`, откуда следует `S_(AOB)=S_(COD)`). Так как `S_(ABC)=S_0 + S_1=1/2ah` и `S_(ACD)=S_0+S_2=1/2bh`, то `(S_0+S_1)/(S_0 + S_2)=a/b`.

Далее, треугольники `BOC` и `DOA` подобны, площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон, значит, `(S_1)/(S_2)=(a/b)^2`. Таким образом, `(S_0+S_1)/(S_0+S_2)=sqrt((S_1)/(S_2))`.Отсюда находим `S_0=sqrt(S_1S_2)`, и поэтому площадь трапеции будет равна

Основания равнобокой трапеции равны `8` и `10`, высота трапеции равна `3` (рис. 32).

Найти радиус окружности, описанной около этой трапеции.

Трапеция равнобокая, по свойству $$ 4.<11>^<○>$$ около этой трапеции можно описать окружность. Пусть `BK_|_AD`, по свойству $$ 4.<6>^<○>$$

Из прямоугольного треугольника `ABK` находим `AB=sqrt(1+9)=sqrt(10)` и `sinA=(BK)/(AB)=3/(sqrt10)`. Окружность, описанная около трапеции `ABCD`, описана и около треугольника `ABD`, значит (формула (1), § 1), `R=(BD)/(2sinA)`. Отрезок `BD` находим из прямоугольного треугольника `KDB:` `BD=sqrt(BK^2+KD^2)=3sqrt(10)` (или по формуле `d^2=c^2+ab`), тогда

$$ 4.<12>^<○>$$. Площадь трапеции равна площади треугольника, две стороны которого равны диагоналям трапеции, а третья равна сумме оснований.

$$ 4.<13>^<○>$$. Если `S_1` и `S_2` — площади треугольников, прилежащих к основаниям, то площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам равны `sqrt(S_1S_2)`, а площадь всей трапеции равна `(sqrt(S_1) +sqrt(S_2))^2`.

$$ 4.<14>^<○>$$. Радиус окружности, описанной около трапеции, находится по формуле `R+a/(2sin alpha)`, где `a` — какая-то сторона (или диагональ трапеции), `alpha` — смотрящий на неё вписанный угол.

Источник

Поделиться с друзьями
Объясняем