Вычислить объем правильной треугольной пирамиды у которой сторона основания 2 см боковое ребро 3 см

Нахождение объема пирамиды: формула и задачи

В данной публикации мы рассмотрим, как можно найти объем пирамиды и разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Формула вычисления объема пирамиды

1. Общая формула

Объем (V) пирамиды равняется одной третьей произведения ее высоты на площадь основания.

• ABCD – основание;
• E – вершина;
• h – высота, перпендикулярная основанию.

2. Объем правильной треугольной пирамиды

Основанием правильной треугольной пирамиды является равносторонний треугольник (ABC), площадь которого вычисляется так (а – сторона треугольника):

Подставляем данное выражение в формулу расчета объема фигуры и получаем:

3. Объем правильной четырехугольной пирамиды

Основанием правильной четырехугольной пирамиды является квадрат, площадь которого считается так: S = a 2 , где а – длина его стороны.

Следовательно, формулу объема можно представить в виде:

4. Объем правильной шестиугольной пирамиды

Основанием правильной шестиугольной пирамиды является правильный шестиугольник, площадь которого вычисляется по формуле (а – сторона основания):

С учетом этого, объем фигуры считается так:

Примеры задач

Задание 1
Найдите объем правильной треугольной пирамиды, если известно, что ее высота составляет 16 см, а длина стороны ее основания – 8 см.

Решение:
Воспользуемся соответствующей формулой, подставив в нее известные значения:

Задание 2
Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 12 см, а сторона ее основания – 3 см. Найдите объем фигуры.

Решение:
Площадь квадрата, который является основанием пирамиды, равна 9 см 2 (3 см ⋅ 3 см). Следовательно, объем равен:

Источник

Вычислить объем правильной треугольной пирамиды у которой сторона основания 2 см боковое ребро 3 см

Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Площадь пирамиды равна

Полупериметр основания p = 20, апофему h найдем по теореме Пифагора: Тогда площадь поверхности пирамиды

Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Площадь пирамиды равна

Полупериметр основания p = 20, апофему h найдем по теореме Пифагора: Тогда площадь поверхности пирамиды

Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2, а объем равен

Объем пирамиды равен

где S — площадь основания, а h — высота пирамиды. Найдем площадь равностороннего треугольника, лежащего в основании:

Тогда высота пирамиды равна

В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем.

В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Пусть его центр — точка О, по теореме Пифагора находим тогда длина диагонали основания равна 16. Площадь квадрата равна половине произведения его диагоналей, поэтому она равна 128. Следовательно, для объема пирамиды имеем:

Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. Высота пирамиды равна 6. Найдите объем пирамиды.

Поскольку боковые грани SAB, SDC и SBC наклонены к основанию. под углом 60°, углы A и D в треугольнике ASD и угол G в треугольнике SGH равны 60°.

Поэтому треугольник ASD — равносторонний, а его сторона связана с высотой формулой откуда

Из прямоугольного треугольника SHG находим:

Поскольку ABCD — прямоугольник, его площадь равна произведения сторон:

Источник

Формула объема пирамиды

Пирамида — многогранник, основанием которого является произвольный многоугольник, а все грани представляют собой треугольники с общей вершиной, являющейся вершиной пирамиды.

Элементы пирамиды

Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины (также апофемой называют длину перпендикуляра, опущенного из середины правильного многоугольника на одну из его сторон);

Боковые грани — треугольники, сходящиеся в вершине;

Боковые ребра — общие стороны боковых граней;

Вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания;

Высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра);

Диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания;

Основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

Объем пирамиды через площадь основания и высоту

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания S_(ABCDEF) на высоту h (OS)

\[ \LARGE V = \frac<1> <3>\cdot S \cdot h \]

где:
V — объем пирамиды
S — площадь основания пирамиды
h — высота пирамиды

Калькулятор объема пирамиды через площадь основания и высоту

Объём усечённой пирамиды

Усеченная пирамида — часть пирамиды между ее основанием и этим сечением. Сечение параллельное основанию пирамиды делит пирамиду на две части.

Объем усеченной пирамиды равен одной трети произведения высоты h (OS) на сумму площадей верхнего основания S_{1 (abcdef)} , нижнего основания усеченной пирамиды S_{2 (ABCDEF)} и средней пропорциональной между ними.

\[ \LARGE V = \frac<1> <3>\cdot h \cdot \left( S_1 + \sqrt + S_2 \right) \]

где:
V — объем пирамиды
S₁ — площадь верхнего основания усеченной пирамиды
S₂ — площадь нижнего основания усеченной пирамиды
h — высота усеченной пирамиды

Калькулятор объема усечённой пирамиды

Объём правильной пирамиды

Правильная пирамида — пирамида, в основани, которой лежит правильный многоугольник, а высота проходит через центр вписанной окружности в основание.

