Если четырехугольник параллелограмм то два его противоположных угла равны

Как доказать, что четырехугольник является параллелограммом?

Согласно определению,геометрическая фигура параллелограмм является четырехугольником с попарно параллельными противоположными сторонами и равными противолежащими углами. Доказать, что фигура параллелограмм позволяет как определение, так и ее признаки. Применяя на практике эти свойства, можно решать геометрические задачи разной сложности.

Определение параллелограмма

Четырехугольник является параллелограммом с параллельными противоположными сторонами. Эта фигура имеет по 2 тупых и острых угла, произвольную величину которых определяют при решении задач. Для этого используют не только признаки параллелограмма или треугольника, но и таблицу синусов с косинусами.

Квадрат, прямоугольник и ромб — это параллелограммы, обладающие общими свойствами. Фигура, у которой диагонали совпадают с биссектрисами, является ромбом. Согласно определению, прямоугольник — это четырехугольник, имеющий все прямые углы. Если стороны этой фигуры равны между собой, то прямоугольник является квадратом.

Параллелограмм — геометрическая фигура с равными противоположными сторонами. Если каждую из них возвести в квадрат и сложить их между собой, то полученная величина будет равна сумме квадратов диагоналей, проведенных через противоположные вершины углов фигуры. Диагонали этого четырехугольника пересекаются в точке, определить которую позволяют прямоугольные координаты.

Свойства фигуры

Зная различные свойства четырехугольников, можно решать простые и сложные задачи по геометрии, начиная с определения периметра, заканчивая нахождением координаты вершины параллелограмма. Для решения задач используют 7 основных свойств параллелограмма, учитывая что его стороны попарно образуют:

  • смежные углы, сумма которых составляет 180 градусов;
  • равные отрезки;
  • одинаковые по величине противоположные углы;
  • четырехугольник, сумма углов которого равна 360 градусов;
  • фигуру, диагонали которой пересекаются в точке, разделяющей их на 2 равных отрезка;
  • равнобедренный треугольник, одна из сторон которого является биссектрисой фигуры;
  • симметричные фигуры, дополняемые линией, проходящей через точку пересечения диагоналей.

Доказать последнее свойство позволяет II признак равенства треугольников. Известен отрезок, принадлежащий линии, проведенной через точку, в которой пересекаются диагонали. В четырехугольнике КМРТ он обозначен НП. Отсюда следует равенство треугольников КОП и НОР, поэтому НО=ОП.

Сумма смежных углов параллелограмма составляет 180 градусов, поскольку они являются односторонними при параллельных прямых. Существует свойство равенства острого угла и образованного высотами тупого угла четырехугольника АВСД. Параллелограмм имеет смежные углы А и Д, а высоты ВМ и ВН проведены из вершины В, поэтому угол МВН в сумме с Д равен 180 градусам.

Доказательство равенства противолежащих сторон и углов фигуры заключается в следующем. Например, диагонали ABCD делят фигуру на 2 равных треугольника, имеющих общую сторону в виде диагонали BD. При этом углы ADВ и ABC при противолежащих вершинах A и C являются накрест лежащими.

Параллелограмм состоит из равных треугольников ABD, BCD и ABC, ACD, образуемых диагоналями AC и ВD, значит AB=CD и AD=BC. Отсюда углы при вершинах A и C, В и D имеют одинаковую величину.

Свойства можно представить в виде формул для решения уравнений и примеров, а также доказать теоретически. Их следует запомнить, чтобы правильно применять на практике. Для решения более сложных задач по геометрии следует доказать основные свойства фигуры.

Основные признаки

Существует 5 признаков параллелограмма, доказательство которых основано на свойствах прямых и образованных ими углов либо фигур. Выпуклый четырехугольник, вершины которого обозначены МНКП, имеет диагонали МП и НК. Признаки того, что фигура МНКП представляет собой параллелограмм, следующие:

  • попарное равенство противоположных сторон: МН=КП и НК=МП;
  • попарное равенство противоположных углов: МНК=КПМ и НКП=НМП;
  • равенство и параллельность противоположных сторон: МН=КП и МН||КП;
  • пересечение диагоналей в точке, которая делит их пополам;
  • МН2 + КП2 = МН2 + НК2 + КП2 + МП2
Читайте также:  Алгоритм брезенхема для рисования окружностей

