Вычислить объем двуполостного гиперболоида

Вычисление объемов

2.1. Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений. Если известны площади сечений тела плоскостями, перпендикуляр­ными оси OX, т. е., зная х, мы можем вычислить площадь сечения S = S (x). Тогда объем тела в предположении, что S(x) − интегрируемая функция.

2.2. Вычисление объема тела вращения:

а) если тело образовано вращением криволинейной трапеции, ограни­чен­ной кривой y = f(x), осью OX и двумя прямыми x = a и x = b(a 2 и y = 2 − x вокруг оси OX.

Решение. Найдем точки пересечения параболы y = 2xx 2 и прямой y = 2 − x . Решим систему:

Получим две точки пересечения: х1 = 1, у1 = 1; х2 = 2, у2 = 0. Сделаем чертеж (рис. 19).

П р и м е р. Вычислить объем тела, ограни­чен­ного поверхностями:

; z = 0; z = 3.

− однополостной гипербо­лоид. При пересечении его плоскостями z = h в сечении получаем эллипсы

(рис. 20) с полуосями

Как известно, площадь эллипса Sab, тогда S(h) = 2π(h 2 +1) 0 ≤ h ≤ 3

Источник

Гиперболоиды: однополостный и двуполостный

Определение гиперболоида

Однополостным гиперболоидом называется поверхность, определяемая в некоторой прямоугольной системе координат каноническим уравнением

Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, определяемая в некоторой прямоугольной системе координат каноническим уравнением

В уравнениях (4.48), (4.49) — положительные параметры, характеризующие гиперболоиды, причем .

Начало координат называют центром гиперболоида. Точки пересечения гиперболоида с координатными осями называются его вершинами. Это четыре точки однополостного гиперболоида (4.48) и две точки двуполостного гиперболоида (4.49). Три отрезка координатных осей, соединяющих вершины гиперболоидов, называются осями гиперболоидов. Оси гиперболоидов, принадлежащие координатным осям , называются поперечными осями гиперболоидов, а ось, принадлежащая оси аппликат , — продольной осью гиперболоидов. Числа , равные половинам длин осей, называются полуосями гиперболоидов.

Плоские сечения однополостного гиперболоида

Подставляя в уравнение (4.48), получаем уравнение линии пересечения однополостного гиперболоида с координатной плоскостью . Это уравнение в плоскости определяет эллипс, который называется горловым. Линии пересечения однополостного гиперболоида с другими координатными плоскостями являются гиперболами. Они называются главными гиперболами. Например, при получаем главную гиперболу , а при — главную гиперболу

Читайте также:  Гипоидный мост зил объем масла

Рассмотрим теперь сечение однополостного гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости . Подставляя , где — произвольная постоянная (параметр), в уравнение (4.48), получаем

При любом значении параметра уравнение определяет эллипс с полуосями . Следовательно, сечение однополостного гиперболоида плоскостью представляет собой эллипс, центр которого лежит на оси аппликат, а вершины — на главных гиперболах. Среди всех эллипсов, получающихся в сечениях плоскостями при различных значениях параметра , горловой эллипс (при ) является эллипсом с наименьшими полуосями.

Таким образом, однополостный гиперболоид можно представить как поверхность, образованную эллипсами, вершины которых лежат на главных гиперболах (рис.4.42,а)

Плоские сечения двуполостного гиперболоида

Сечения двуполостного гиперболоида координатными плоскостями и представляют собой гиперболы (главные гиперболы).

Рассмотрим теперь сечения двуполостного гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости . Подставляя , где — произвольная постоянная (параметр), в уравнение (4.49), получаем

