Точки на окружности которые совпадают

Тригонометрическая окружность

В этой статье мы поговорим об основах тригонометрии — о тригонометрической окружности. С нее начинается изучение тригонометрии в 10-м классе.

Именно тригонометрические уравнения, как правило, попадаются в самом легком задании второй части ЕГЭ по профильной математике. А умение преобразовывать тригонометрические выражения часто бывают и в первой части. Без этой важной темы на ЕГЭ никак не обойтись.

Тригонометрия очень непривычная тема для школьников. А единичная окружность — это основа, если вы разберетесь с ней, то все остальное не будет казаться таким сложным.

Единичная окружность

Чтобы начать пользоваться тригонометрической окружностью, ее нужно построить.

Для начала нарисуем обычную прямоугольную декартову систему координат — ту, в которой вы должны были в младших классах строить различные графики прямых, парабол и т.д. Горизонтальную ось (ось абсцисс), как обычно, обозначим за \(x\), а вертикальную (ось ординат) за \(y\). И нарисуем в этой системе координат обыкновенную окружность единичного радиуса с центром в точке с координатами \((0;0)\) — начало координат.

Пусть наша единичная окружность пересекает оси абсцисс и ординат в точках \(A,B,C,D\), как показано на рисунке. Центр окружности обозначим за точку \(O\).

Сразу обратите внимание, что оси \(x\) и \(y\) делят наш круг на четыре части, их называют четвертями. А еще каждой четверти присвоили свой номер так же, как пронумеровано римскими цифрами на рисунке. В школе часто мучают этими четвертями.

Как считать углы на единичной окружности

А теперь мы подобрались к самому главному: будем рисовать углы на окружности. Все углы отсчитываются, начиная с отрезка \(OA\) ПРОТИВ часовой стрелки. Например, давайте повернем отрезок \(OA\) против часовой стрелки на угол \(30^o\) (как стрелку часов) и получим некоторую точку \(M\), лежащую на окружности. На рисунке хорошо видно, как мы получили угол \(\angle\).

Таким образом, можно получать любые углы, просто поворачивая отрезок \(OA\). На рисунке 3 кроме угла \(\angle=30^o\) я нарисовал углы: \(\angle=45^o\), \(\angle=60^o\), \(\angle=90^o\), \(\angle=120^o\), \(\angle=135^o\), \(\angle=150^o\), \(\angle=180^o\).

Обратите внимание на углы \(\angle=90^o\) и \(\angle=180^o\): прямой и развернутый углы соответственно. Они нам понадобятся чуть позже.

Но и это еще не все! Оказывается, бывают углы больше чем \(180^o\). Например, на нашей окружности такими углами будут \(\angle=210^o\), \(\angle=315^o\).

Есть даже угол, который соответствует полному обороту \(\angle=360^o\) (см. Рис. 4)

Обратите внимание, что абсолютно все углы отсчитываются от отрезка \(OA\). И каждому углу соответствует своя точка на окружности. В тригонометрии принято все углы на единичной окружности обозначать просто точками. Например, точка \(K\) на рисунке 3 соответствует углу в \(60^o\), точка \(W\) соответствует углу \(210^o\).

Любознательный читатель может спросить: а существуют ли углы большие \(360^o\)? И ответом будет – конечно, да. Нам ничто не мешает повернуть отрезок \(OA\) на \(360^o\), а потом продолжить поворачивать его, например, еще градусов на \(30^o\). И тогда мы получим прекрасный угол, соответствующий точке \(V=390^o\).

Кстати, точка \(V\) совпадет с точкой \(M\), соответствующей углу в \(30^o\). Получается, одна и та же точка может соответствовать сразу нескольким углам!

Действительно, если к любому углу прибавить \(360^o\), то вы попадете опять в ту же самую точку. Аналогично можно обратить внимание, что точка \(A\) одновременно соответствует как минимум двум углам: \(0^o\) и \(360^o\).

Угол в \(720^o\) будет соответствовать двум полным оборотам.

