Егэ параметры уравнение окружности

Задачи с параметрами на ЕГЭ-2022: модули, окружности, квадратные уравнения

Какими были задачи с параметрами на ЕГЭ-2022? На этой странице — обзор всех типов задач №17, предложенных на ЕГЭ по математике в этом году, с полным решением и оформлением.

Напомним, что «параметры» — одна из дорогостоящих задач ЕГЭ. Она оценивается в 4 первичных балла.

Основной темой задач с параметрами на ЕГЭ этого года были модули.

Если вы не помните, что такое модуль числа, — вам сюда.

Способы решения — разные. В одних задачах удобнее графический способ, в других — аналитический.

Мы начнем с тех задач, которые решаются графическим способом. В первых трех, которые мы здесь разбираем, нам встретится уравнение окружности.

Почитать о нем подробно можно здесь.

1. При каких значениях параметра уравнение имеет ровно 4 решения?

Вспомним, как решать уравнения вида

Поэтому исходное уравнение равносильно системе:

Изобразим решения системы в координатах

Уравнение задает окружность с центром и радиусом 5; уравнение задает окружность с центром и радиусом ; при этом должно выполняться условие

Заметим, что обе окружности проходят через точки и

Найдем, при каких значениях параметра исходное уравнение имеет ровно 4 решения.

При прямая проходит через точку общую для двух окружностей; уравнение имеет ровно 3 решения.

Если прямая проходит через точку (нижнюю точку окружности ), уравнение также имеет 3 решения.

При этом поскольку разность ординат точек Q и A равна то есть радиусу окружности

При уравнение имеет 4 решения.

Если решений меньше 4.

Если уравнение имеет ровно 3 решения, т.к. точка O(0; 0) общая для обеих окружностей.

Если прямая проходит через B — верхнюю точку окружности уравнение имеет ровно 3 решения.

При уравнение имеет ровно 4 решения.

Если решений меньше, чем 4.

Объединив случаи, получим ответ.

2. При каких значениях параметра a уравнение имеет ровно 2 решения?

Раскроем модуль по определению.

Уравнение (1) задает окружность с центром в точке Р (4; 3) и радиусом 5,

уравнение (2) задает окружность с центром в точке Q(-3; 4) и радиусом 5.

Изобразим график совокупности двух систем в системе координат (x;a).

При получаем часть окружности (1), лежащую ниже прямой a = 7x;

при получаем часть окружности (2), лежащую выше прямой a = 7x.

Исходное уравнение имеет ровно два различных решения, если прямая пересекает график совокупности двух систем ровно два раза.

Прямая проходящая через точку С, пересекает график совокупности двух систем один раз.

Найдем координаты С — самой нижней точки и Е — самой верхней точки правой окружности:

Для этих точек x = 4. Найдем координату a:

Координаты точек С (4; и Е (4; 8).

Найдем координаты D — самой нижней точки и F — самой верхней точки левой окружности

Для этих точек x = — 3, найдем координату a.

Координаты точек: D ( 3; 1), F( 3; 9).

Точки А и В, в которых пересекаются две окружности, лежат на прямой

a = 7x (так как при a = 7x выражение под модулем равно нулю).

Подставив a = 7x в уравнение окружности (1) получим:

Получили точки В (0; 0) и А (1; 7).

Прямая пересекает график совокупности двух систем ровно два раза в следующих случаях:

1) если прямая проходит выше точки С, но ниже точки D:

2) если прямая проходит выше точки В, но ниже точки А:

3) если прямая проходит выше точки Е, но ниже точки F:

Если или то решений нет.

Если или a = 9, уравнение имеет ровно одно решение,

Если или a = 8, ровно три решения,

Если или ровно четыре решения. Эти случаи нам не подходят.

3. При каких значениях параметра a уравнение

имеет ровно 2 корня?

Раскрыв модуль, получим:

Решим систему графически в координатах

Прямая — это биссектриса первого и третьего координатных углов,

Неравенство задает полуплоскость, расположенную ниже прямой

Уравнение задает окружность 1 с центром в точке и радиусом

Уравнение задает окружность 2 с центром в точке и радиусом

Заметим, что обе окружности проходят через точки О(0; 0) и М(1; 1). В этом легко убедиться, подставив координаты этих точек в уравнения окружностей.