Объем правильной пирамиды равен одной трети произведения площади правильного многоугольника, являющегося основанием S _(ABCDEF) на высоту h _(OS)

где:
V — объем пирамиды
a — сторона основания пирамиды
n — количество сторон многоугольника в основании
h — высота усеченной пирамиды

Калькулятор объёма правильной пирамиды

Объём правильной треугольной пирамиды

Правильная треугольная пирамида — пирамида, у которой основанием является равносторонний треугольник и грани равные равнобедренные треугольники.

Объем правильной треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади правильного треугольника, являющегося основанием S _(ABC) на высоту h _(OS)

где:
V — объем пирамиды
a — сторона основания пирамиды
h — высота пирамиды

Калькулятор объёма правильной треугольной пирамиды

Объём правильной четырёхугольной пирамиды

Правильная четырехугольная пирамида — пирамида, у которой основанием является квадрат и грани равные равнобедренные треугольники.

Объем правильной четырехугольной пирамиды равен одной трети произведения площади квадрата, являющегося основанием S _(ABCD) на высоту h _(OS)

\[ \LARGE V = \frac<1> <3>h \cdot a^2 \]

где:
V — объем пирамиды
a — сторона основания пирамиды
h — высота пирамиды

Калькулятор объёма правильной четырёхугольной пирамиды

Объём тетраэдра

Тетраэдр — пирамида, у которой все грани — равносторонние треугольники.

Объем тетраэдра — равен дроби в числителе которой корень квадратный из двух в знаменателе двенадцать, помноженной на куб длины ребра тетраэдра

где:
V — объем пирамиды
a — сторона основания пирамиды

Источник

Вычислить объем правильной треугольной пирамиды у которой сторона основания 2 см боковое ребро 3 см

Источник задания: Решение 2843. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Ответ.

Задание 8. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 7, а сторона основания равна 10,5. Найдите высоту пирамиды.

У правильной треугольной пирамиды в основании лежит равносторонний треугольник, а высота совпадает с точкой пересечения медиан треугольника. Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1.

Сначала найдем длину медианы AH, она же будет являться высотой треугольника ABC, лежащего в основании (см. рисунок)

Стороны AB и BC равны по , а сторона , следовательно, из теоремы Пифагора имеем:

Тогда AO будет составлять 2/3 от AH и равна

.

Наконец, высоту пирамиды SO вычислим также по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника AOS, в котором известен катет AO и гипотенуза AS=7, получим:

Источник

Pomogite s geometriej.

1.Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а боковое ребро 4(корень)3 см. Вычислить объём пирамиды.

2.Одно ребро треугольной пирамиды равно 4 см, а остальные — 3 см. Вычислить объём пирамиды.

3.В основании пирамиды лежит прямоугольник. Все боковые рёбра пирамиды равны и образуют со смежными сторогами основапния углы 45 и 60 градусов. Вычислить объём пирамиды,если длина бокового ребра 12 см.

Формула для объёма пирамиды — одна третья на произведение площади основания и высоты.

> 1.Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а боковое ребро 4(корень) 3 см. Вычислить объём пирамиды.

V=Н*S(осн) / 3, где Н-высота пирамиды, S-площадь основания
S(осн) = 1/2*6*6*Sin60* = 18*√3/2 = 9√3
чтобы найти Н надо найти R-радиус описанной окружности
R=авс / 4S, где а в с стороны основания,
R=6*6*6 / 4*9√3 = 2√3
высота пирамиды, радиус описанной окружности и ребро пирамиды образуют прямоугольный треугольник
Н=√(4√3)»-R» = √48-12 = 6
V=6*9√3 / 3 = 18√3
Ответ: объем пирамиды равен 18√3

> 2.Одно ребро треугольной пирамиды равно 4 см, а остальные — 3 см. Вычислить объём пирамиды.

основание имеет стороны 3,3,4
h(осн) = √9-4=√5
S(осн) = 1/2*√5*4=2√5
Н-высота пирамиды
Н=3√11 / 2√5
V=3√11*2√5 / 2√5*3=√11
Ответ: объем пирамиды равен √11

> 3.В основании пирамиды лежит прямоугольник. Все боковые рёбра пирамиды равны и образуют со смежными сторогами основапния углы 45 и 60 градусов. Вычислить объём пирамиды, если длина бокового ребра 12 см.

так как углы равны 60* и 45*, то боковые грани имеют вид:
две грани равносторонние треугольники со стороной 12см и две грани прямоугольные треугольники с катетами 12см и гипотенузой равной 12√2
S(осн) = 12*12√2=144√2
диагональ основания равна √144+288=12√3
половина диагонали равна 6√3
Н=√144-108=6
V=Н*S(осн) / 3 = 6*144√2 / 3 = 288√2
Ответ: объем пирамиды равен 288√2

Источник