А ведь можно к любому углу прибавить не \(360^o\), а \(720^o\), что соответствует сразу 2-м полным оборотам. И так добавлять обороты можно до бесконечности. Значит, любой точке на единичной окружности соответствует бесконечное количество углов с шагом в \(360^o\). Например, углы \(60^o, \, 420^o, \, 780^o, \, 1140^o\) и т.д. все лежат в одной и той же точке на окружности, так как они все отличаются на один полный оборот – на \(360^o\). Это важная мысль, в дальнейшем она нам пригодится.

В общем, можно отсчитывать углы от отрезка \(OA\) сколько угодно большие и можно накручивать круги до бесконечности. Причем каждой точке соответствует бесконечное количество углов.

А еще существуют отрицательные углы! Оказывается, если повернуть отрезок \(OA\) ПО ЧАСОВОЙ стрелке, то мы получим отрицательный угол. Например, на рисунке показан угол в \(-30^o\).

Читайте также:  Как смазать трапецию дворники пассат б5

Любой угол, получившийся поворотом по часовой стрелке, будет отрицательным.

Кстати, точка \(M\) на окружности, соответствующая углу в \(-30^o\), отсчитанному по часовой стрелке, совпадает с точкой, соответствующей углу в \(330^o\), отсчитанным против часовой.

Как переводить радианы в градусы?

Все знают, чтобы измерить некоторое расстояние, можно воспользоваться несколькими единицами измерения: сантиметрами, метрами, километрами или даже световыми годами. Точно так же углы можно измерять по-разному. Мы всю свою жизнь углы измеряли градусами и интуитивно уже понимаем, сколько градусов соответствует визуально какому углу. Довольно легко представить угол в \(30^o\) или \(90^o\).

Но, к большому сожалению, в математике углы часто измеряют не в градусах, а в радианах. Так просто удобно в некоторых случаях. А нам с вами ничего не остается, как привыкнуть к новой единице измерения углов.

Ничего страшного в этом нет. Первое, с чем нам нужно познакомиться — это иррациональное число Пи: $$\pi=3,14…;$$ Это известная константа, которая обладает интересными свойствами и используется во множестве научных областей. Но об этом в другой раз. Сейчас нам нужно запомнить, что угол в \(\pi\) радиан это тоже самое, что и угол равный \(180^o\). $$\pi \, рад=180^o;$$ Из этого факта легко переводить радианы в градусы и наоборот: $$ \frac<\pi><2>=\frac<180><2>^o=90^o;$$ $$ \frac<\pi><3>=\frac<180><3>^o=60^o;$$ $$ \frac<\pi><4>=\frac<180><4>^o=45^o;$$ $$ \frac<\pi><6>=\frac<180><6>^o=30^o;$$

Для того, чтобы перевести абсолютно любой угол в градусы, удобно воспользоваться пропорцией. Для примера переведем \(\frac<5\pi><6>\) радиан: $$\pi \, рад=180^o;$$ $$\frac<5\pi> <6>\, рад=x^o;$$ Пропорции решаются перемножением крест на крест: $$\pi*x=\frac<5\pi><6>*180;$$ $$x=\frac<\frac<5\pi><6>*180><\pi>=\frac<5><6>*180=150^o.$$

Теперь отметим на тригонометрической окружности углы в радианах так же, как мы отмечали углы в градусах:

Чтобы интуитивно воспринимать радианы, важно помнить, что \(\pi \, рад=180^o;\) – это равно половине окружности. Тогда \(2\pi=360^o\) – это полный круг. Представьте, что перед вами пирог или пицца, которую вы режете на части. Тогда, помня, что \(\pi\) это ровно половина пирога, легко представить, что, например, \(\frac<\pi><6>\) – это мы половину пирога поделили на 6 одинаковых частей и взяли одну. А \(\frac<5*\pi><6>\) – это опять делим половину пирога на 6 частей, только в этот раз берем 5 частей из 6-ти, считая от 0.

Можно пользоваться такой аналогией, а можно решать пропорции, как вам удобнее.