Исходное уравнение имеет ровно 2 корня, если прямая пересекает совокупность двух окружностей ровно в двух точках, лежащих не выше прямой a = x.

Это происходит в следующих случаях:

1) Прямая проходит выше точки А и ниже точки В на рисунке, где А — нижняя точка окружности 2, В — нижняя точка окружности 1.

2) Прямая проходит выше точки С и ниже точки D на рисунке, где D — верхняя точка окружности 2, С — верхняя точка окружности 1.

3) Прямая проходит выше точки О(0; 0) и ниже точки М(1;1).

Найдем координаты точек А, В, С, D.

Заметим, что в каждом из уравнений присутствовало выражение — как в уравнении окружности. Именно поэтому становилось понятно, что их можно решить графически в координатах x; a.

Теперь — следующий тип задач. Здесь окружностей уже не будет. Зато будет разложение на множители.

4. При каких значениях параметра уравнение

имеет ровно 4 решения?

Раскроем модуль. Уравнение равносильно совокупности двух систем:

Упростим по очереди каждую из них.

Найдем дискриминант и корни этого квадратного уравнения.

В этом случае также найдем дискриминант и корни квадратного уравнения.

Решим совокупность двух систем графически в координатах

Если уравнение имеет меньше 4 решений;

Если также меньше 4 решений.

Если прямая проходит через точку A или точку B, уравнение имеет ровно 3 решения.

В точке A пересекаются прямые и , значит для этой точки

В точке B пересекаются прямые и , то для точки B:
.
Уравнение имеет ровно 4 решения, если или или .

Следующие две задачи мы решим (для разнообразия) аналитическим способом.

5. При каких значениях параметра уравнение

имеет меньше 4 решений?

Уравнение равносильно совокупности:

Рассмотрим каждый случай отдельно

Каждое из уравнений — квадратное и не может иметь больше 2 корней.

Если уравнение (1) имеет 2 неотрицательных корня, а уравнение (2) имеет 2 отрицательных корня, исходное уравнение имеет ровно 4 решения. Найдем, при каких значениях это происходит, а затем исключим эти значения. Получим случай, когда исходное уравнение имеет менее 4 корней.

Исходное уравнение имеет ровно 4 решения, если уравнение имеет два неотрицательных корня, а уравнение имеет два отрицательных корня.

Источник

Решение задач с окружностями

Найдите все значения \(a\) , при каждом из которых система уравнений \[\begin x(x^2+y^2-2y-8)=|x|\cdot (2y-8)\\ y=x+a \end\]

имеет ровно три решения.

(Задача от подписчиков)

1) Изобразим график первого уравнения.

а) При \(x>0\) уравнение принимает вид: \[x(x^2+y^2-2y-8)=x(2y-8) \quad\Rightarrow\quad x^2+(y-2)^2=4\] Мы получили уравнение окружности (назовем ее \(s\) ) с центром в точке \((0;2)\) и радиусом \(2\) .

б) При \(x=0\) уравнение принимает вид: \[0\cdot (0+y^2-2y-8)=0\cdot (2y-8) \quad\Rightarrow\quad 0=0\] Таким образом, мы получили верное равенство. Следовательно, мы получили множество точек, абсцисса \(x\) которых равна нулю.

в) При \(x уравнение принимает вид: \[x(x^2+y^2-2y-8)=-x(2y-8) \quad\Rightarrow\quad x^2+y^2=16\] Мы получили уравнение окружности (назовем ее \(S\) ) с центром в точке \((0;0)\) и радиусом \(4\) .