Если четырехугольник имеет 2 равные и параллельные стороны, то он представляет собой параллелограмм. Четырехугольник MNPK имеет параллельные и равные MN и KP, отсюда следует доказательство I признака:

  • Если провести диагональ MP, то она образует треугольники MNP и MPK.
  • Фигуры имеют общую сторону MP, а MN=KP по условию.
  • Поскольку прямая MP пересекает параллельные прямые MN и PK, то образуемые этими прямыми накрест лежащие углы равны.
  • Параллельность других сторон MK и NP при диагонали MP основана на равенстве накрест лежащих углов, поэтому четырехугольник MNPK — параллелограмм.

    Если четырехугольник имеет противоположные стороны, которые равны попарно, то он является параллелограммом. Перед тем как доказать, что фигура является параллелограммом, следует провести диагонали. Пошаговое доказательство II признака:

    Доказать деление точкой пересечения каждой из диагоналей фигуры АМКД на равные отрезки позволяет II признак равенства треугольников. При этом AОД и КОМ равны. Следовательно, AО=КО и АО=ДО.

    Согласно III признаку, четырехугольник, диагонали которого пересекаются, а точка пересечения делит их пополам, представляет собой параллелограмм. В четырехугольнике MNPQ она обозначена буквой К. Поскольку в ней пересекаются диагонали MP и NQ, то образуемые ими треугольники MNК и КPQ равны по I признаку. Это следует из равенства вертикальных углов MКN и PКQ, а также MК и NК, КP и КQ, которые равны по условию.

    В треугольниках MNК и КPQ стороны MN и PQ равны между собой. Углы NMК и КPQ равны как накрест лежащие при MN и PQ и секущей MP. Отсюда следует, что прямые MN||PQ. Итак, четырехугольник MNPQ — это параллелограмм по I признаку, поскольку MN и PQ равны и параллельны.

    Пошаговое доказательство

    Перед тем как доказать, что четырехугольник параллелограмм, нужно провести высоты треугольников МНК и МПК, пересекающие МК в точках О и С. По данным задачи, МНК, МПК и НПК имеют одинаковые площади. Доказательство параллельности МК и НП состоит из следующих шагов:

    Чтобы доказать, что МН и ПК параллельны, нужно опустить из вершин треугольников МНК и НКП высоты Н и П, которые пересекут прямую ПК в точках Р и Т. По построению НР=ПТ, а по указанному условию площади треугольников МНК и НПК совпадают. Сторона МН параллельна ПК, следовательно, МНПК — параллелограмм. Итак, порядок доказательства параллельности МН и ПК аналогичен с доказательством, что МК и НП параллельны.

    Доказательство признака образования равнобедренного треугольника и трапеции при пересечении противолежащей стороны параллелограмма биссектрисой АМ одного из углов состоит из следующих утверждений:

    Зная, как доказать, что фигура параллелограмм, если известно, что 2 из его сторон равны и параллельны, можно использовать I признак равенства для доказательства другого. Согласно II признаку, стороны параллелограмма попарно равны между собой.

    Источник

    Параллелограмм. Свойства и признаки параллелограмма

    Определение параллелограмма

    Параллелограмм – четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

    Свойства параллелограмма

    1. Противоположные стороны параллелограмма попарно равны

    2. Противоположные углы параллелограмма попарно равны

    3. Сумма смежных (соседних) углов параллелограмма равна 180 градусов

    4. Сумма всех углов равна 360°

    5. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам

    Читайте также:  Как решить систему уравнения окружности

    6. Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма

    7. Диагонали параллелограмма и стороны
    связаны следующим соотношением:

    8. Биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник

    Признаки параллелограмма

    Четырехугольник является параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

    1. Противоположные стороны попарно равны:

    2. Противоположные углы попарно равны:

    3. Диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам

    4. Противоположные стороны равны и параллельны:

    5.

    Небольшой видеоролик о свойствах параллелограмма (в том числе ромба, прямоугольника, квадрата) и о том, как эти свойства применяются в задачах:


    Формулы площади параллелограмма смотрите здесь.

    Хорошую подборку задач на нахождение углов и длин в параллелограмме смотрите здесь.

