Егэ по математике вписанная окружность
Точки A, B, C, расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные величины которых относятся как 1 : 3 : 5. Найдите больший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах.
Пусть меньшая часть окружности равна x, тогда
Больший угол опирается на большую дугу; вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Следовательно, искомый угол равен половине от 5 · 40° или 100°.
Если нужно найти больший угол, то это развёрнутый угол по окружности от А до С. И он по любому больше 180 градусов. Считая по пропорции я вычислил, что он равен 200 градусам.
Вы нашли градусную меру большей дуги, а нужен был больший угол треугольника.
А угол треугольника «по любому больше 180 градусов» не бывает
Почему мы умножаем на дугу АС, если угол АВС лежил на дуге АВ+дуга ВС это получается не 5х, а 4 х, т.к. х+3Х=4Х.
Повторите, что значит «угол опирается на дугу».
Плоский угол, опирающийся на диаметр окружности, — прямой.
А угол B именно таким и является.
Данный угол не опирается на диаметр окружности.
Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 58°. Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
Cумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна 180°, поэтому
Приведём другое решение.
Угол A вписанный и опирается на дугу BCD, следовательно, он равен половине дуги BCD, значит, градусная мера дуги BCD равна 116°. Градусная мера дуги BAD равна Угол C вписанный и опирается на дугу BAD, следовательно, он равен половине дуги BAD, то есть 122°.
Стороны четырехугольника ABCD AB, BC, CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 
Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, значит
Источник
Егэ по математике вписанная окружность
Точки A, B, C, расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные величины которых относятся как 1 : 3 : 5. Найдите больший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах.
Пусть меньшая часть окружности равна x, тогда
Больший угол опирается на большую дугу; вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Следовательно, искомый угол равен половине от 5 · 40° или 100°.
Если нужно найти больший угол, то это развёрнутый угол по окружности от А до С. И он по любому больше 180 градусов. Считая по пропорции я вычислил, что он равен 200 градусам.
Вы нашли градусную меру большей дуги, а нужен был больший угол треугольника.
А угол треугольника «по любому больше 180 градусов» не бывает
Почему мы умножаем на дугу АС, если угол АВС лежил на дуге АВ+дуга ВС это получается не 5х, а 4 х, т.к. х+3Х=4Х.
Повторите, что значит «угол опирается на дугу».
Плоский угол, опирающийся на диаметр окружности, — прямой.
А угол B именно таким и является.
Данный угол не опирается на диаметр окружности.
Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 58°. Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
Cумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна 180°, поэтому
Приведём другое решение.
Угол A вписанный и опирается на дугу BCD, следовательно, он равен половине дуги BCD, значит, градусная мера дуги BCD равна 116°. Градусная мера дуги BAD равна Угол C вписанный и опирается на дугу BAD, следовательно, он равен половине дуги BAD, то есть 122°.
Стороны четырехугольника ABCD AB, BC, CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, значит
Источник
Егэ по математике вписанная окружность
Периметр треугольника равен 12, а радиус вписанной окружности равен 1. Найдите площадь этого треугольника.
Площадь треугольника равна 24, а радиус вписанной окружности равен 2. Найдите периметр этого треугольника.
Около окружности, радиус которой равен 3, описан многоугольник, периметр которого равен 20. Найдите его площадь.
Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна 6.
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 6. Найдите высоту этого треугольника.
Сторона правильного треугольника равна 
Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 
Найдите сторону этого треугольника.
Сторона ромба равна 1, острый угол равен 
Найдите радиус вписанной окружности этого ромба.
Острый угол ромба равен 30°. Радиус вписанной в этот ромб окружности равен 2. Найдите сторону ромба.
Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен
Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной
Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 
Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
В треугольнике ABC стороны AC = 4, BC = 3, угол C равен 90°. Найдите радиус вписанной окружности.
Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5, основание равно 6. Найдите радиус вписанной окружности.
Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 5 и 3, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.
Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 3 и 5. Найдите среднюю линию трапеции.
Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 40. Найдите длину её средней линии.
Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 22, ее большая боковая сторона равна 7. Найдите радиус окружности.
В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB = 10, CD = 16. Найдите периметр четырехугольника ABCD.
Периметр четырехугольника, описанного около окружности, равен 24, две его стороны равны 5 и 6. Найдите большую из оставшихся сторон.
В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB = 10, BC = 11 и CD = 15. Найдите четвертую сторону четырехугольника.
К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 6, 8, 10. Найдите периметр данного треугольника.
Найдите радиус r окружности, вписанной в четырехугольник 
Считайте, что стороны квадратных клеток равны 1. В ответе укажите 
Источник
Егэ по математике вписанная окружность
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 6. Найдите высоту этого треугольника.
значит, 
Приведем другое решение.
Высота правильного треугольника равна 3 радиусам вписанной окружности, поэтому она равна 18.
Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60°, большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.
Окружность, описанная вокруг трапеции, описана и вокруг треугольника 
Это треугольник равнобедренный, угол при вершине равен 120°, углы при основании равны 30°. Найдем его боковую сторону:
откуда 
Тогда по теореме синусов:
Приведем другое решение (Р. А., СПб.).
Хорды AD, DC и CB равны, поэтому равны и стягиваемые ими дуги. Вписанный угол А равен 60°, он опирается на две из этих дуг и равен половине их суммы. Поэтому каждая из дуг равна 60°, их сумма равна 180°, а хорда АВ является диаметром. Отсюда получаем, что искомый радиус равен 6.
Источник
Егэ по математике вписанная окружность
Периметр треугольника равен 12, а радиус вписанной окружности равен 1. Найдите площадь этого треугольника.
Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности:
Площадь треугольника равна 24, а радиус вписанной окружности равен 2. Найдите периметр этого треугольника.
Из формулы 
где p — полупериметр, находим, что периметр описанного многоугольника равен отношению удвоенной площади к радиусу вписанной окружности:
Площадь треугольника равна 54, а его периметр 36. Найдите радиус вписанной окружности.
Площадь треугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности, поэтому
Сторона правильного треугольника равна Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади к полупериметру:
Другой способ решения состоит в использовании формулы, выражающей радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник через его сторону: 
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен Найдите сторону этого треугольника.
Известно, что 
а по условию 
Поэтому длина стороны треугольника 
Источник