При уравнение не имеет действительных решений (правая часть уравнения отрицательная, а левая неотрицательная), т.е. плоскость не пересекает двуполостный гиперболоид. При уравнение имеет нулевое решение . Следовательно, плоскости касаются двуполостного гиперболоида в его вершинах . При c» png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADoAAAAVBAMAAADlb+D4AAAAKlBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAHrpZrAAAADnRSTlMAg0KoBP0QXdEhwHEx4v6hyb4AAADaSURBVCjPY2DAD/ZAae4D2GSFGBiqlgNpRgUcsofD8ckyh+GT5W2Ay1piyk4VgMtOXoQhW1q9WAFm8uTlMAn2VWZgWdMm5gtweye3Q2i25mkXwbJXJzDGIFyVCJHOaGAMBMlyBjIwByC5OfEiiBQtYFMAybKHM7AaIMmmN4LIUKirgN49ugHJ5O4EEBUFleVtYBHNMYDJToS6KpiBgRMkmyrAsIL5AMxHUEkGCwY2c5CsqgLDXnOM0MhaaAx2FQ/QjASILJsRIpiSEiBhBQY4Y4Fs2U2wlINFFgCrpSqpbSiUhgAAAABJRU5ErkJggg==» style=»vertical-align: middle;»/> получаем уравнение эллипса с полуосями . Следовательно, сечение двуполостного гиперболоида плоскостью при c» png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADoAAAAVBAMAAADlb+D4AAAAKlBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAHrpZrAAAADnRSTlMAg0KoBP0QXdEhwHEx4v6hyb4AAADaSURBVCjPY2DAD/ZAae4D2GSFGBiqlgNpRgUcsofD8ckyh+GT5W2Ay1piyk4VgMtOXoQhW1q9WAFm8uTlMAn2VWZgWdMm5gtweye3Q2i25mkXwbJXJzDGIFyVCJHOaGAMBMlyBjIwByC5OfEiiBQtYFMAybKHM7AaIMmmN4LIUKirgN49ugHJ5O4EEBUFleVtYBHNMYDJToS6KpiBgRMkmyrAsIL5AMxHUEkGCwY2c5CsqgLDXnOM0MhaaAx2FQ/QjASILJsRIpiSEiBhBQY4Y4Fs2U2wlINFFgCrpSqpbSiUhgAAAABJRU5ErkJggg==» style=»vertical-align: middle;»/> представляет собой эллипс с центром на оси аппликат, вершины которого лежат на главных гиперболах.

Таким образом, двуполостный гиперболоид можно представить как поверхность образованную эллипсами, вершины которых лежат на главных гиперболах (рис.4.43,а).

Гиперболоиды вращения

Гиперболоид, у которого поперечные полуоси равны , называется гиперболоидом вращения . Такой гиперболоид является поверхностью вращения, а его сечения плоскостями (для двуполостного гиперболоида при c» png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADoAAAAVBAMAAADlb+D4AAAAKlBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAHrpZrAAAADnRSTlMAg0KoBP0QXdEhwHEx4v6hyb4AAADaSURBVCjPY2DAD/ZAae4D2GSFGBiqlgNpRgUcsofD8ckyh+GT5W2Ay1piyk4VgMtOXoQhW1q9WAFm8uTlMAn2VWZgWdMm5gtweye3Q2i25mkXwbJXJzDGIFyVCJHOaGAMBMlyBjIwByC5OfEiiBQtYFMAybKHM7AaIMmmN4LIUKirgN49ugHJ5O4EEBUFleVtYBHNMYDJToS6KpiBgRMkmyrAsIL5AMxHUEkGCwY2c5CsqgLDXnOM0MhaaAx2FQ/QjASILJsRIpiSEiBhBQY4Y4Fs2U2wlINFFgCrpSqpbSiUhgAAAABJRU5ErkJggg==» style=»vertical-align: middle;»/>) представляют собой окружности с центрами на оси аппликат. Однополостный или двуполостный гиперболоиды можно получить, вращая вокруг оси гиперболу (рис.4.42,б) или сопряженную гиперболу (рис.4.43,б) соответственно. Заметим, что уравнение последней можно записать в форме .

Гиперболоид, у которого поперечные оси различны , называется трехосным (или общим).

1. Плоскости определяют в пространстве основной прямоугольный параллелепипед , вне которого находится двуполостный гиперболоид (рис.4.43,в). Две грани параллелепипеда касаются гиперболоида в его вершинах.

2. Сечение однополостного гиперболоида плоскостью, параллельной оси аппликат и имеющей одну общую точку с горловым эллипсом (т.е. касающейся его), представляет собой две прямые, пересекающиеся в точке касания. Например, подставляя в уравнение (4.48), получаем уравнение двух пересекающихся прямых (см. рис.4.42,а).

Читайте также:  Как вычислить объем тела человека формула

3. Однополостный гиперболоид является линейчатой поверхностью, т.е. поверхностью, образованной движением прямой (см. рис.4.42,в). Например, однополостный гиперболоид вращения можно получить, вращая прямую вокруг другой прямой, скрещивающейся с ней (но не перпендикулярной).

4. Начало канонической системы координат является центром симметрии гиперболоида, координатные оси — осями симметрии гиперболоида, координатные плоскости — плоскостями симметрии гиперболоида.

В самом деле, если точка принадлежит гиперболоиду, то точки с координатами при любом выборе знаков также принадлежат гиперболоиду, поскольку их координаты удовлетворяют уравнению (4.48) или (4.49) соответственно.

