- Нахождение объема пирамиды: формула и задачи
- Формула вычисления объема пирамиды
- 1. Общая формула
- 2. Объем правильной треугольной пирамиды
- 3. Объем правильной четырехугольной пирамиды
- 4. Объем правильной шестиугольной пирамиды
- Примеры задач
- Вычислить объем правильной треугольной пирамиды у которой сторона основания 2 см боковое ребро 3 см
- Формула объема пирамиды
- Элементы пирамиды
- Объем пирамиды через площадь основания и высоту
- Калькулятор объема пирамиды через площадь основания и высоту
- Объём усечённой пирамиды
- Калькулятор объема усечённой пирамиды
- Объём правильной пирамиды
- Калькулятор объёма правильной пирамиды
- Объём правильной треугольной пирамиды
- Калькулятор объёма правильной треугольной пирамиды
- Объём правильной четырёхугольной пирамиды
- Калькулятор объёма правильной четырёхугольной пирамиды
- Объём тетраэдра
- Вычислить объем правильной треугольной пирамиды у которой сторона основания 2 см боковое ребро 3 см
- Источник задания: Решение 2843. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Ответ.
- Pomogite s geometriej.
Нахождение объема пирамиды: формула и задачи
В данной публикации мы рассмотрим, как можно найти объем пирамиды и разберем примеры решения задач для закрепления материала.
Формула вычисления объема пирамиды
1. Общая формула
Объем (V) пирамиды равняется одной третьей произведения ее высоты на площадь основания.
- ABCD – основание;
- E – вершина;
- h – высота, перпендикулярная основанию.
2. Объем правильной треугольной пирамиды
Основанием правильной треугольной пирамиды является равносторонний треугольник (ABC), площадь которого вычисляется так (а – сторона треугольника):
Подставляем данное выражение в формулу расчета объема фигуры и получаем:
3. Объем правильной четырехугольной пирамиды
Основанием правильной четырехугольной пирамиды является квадрат, площадь которого считается так: S = a 2 , где а – длина его стороны.
Следовательно, формулу объема можно представить в виде:
4. Объем правильной шестиугольной пирамиды
Основанием правильной шестиугольной пирамиды является правильный шестиугольник, площадь которого вычисляется по формуле (а – сторона основания):
С учетом этого, объем фигуры считается так:
Примеры задач
Задание 1
Найдите объем правильной треугольной пирамиды, если известно, что ее высота составляет 16 см, а длина стороны ее основания – 8 см.
Решение:
Воспользуемся соответствующей формулой, подставив в нее известные значения:
Задание 2
Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 12 см, а сторона ее основания – 3 см. Найдите объем фигуры.
Решение:
Площадь квадрата, который является основанием пирамиды, равна 9 см 2 (3 см ⋅ 3 см). Следовательно, объем равен:
Источник
Вычислить объем правильной треугольной пирамиды у которой сторона основания 2 см боковое ребро 3 см
Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.
Площадь пирамиды равна
Полупериметр основания p = 20, апофему h найдем по теореме Пифагора: Тогда площадь поверхности пирамиды
Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.
Площадь пирамиды равна
Полупериметр основания p = 20, апофему h найдем по теореме Пифагора: Тогда площадь поверхности пирамиды
Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2, а объем равен
Объем пирамиды равен
где S — площадь основания, а h — высота пирамиды. Найдем площадь равностороннего треугольника, лежащего в основании:
Тогда высота пирамиды равна
В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем.
В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Пусть его центр — точка О, по теореме Пифагора находим тогда длина диагонали основания равна 16. Площадь квадрата равна половине произведения его диагоналей, поэтому она равна 128. Следовательно, для объема пирамиды имеем:
Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. Высота пирамиды равна 6. Найдите объем пирамиды.
Поскольку боковые грани SAB, SDC и SBC наклонены к основанию. под углом 60°, углы A и D в треугольнике ASD и угол G в треугольнике SGH равны 60°.
Поэтому треугольник ASD — равносторонний, а его сторона связана с высотой формулой откуда
Из прямоугольного треугольника SHG находим:
Поскольку ABCD — прямоугольник, его площадь равна произведения сторон:
Источник
Формула объема пирамиды
Пирамида — многогранник, основанием которого является произвольный многоугольник, а все грани представляют собой треугольники с общей вершиной, являющейся вершиной пирамиды.
Элементы пирамиды
Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины (также апофемой называют длину перпендикуляра, опущенного из середины правильного многоугольника на одну из его сторон);
Боковые грани — треугольники, сходящиеся в вершине;
Боковые ребра — общие стороны боковых граней;
Вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания;
Высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра);
Диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания;
Основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.
Объем пирамиды через площадь основания и высоту
Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания S(ABCDEF) на высоту h (OS)
\[ \LARGE V = \frac<1> <3>\cdot S \cdot h \]
где:
V — объем пирамиды
S — площадь основания пирамиды
h — высота пирамиды
Калькулятор объема пирамиды через площадь основания и высоту
Объём усечённой пирамиды
Усеченная пирамида — часть пирамиды между ее основанием и этим сечением. Сечение параллельное основанию пирамиды делит пирамиду на две части.