2) Уравнение \(y=x+a\) задает множество прямых, параллельных прямой \(y=x\) (это прямые, угол наклона которых к положительному направлению оси \(Ox\) равен \(45^\circ\) ).
Таким образом, получаем такую картинку (голубым цветом изображен график первого уравнения):

3) Для того, чтобы система имела 3 решения, нужно, чтобы при некотором фиксированном \(a\) прямая \(y=x+a\) пересекала “голубой график” ровно в трех точках.
Таким образом, нам подходят следующие случаи:
— когда прямая \(y\) находится между \(I\) и \(II\) (не включая эти случаи). Случай \(I\) – касание прямой \(y\) и окружности \(S\) . Случай \(II\) – прохождение прямой \(y\) через точку пересечения окружности \(S\) и прямой \(x=0\) .
— когда прямая \(y\) находится между \(II\) и \(III\) (не включая \(II\) и включая \(III\) ). Случай \(III\) – прохождение прямой \(y\) через точку пересечения окружности \(s\) и прямой \(x=0\) .
— когда прямая \(y\) находится в положении \(IV\) – касается окружности \(s\) .

Рассмотрим каждый из этих случаев по отдельности.

Между \(I\) и \(II\) .
– Найдем значение \(a\) , при котором прямая \(y\) находится в положении \(I\) . В этом случае \(a>0\) .

Пусть \(A(0;a), \ B(-a;0)\) – точки пересечения \(y\) с осями координат, \(K\) – точка касания. Тогда \(OK\perp AB\) (как радиус, проведенный в точку касания). Длина \(OA=a\) , \(OB=a\) , \(OK=4\) , \(\triangle AOB\) прямоугольный. Тогда \(AB=a\sqrt2\) . Тогда \[S_<\triangle AOB>=\dfrac12 OK\cdot AB=\dfrac12 OB\cdot OA \quad\Rightarrow\quad a=4\sqrt2.\] – Найдем значение \(a\) , при котором прямая \(y\) находится в положении \(II\) . В этом случае \(y\) проходит через точку \((0;4)\) , следовательно, \[4=0+a \quad\Rightarrow\quad a=4\]

Таким образом, нам подходят значения \(a\in (4;4\sqrt2)\) .

Между \(II\) и \(III\) .
– Найдем \(a\) , при котором прямая \(y\) находится в положении \(III\) . В этом случае она проходит через точку \((0;0)\) , то есть \(a=0\) .

Таким образом, нам подходят \(a\in [0;4)\) .

Положение \(IV\) .

В этом случае \(a . Пусть \(Q\) – центр окружности \(s\) , \(P\) – точка касания, \(C\) – точка пересечения \(y\) с осью ординат. Тогда \(\triangle QPC\) – прямоугольный. Ранее мы говорили, что прямая \(y\) наклонена к положительному направлению оси \(Ox\) под углом \(45^\circ\) , откуда будет следовать, что и \(\angle QCP=45^\circ\) . Радиус \(QP=2\) , отрезок \(OC=-a\) (так как \(a ), \(QO=2\) . Следовательно, \[\sin\angle QCP=\sin 45^\circ=\dfrac<\sqrt2>2=\dfrac= \dfrac<2> <2-a>\quad\Rightarrow\quad a=-2\sqrt2+2.\]

Таким образом, обобщая все решение, находим ответ: \[a\in \<-2\sqrt2+2\>\cup[0;4)\cup(4;4\sqrt2).\]

Найдите все значения параметра \(a\) , при каждом из которых система \[\begin (x-2a+3)^2+(y-a)^2=2,25\\ (x+3)^2+(y-a)^2=a^2+2a+1 \end\]

имеет единственное решение.

(Задача от подписчиков)

Оба уравнения системы при \(a\ne -1\) задают окружности: первое уравнение – окружность с центром в точке \(O(2a-3; a)\) и радиуса \(R_1=1,5\) ; второе – окружность с центром в точке \(Q(-3;a)\) и радиуса \(R_1=|a+1|\) .
При \(a=-1\) второе уравнение задает точку \(A(-3;-1)\) , которая не является решением первого уравнения. Следовательно, при \(a=-1\) система не имеет решений, значит, \(a=-1\) – не подходит.

Рассмотрим случай, когда \(a\ne-1\) .
Система будет иметь единственное решение, когда окружности будут касаться друг друга (внутренним или внешним образом). Заметим, что центры обеих окружностей находятся на прямой \(y=a\) . То есть линия центров окружностей параллельна оси абсцисс.