    Источник

    Параллелограмм: свойства и признаки

    О чем эта статья:

    Определение параллелограмма

    Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны. Как выглядит параллелограмм:

    Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.

    Диагонали — отрезки, которые соединяют противоположные вершины.

    Свойства диагоналей параллелограмма:

    1. В параллелограмме точка пересечения диагоналей делит их пополам.
    2. Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
    3. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон.

    Биссектриса угла параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.

    Свойства биссектрисы параллелограмма:

    1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
    2. Биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма пересекаются под прямым углом.
    3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.

    Как найти площадь параллелограмма:

    1. S = a × h, где a — сторона, h — высота.
    2. S = a × b × sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними. Для ромба формула примет вид S = a 2 × sinα.
    3. Для ромба: S = 0,5 × (d1 × d2), где d1 и d2 — две диагонали.
      Для параллелограмма: S = 0,5 × (d1 × d2) × sinβ, где β — угол между диагоналями.

    Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.

    P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.

    У нас есть отличные дополнительные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

    Свойства параллелограмма

    Геометрическая фигура — это любое множество точек. У каждой фигуры есть свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.

    Рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем чему равна сумма углов параллелограмма и другие особенности этой фигуры. Вот они:

    1. Противоположные стороны параллелограмма равны.
      ABCD — параллелограмм, значит, AB = DC, BC = AD.
    2. Противоположные углы параллелограмма равны.
      ABCD — параллелограмм, значит, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D.
    3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
      ABCD — параллелограмм, AC и BD — диагонали, AC∩BD=O, значит, BO = OD, AO = OC.
    4. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
      ABCD — параллелограмм, AC — диагональ, значит, △ABC = △CDA.
    5. Сумма углов в параллелограмме, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусам.
      ABCD — параллелограмм, значит, ∠A + ∠D = 180°.
    6. В параллелограмме диагонали d1, d2 и стороны a, b связаны следующим соотношением: d1 2 + d2 2 = 2 × (a 2 + b 2 ).

    А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.

    Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

    В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.

    Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:

    Читайте также:  Прямоугольное блюдо для сервировки для чего

    1. AB = CD как противоположные стороны параллелограмма.
    2. ∠1 = ∠2 как накрест лежащие углы при пересечении секущей AC параллельных прямых AB и CD; ∠3 = ∠4 как накрест лежащие углы при пересечении секущей BD параллельных прямых AB и CD.
    3. Следовательно, треугольник AOB равен треугольнику COD по второму признаку равенства треугольников, то есть по стороне и прилежащим к ней углам, из чего следует:
      • CO = AO
      • BO = DO

    Теорема доказана. Наше предположение верно.

    Признаки параллелограмма

    Признаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.

    Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

    Докажем 1 признак параллелограмма:

    Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

    • AB || CD
    • AB = CD

    Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.

    Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.

    Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:

    1. AC — общая сторона;
    2. По условию AB = CD;
    3. ∠1 = ∠2 как внутренние накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей АС.

    Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:

    Эти углы тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых CB и AD. А это как раз и есть признак параллельности прямых. Значит, CB || AD и ABCD — параллелограмм.

    Вот так быстро мы доказали первый признак.

    Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

    Докажем 2 признак параллелограмма:

    Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

    • AB = CD
    • BC = AD

    Шаг 2. Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники ABC и CDA:

    • AC — общая сторона;
    • AB = CD по условию;
    • BC = AD по условию.

    Из этого следует, что треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.

    Шаг 3. Из равенства треугольников следует:

    А так как эти углы — накрест лежащие при сторонах BC и AD и диагонали AC, значит, стороны BC и AD параллельны.

    Эти углы — накрест лежащие при сторонах AB и CD и секущей AC. Поэтому стороны AB и CD тоже параллельны. Значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.

    Доказали второй признак.

    Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

    Докажем 3 признак параллелограмма:

    Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:

    • CO = OA;
    • DO = BO;
    • углы между ними равны, как вертикальные, то есть угол AOB равен углу COD.

    Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.

    Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству накрест лежащих углов: ∠1 = ∠2 (следует из равенства треугольников AOB и COD).

    Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. Что и требовалось доказать.

    Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — признаки. Так как они совпадают, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все-таки связано с параллельностью противоположных сторон.

    Источник

  • Поделиться с друзьями
    Объясняем