Источник

3. Двуполостный гиперболоид.

Двуполостным гиперболоидом (рис.3) называется поверхность второго порядка, которая в подходящих координатах определяется каноническим уравнением

Так как переменные x , y , z входят в уравнение (4)

координатные плоскости – это плоскости симметрии, координатные оси – оси симметрии, начало координат – центр симметрии, причем ось Oz : x = 0, y = 0 пересекает двуполостный гиперболоид в точках

C 1 (0,0, c ), C 2 (0,0, − c ) . Точки C 1 , C 2 – вершины двуполостного гиперболоида (4). Оси Ox , Oy не пересекают двуполостного гиперболоида (4) и называются мнимыми.

Рассмотрим сечение двуполостного гиперболоида (4)

вещественных точек не имеют.

пересекают по эллипсу

В сечении плоскостями y = h получаются гиперболы.

4. Конус.

Уравнение конуса (рис.4) в прямоугольной декартовой канонической системе координат имеет вид

Эта поверхность состоит из прямых, пересекающихся в одной

точке – вершине конуса.

удовлетворяют уравнению (5), то ему удовлетворяют также x = x 0 t , y = y 0 t , z = z 0 t при любом t . Эти равенства с параметром t

представляют прямую (если x 0 , y 0 , z 0 одновременно не равны нулю),

проходящую через начало координат и точку ( x 0 , y 0 , z 0 ). Значит,

вместе с любой своей точкой ( x 0 , y 0 , z 0 ) конус содержит и всю такую прямую. Он состоит из таких прямых – образующих конуса.

Можно показать, что плоскость, проходящая через вершину конуса, либо не пересекает его в другой точке, либо пересекает по двум образующим, либо касается вдоль образующей. Любая плоскость, параллельная этим плоскостям, в первом случае пересекает конус по эллипсу, во втором случае – пересекает по гиперболе, в третьем случае – по параболе. Сказанное объясняет тот факт, что часто эллипс, гиперболу, параболу называют коническими сечениями.

Читайте также:  Как использовать весь объем оперативной памяти

5. Эллиптический параболоид.

Эллиптическим параболоидом (рис.5) называется поверхность второго порядка, которая в канонической системе координат определяется уравнением

Источник

Вычисление объемов.

2.1. Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений. Если известны площади сечений тела плоскостями, перпендикуляр­ными оси OX, т. е., зная х, мы можем вычислить площадь сечения S = S (x). Тогда объем тела в предположении, что S(x) − интегрируемая функция.

2.2. Вычисление объема тела вращения:

а) если тело образовано вращением криволинейной трапеции, ограни­чен­ной кривой y = f(x), осью OX и двумя прямыми x = a и x = b(a 2 и y = 2 − x вокруг оси OX.

Решение. Найдем точки пересечения параболы y = 2xx 2 и прямой y = 2 − x . Решим систему:

Получим две точки пересечения: х1 = 1, у1 = 1; х2 = 2, у2 = 0. Сделаем чертеж (рис. 19).

П р и м е р. Вычислить объем тела, ограни­чен­ного поверхностями:

; z = 0; z = 3.

− однополостной гипербо­лоид. При пересечении его плоскостями z = h в сечении получаем эллипсы

(рис. 20) с полуосями

Как известно, площадь эллипса Sab, тогда S(h) = 2π(h 2 +1) 0 ≤ h ≤ 3

Дата добавления: 2015-01-24 ; просмотров: 3686 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник

3.5.3. Двуполостный гиперболоид

Поверхность, задаваемая каноническим уравнением

Называется Двуполостным гиперболоидом.

Величины положительны и называются полуосями двуполостного гиперболоида.

1. Двуполостный гиперболоид — центральная поверхность с центром в начале координат; оси координат являются его осями симметрии, а координатные плоскости – плоскостями симметрии двуполостного гиперболоида.

2. Рассмотрим сечения этой поверхности координатными плоскостями. Сечение плоскостью XOZ задается уравнениями:

И представляет собой гиперболу, расположенную симметрично относительно координатных осей OX, OZ и пересекающую ось OZ в точках (0,0,с) и (0,0, — с).

Сечение плоскостью YOZ определяется уравнениями

и задает гиперболу, расположенную симметрично относительно осей OY и OZ и пересекающую ось OZ в точках (0,0,с) и (0,0, — с).

Рассмотрим теперь сечения данного гиперболоида плоскостями, параллельными координатной плоскости XOY (z = h), эти сечения задаются уравнениями

.

Источник

Поделиться с друзьями
Объясняем