1) Пусть окружности касаются внешним образом в точке \(K\) . Это одна из двух картинок:

Заметим, что, с одной стороны, расстояние между центрами окружностей равно сумме радиусов: \(OQ=|a+1|+1,5\) , а с другой стороны, равно \(|-3-(2a-3)|=2|a|\) . Получаем уравнение: \[|a+1|+1,5=2|a|\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin\begin &\begin a \(K\) . Это также одна из двух картинок (а также симметричные картинки, то есть когда точка касания находится слева):

В этих случаях длина отрезка \(OQ\) , с одной стороны, равна \(|-3-(2a-3)|=2|a|\) , а с другой стороны, она равна разности радиусов: \(\big|1,5-|a+1|\big|\) (ставим модуль, потому что неизвестно, какой радиус больше, то есть как окружность с центром \(O\) может быть вписана в окружность с центром \(Q\) , так и наоборот). Получаем уравнение: \[2|a|=\big|1,5-|a+1|\big| \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin\begin & 2a=|a+1|-1,5\\ &2a=1,5-|a+1| \end\end\right. \quad\Leftrightarrow\quad a=-\dfrac12; \ \dfrac16\]

Найдите все значения параметра \(a\) , при которых система \[\begin (2x^2-4x+3y^2+6y+5)(8-|2x+y|)\leqslant 0\\ x^2-4x+y^2=a \end\]

имеет единственное решение.

(Задача от подписчиков)

1) Преобразуем неравенство системы:

\((2x^2-4x+2+3y^2+6y+3-2-3+5)(8-|2x+y|)\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\)

\(\Leftrightarrow\quad (2(x-1)^2+3(y+1)^2)(8-|2x+y|)\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\)

\(\Leftrightarrow\quad \left[\begin\begin &\begin 2(x-1)^2+3(y+1)^2\leqslant 0\\ 8-|2x+y|\geqslant 0\end\\[2ex] &\begin 2(x-1)^2+3(y+1)^2\geqslant 0\\ 8-|2x+y|\leqslant 0\end \end\end\right.\)

Т.к. сумма квадратов всегда неотрицательна, то данная совокупность равносильна:

Т.к. \(|2x+y|\geqslant 8\) равносильно \(2x+y\geqslant 8\) или \(2x+y\leqslant -8\) , то данная совокупность задает область, состоящую из части плоскости, находящейся не ниже прямой \(y=-2x+8\) , из части плоскости, находящейся не выше прямой \(y=-2x-8\) , а также из точки \((1;-1)\) :

2) Преобразуем уравнение системы: \[x^2-4x+y^2=a\quad\Leftrightarrow\quad x^2-4x+4+y^2=a+4\quad\Leftrightarrow\quad (x-2)^2+y^2=a+4\]

Данное уравнение при \(a+4>0\) задает окружность с центром в точке \(O(2;0)\) и радиусом \(R=\sqrt\) ; при \(a+4=0\) задает точку \((2;0)\) ; при \(a+4 – пустое множество.

Т.к. точка \((2;0)\) не попадает в область, заданную неравенством, то при \(a+4\leqslant 0\) система точно не будет иметь решений.

3) Рассмотрим случай \(a+4>0\) .

Система будет иметь единственное решение тогда и только тогда, когда окружность будет иметь ровно одну общую точку с областью. Это возможно в одном из двух случаев:

(1) Если окружность коснется границы области \(y=-2x+8\) .
Пусть \(P\) – точка касания (то есть \(OP\perp y=-2x+8\) ). Рассмотрим прямоугольный \(\triangle OPQ\) , где \(Q=(4;0)\) – точка пересечения прямой \(y=-2x+8\) с осью абсцисс.

