Трапеция. Свойства трапеции
Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).
Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны .
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной .
Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции .
Свойства трапеции
1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.
3. Треугольники 
и 
, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.
Коэффициент подобия – 
Отношение площадей этих треугольников есть 
.
4. Треугольники 
и 
, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.
5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.
6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.
7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.
Свойства и признаки равнобедренной трапеции
1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.
2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.
3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.
4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.
5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.
Вписанная окружность
Если в трапецию вписана окружность с радиусом 
и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — 
и 
, то 
Площадь
или 
где 
– средняя линия
Смотрите хорошую подборку задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.
Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:
Источник
Узнать ещё
Знание — сила. Познавательная информация
Биссектрисы трапеции
Рассмотрим некоторые задачи, в которых биссектрисы углов трапеции пересекаются.
I. Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются.
1)∠ ABC+ ∠ BAD=180 º (как внутренние односторонние при AD ∥ BC и секущей AB).
2) ∠ ABK+ ∠ KAB=( ∠ ABC+ ∠ BAD):2=90 º (так как биссектрисы делят углы пополам).
3) Так как сумма углов треугольника равна 180 º , в треугольнике ABK имеем: ∠ ABK+ ∠ KAB+ ∠ AKB=180 º , отсюда ∠ AKB=180-90=90 º .
Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под прямым углом.
Это утверждение, в частности, применяется при решении базовой задачи на трапецию, в которую вписана окружность.
Пусть биссектриса угла ABC пересекает сторону AD в точке S. Тогда треугольник ABS — равнобедренный с основанием BS (доказательство можно посмотреть здесь). Значит, его биссектриса AK является также медианой, то есть точка K — середина BS.
Если M и N — середины боковых сторон трапеции, то MN — средняя линия трапеции и MN ∥ AD.
Так как M и K — середины AB и BS, то MK — средняя линия треугольника ABS и MK ∥ AS.
Поскольку через точку M можно провести лишь одну прямую, параллельную данной, точка K лежит на средней линии трапеции.
Точка пересечения биссектрис трапеции, прилежащих к боковой стороне, лежит на средней линии трапеции.
II. Точка пересечения биссектрис острых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию.
В этом случае треугольники ABK и DCK — равнобедренные с основаниями AK и DK соответственно.
Таким образом, BC=BK+KC=AB+CD.
Если биссектрисы острых углов трапеции пересекаются в точке, принадлежащей меньшему основанию, то меньшее основание равно сумме боковых сторон трапеции.
В частности, у равнобедренной трапеции в этом случае меньшее основание в два раза больше боковой стороны.
III.Точка пересечения биссектрис тупых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию.
В этом случае треугольники ABF и DCF — равнобедренные с основаниями BF и CF соответственно.
Отсюда AD=AF+FD=AB+CD.
Если биссектрисы тупых углов трапеции пересекаются в точке, принадлежащей большему основанию, то большее основание равно сумме боковых сторон трапеции.
У равнобедренной трапеции в этом случае большее основание в два раза больше боковой стороны.
Источник
Узнать ещё
Знание — сила. Познавательная информация
Биссектриса угла трапеции
Рассмотрим задачи, в которых биссектриса угла трапеции делит противоположное основание на отрезки.
Мы уже имели дело с похожей задачей на биссектрису угла параллелограмма, а также рассматривали частный случай для трапеции (когда основание трапеции равно ее боковой стороне, биссектриса трапеции совпадает с ее диагональю).
I. Биссектриса острого угла при большем основании трапеции делит другое основание на отрезки.
1) ∠ BAF= ∠ DAF (так как AF — биссектриса ∠ BAD по условию).
2) ∠ DAF= ∠ BFA (как внутренние накрест лежащие при AD ∥ BC и секущей AF).
3) Следовательно, ∠ BAF= ∠ BFA.
4) Следовательно, треугольник ABF — равнобедренный с основанием AF (по признаку равнобедренного треугольника).
5) Следовательно, AB=BF.
II. Биссектриса тупого угла при меньшем основании трапеции делит другое основание на отрезки.
Аналогично доказывается, что треугольник ABP — равнобедренный:
1) ∠ ABP= ∠ CBP (так как BP — биссектриса ∠ ABC по условию).
2) ∠ CBP= ∠ APB (как внутренние накрест лежащие при AD ∥ BC и секущей BP).
3) Следовательно, ∠ ABP= ∠ APB.
4) Следовательно, треугольник ABP — равнобедренный с основанием BP (по признаку равнобедренного треугольника).
5) Следовательно, AB=AP.
Вывод: в этом случае
биссектриса угла трапеции отсекает от нее равнобедренный треугольник.
Эта задачи — базовые. На их основе существует много других задач.
В следующий раз рассмотрим задачи на пересечение двух биссектрис трапеции.
Источник
Диагональ трапеции перпендикулярна стороне и биссектриса
Если диагональ равнобедренной трапеции перпендикулярна ее боковой стороне и диагональ — биссектриса угла трапеции, то что можно сказать о свойствах такой трапеции?
Если диагональ трапеции является биссектрисой ее угла, то боковая сторона трапеции равна одному из оснований трапеции.
Когда диагональ трапеции перпендикулярна боковой стороне, делить пополам тупой угол она не может (если один угол прямой, то и второй должен быть прямым, что невозможно).
Если диагональ равнобедренной трапеции перпендикулярна боковой стороне и делит острый угол трапеции пополам, то
1) диагональ разбивает трапецию на два треугольника: один — равнобедренный, другой — прямоугольный;
2) углы трапеции равны 60º и 120º;
3) большее основание трапеции в два раза больше меньшего основания и её боковых сторон;
4) высота трапеции равна половине её диагонали.
Дано : ABCD- трапеция,
AC — биссектриса ∠BAD.
1) Треугольник ABC — равнобедренный, треугольник ACD — прямоугольный;
2) ∠BAC=60º, ∠ABC=120º;
4) высота трапеции равна половине AC.
то треугольник ACD — прямоугольный.
∠BAC=∠DAC (так как AC — биссектриса ∠BAD по условию).
∠BCA=∠DAC (как внутренние накрест лежащие при AD ∥ BC и секущей AC).
Следовательно, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC (по признаку)
2) Пусть ∠BAC=∠DAC=∠BCA=xº.
Составляем уравнение:x+x+x+90=180, откуда x=30.
Таким образом, ∠BAC=∠DAC=∠BCA=30º, ∠BAD=∠BAC+∠DAC=60º.
∠BAD+∠ABC=180º (как внутренние односторонние при AD ∥ BC и секущей AB), откуда
3) В прямоугольном треугольнике ACD CD — катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, следовательно,
AD=2CD, а так как CD=BC, то AD=2BC.
4) Опустим из вершины C высоту CF,
В прямоугольном треугольнике ACF CF — катет, лежащий напротив угла в 30º. Поэтому
Источник