Объем усеченной пирамиды равен одной трети произведения высоты h (OS) на сумму площадей верхнего основания S1 (abcdef) , нижнего основания усеченной пирамиды S2 (ABCDEF) и средней пропорциональной между ними.
\[ \LARGE V = \frac<1> <3>\cdot h \cdot \left( S_1 + \sqrt
где:
V — объем пирамиды
S1 — площадь верхнего основания усеченной пирамиды
S2 — площадь нижнего основания усеченной пирамиды
h — высота усеченной пирамиды
Калькулятор объема усечённой пирамиды
Объём правильной пирамиды
Правильная пирамида — пирамида, в основани, которой лежит правильный многоугольник, а высота проходит через центр вписанной окружности в основание.
Объем правильной пирамиды равен одной трети произведения площади правильного многоугольника, являющегося основанием S (ABCDEF) на высоту h (OS)
где:
V — объем пирамиды
a — сторона основания пирамиды
n — количество сторон многоугольника в основании
h — высота усеченной пирамиды
Калькулятор объёма правильной пирамиды
Объём правильной треугольной пирамиды
Правильная треугольная пирамида — пирамида, у которой основанием является равносторонний треугольник и грани равные равнобедренные треугольники.
Объем правильной треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади правильного треугольника, являющегося основанием S (ABC) на высоту h (OS)
где:
V — объем пирамиды
a — сторона основания пирамиды
h — высота пирамиды
Калькулятор объёма правильной треугольной пирамиды
Объём правильной четырёхугольной пирамиды
Правильная четырехугольная пирамида — пирамида, у которой основанием является квадрат и грани равные равнобедренные треугольники.
Объем правильной четырехугольной пирамиды равен одной трети произведения площади квадрата, являющегося основанием S (ABCD) на высоту h (OS)
\[ \LARGE V = \frac<1> <3>h \cdot a^2 \]
где:
V — объем пирамиды
a — сторона основания пирамиды
h — высота пирамиды
Калькулятор объёма правильной четырёхугольной пирамиды
Объём тетраэдра
Тетраэдр — пирамида, у которой все грани — равносторонние треугольники.
Объем тетраэдра — равен дроби в числителе которой корень квадратный из двух в знаменателе двенадцать, помноженной на куб длины ребра тетраэдра
где:
V — объем пирамиды
a — сторона основания пирамиды
Источник
Вычислить объем правильной треугольной пирамиды у которой сторона основания 2 см боковое ребро 3 см
Источник задания: Решение 2843. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Ответ.
Задание 8. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 7, а сторона основания равна 10,5. Найдите высоту пирамиды.
У правильной треугольной пирамиды в основании лежит равносторонний треугольник, а высота совпадает с точкой пересечения медиан треугольника. Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1.
Сначала найдем длину медианы AH, она же будет являться высотой треугольника ABC, лежащего в основании (см. рисунок)
Стороны AB и BC равны по , а сторона
, следовательно, из теоремы Пифагора имеем:
Тогда AO будет составлять 2/3 от AH и равна
.
Наконец, высоту пирамиды SO вычислим также по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника AOS, в котором известен катет AO и гипотенуза AS=7, получим:
Источник
Pomogite s geometriej.
1.Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а боковое ребро 4(корень)3 см. Вычислить объём пирамиды.
2.Одно ребро треугольной пирамиды равно 4 см, а остальные — 3 см. Вычислить объём пирамиды.
3.В основании пирамиды лежит прямоугольник. Все боковые рёбра пирамиды равны и образуют со смежными сторогами основапния углы 45 и 60 градусов. Вычислить объём пирамиды,если длина бокового ребра 12 см.
Формула для объёма пирамиды — одна третья на произведение площади основания и высоты.
> 1.Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а боковое ребро 4(корень) 3 см. Вычислить объём пирамиды.
V=Н*S(осн) / 3, где Н-высота пирамиды, S-площадь основания
S(осн) = 1/2*6*6*Sin60* = 18*√3/2 = 9√3
чтобы найти Н надо найти R-радиус описанной окружности
R=авс / 4S, где а в с стороны основания,
R=6*6*6 / 4*9√3 = 2√3
высота пирамиды, радиус описанной окружности и ребро пирамиды образуют прямоугольный треугольник
Н=√(4√3)»-R» = √48-12 = 6
V=6*9√3 / 3 = 18√3
Ответ: объем пирамиды равен 18√3
> 2.Одно ребро треугольной пирамиды равно 4 см, а остальные — 3 см. Вычислить объём пирамиды.
основание имеет стороны 3,3,4
h(осн) = √9-4=√5
S(осн) = 1/2*√5*4=2√5
Н-высота пирамиды
Н=3√11 / 2√5
V=3√11*2√5 / 2√5*3=√11
Ответ: объем пирамиды равен √11
> 3.В основании пирамиды лежит прямоугольник. Все боковые рёбра пирамиды равны и образуют со смежными сторогами основапния углы 45 и 60 градусов. Вычислить объём пирамиды, если длина бокового ребра 12 см.
так как углы равны 60* и 45*, то боковые грани имеют вид:
две грани равносторонние треугольники со стороной 12см и две грани прямоугольные треугольники с катетами 12см и гипотенузой равной 12√2
S(осн) = 12*12√2=144√2
диагональ основания равна √144+288=12√3
половина диагонали равна 6√3
Н=√144-108=6
V=Н*S(осн) / 3 = 6*144√2 / 3 = 288√2
Ответ: объем пирамиды равен 288√2
Источник