Т.к. угловой коэффициент прямой \(y=-2x+8\) равен \(-2\) , то \(\mathrm\,\angle PQX=-2\) , следовательно, \(\mathrm\,\angle PQO=2\) . Тогда \[\sin \angle PQO=\dfrac<2> <\sqrt5>\quad\Rightarrow\quad \dfrac=\dfrac2 <\sqrt5>\quad \Rightarrow\quad OP=OQ\cdot \dfrac2<\sqrt5>=\dfrac4<\sqrt5>.\]

Т.к. \(OP\) и есть радиус окружности, то \[\dfrac4<\sqrt5>=\sqrt \quad \Rightarrow\quad a=-\dfrac45.\]

(2) Если окружность проходит через точку \((1;-1)\) .
Это значит, что расстояние между точками \(O\) и \((1;-1)\) равно радиусу окружности, следовательно, \[\sqrt=\sqrt<(2-1)^2+(0+1)^2>\quad \Leftrightarrow\quad a=-2.\]

Найдите все значения параметра \(a\) , при которых система \[\begin \left(|x|-3\right)^2+\left(|y|-2\right)^2=1\\ y=ax+1\\xy имеет ровно два решения.

Рассмотрим первое уравнение системы. Оно задает 4 окружности. Действительно, пусть \(x>0, y>0\) . Тогда уравнение примет вид \((x-3)^2+(y-2)^2=1\) – это окружность с центром в точке \(O_1(3;2)\) и \(r=1\) .
Если \(x 0\) , то уравнение примет вид \((x+3)^2+(y-2)^2=1\) – и это уравнение окружности с центром \(O_2(-3;2)\) и \(r=1\) . И т.д.
Таким образом, получаем:

Рассмотрим третье неравенство системы \(xy . Следовательно, либо \(x>0, y , либо \(x 0\) . Таким образом, учитывая это неравенство, остаются только две окружности: в \(IV\) и \(II\) четвертях. Уравнение \(y=ax+1\) задает прямую, у которой неизвестен угловой коэффициент, и которая проходит через точку \((0;1)\) :

Какие у нас могут быть случаи пересечения прямой с этими окружностями так, чтобы в итоге было ровно две точки пересечения?
а) прямая пересекает одну окружность, а вторую – нет;
б) прямая касается обеих окружностей.
Заметим, что так как окружности расположены симметрично относительно начала координат, то для того, чтобы прямая могла одновременно касаться обеих окружностей, она должна проходить через начало координат (то есть она тоже должна быть симметрична относительно начала координат). Наша прямая через начало координат не проходит. Следовательно, она не может касаться обеих окружностей сразу. Значит, случай б) невозможен. Остается только случай а).
Таким образом, нам нужно для начала рассмотреть все ситуации, когда прямая будет касаться какой-то из окружностей.

\((1)\) и \((2)\) – случаи, когда прямая касается второй окружности (будем ее так называть, потому что у нее центр в \(O_2\) ); \((3)\) и \((4)\) – случаи, когда прямая касается четвертой окружности.
Заметим, что эти случаи по возрастанию параметра \(a\) можно упорядочить так: \((4)\rightarrow(1)\rightarrow(3)\rightarrow(2)\) .
Таким образом, нам нужны будут значения параметра, принадлежащие \((a_<4>; a_<1>)\) и \((a_<3>; a_<2>)\) (здесь \(a_\) – значения параметра \(a\) , которое соответствует расположению прямой в случае \((i)\) ).
Значит, найдем \(a_<1>, a_<2>, a_<3>, a_<4>\) .
Найдем значения \(a\) , когда прямая \(y=ax+1\) касается второй окружности: \[\begin (x+3)^2+(y-2)^2=1\\ y=ax+1\end\quad\Rightarrow\quad (a^2+1)x^2+2(3-a)x+9=0\] Так как прямая и окружность касаются, то есть имеют одну точку пересечения, то полученное уравнение должно иметь один корень, следовательно, его дискриминант должен быть равен нулю: \[D=0\quad\Rightarrow\quad a=-\dfrac34; \ 0\] Значит, \(a_2=0; a_1=-\frac34\) .
Аналогично найдем, что \(a_3=\frac<-9+\sqrt<17>>8\) , \(a_4=\frac<-9-\sqrt<17>>8\) .
Следовательно, ответ: \[a\in \left(\dfrac<-9-\sqrt<17>>8; -\dfrac34\right)\cup\left(\dfrac<-9+\sqrt<17>>8; 0\right)\]

Источник