Мы научились отмечать на единичной окружности углы и познакомились с радианами.

Теперь приступаем к самому важному: какое отношение имеет этот круг единичного радиуса к тригонометрическим функциям?

Синус и косинус на тригонометрической окружности

Кратко напомню: Синус – это отношение противолежащего катета к гипотенузе; Косинус – это отношение прилежащего катета к гипотенузе;

И из этих формул и теоремы Пифагора следует одна из самых важных тригонометрических формул: $$\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1.$$

Раз эти определения вводились для прямоугольного треугольника, то у них есть большой недостаток. Они работают только в прямоугольном треугольнике, а значит только для острых углов. (В прямоугольном треугольнике, один угол прямой, а два другие обязательно острые).

Но синус и косинус можно посчитать на калькуляторе от абсолютно любого угла. Тогда определение из 9-го класса нам не годится.

И вот здесь на помощь приходит тригонометрическая окружность. При помощи нее мы сейчас постараемся определить синус и косинус.

Нарисуем единичную окружность (единичного радиуса) и отметим на ней какой-нибудь острый угол \(\angle=\alpha\). Точка \(M\) лежит на дуге этой окружности и соответствует углу в \(30^o\). Посмотрите внимательно на рисунок: у точки \(M\) мы можем определить координаты. Пусть по оси \(x\) координата точки \(M\) будет \(M_\), а по оси \(y\) — \(M_\). Точка \(M\): $$(M_;M_);$$

Опустим из точки \(M\) перпендикуляры на оси координат. Перпендикуляр к оси \(x\) попадет в точку \(M_\), а перпендикуляр к оси \(y\) попадет в \(M_\). Строго говоря, в математике \(M_\) и \(M_\) называются проекциями точки \(M\) на оси координат.

Мы получили прямоугольный треугольник \(\triangle_\). По определению из 9-го класса синус \(\angle<\alpha>\) – это отношение противолежащего катета \(MM_\) к гипотенузе \(MO\) в \(\triangle>\): $$\sin(\alpha)=\frac>;$$ Обратите внимание, что \(MO\) это радиус нашей единичной окружности, значит он равен единице: $$\sin(\alpha)=\frac>=MM_;$$ Из рисунка видно, что \(MM_=OM_\) или, другими словами, длина отрезка \(MM_\) – это координата точки \(M\) по оси \(y\).

Это важный момент! Получается, что \(\sin(\alpha)\) равен координате точки \(M\) по оси \(y\).

Аналогичные рассуждения можно провести и для косинуса. Косинус по определению в прямоугольном треугольнике \(\triangle>\) – это отношение прилежащего катета к гипотенузе: $$\cos(\alpha)=\frac>=OM_=M_;$$ Косинус \(\angle<\alpha>\), оказывается, будет равен координате точки \(M\) по оси \(x\).

Читайте также:  Невидимые вершины прямоугольного параллелепипеда

Точно такие же рассуждения можно сделать для любого другого угла \(\beta\). Из рисунка ниже видно, что синус \(\angle<\beta>\) – это координата точки \(N\) по оси \(y\). А косинус угла \(\angle<\beta>\) – это координата точки \(N\) по оси \(x\). (Показано фиолетовым цветом).

Данная логика будет справедлива и для тупых углов. Посмотрите на угол \(\gamma\). Значение синуса \(\angle<\gamma>\) будет соответствовать координате точки \(K\) по оси \(y\), а косинуса – по оси \(x\).

Можно сделать вывод, что значения синуса любого угла на окружности лежат на оси \(y\), а значения косинуса на \(x\).

А раз такие дела, то давайте обзовем наши оси координат не \(x\) и \(y\), а осями \(cos\) и \(sin\) соответственно. На этих осях будут лежать значения косинуса и синуса всех углов на окружности. И в дальнейшем на всех рисунках оси мы будем обозначать \(cos\) и \(sin\) соотвественно.

Обратите внимание еще на один факт: координаты любой точки на окружности обязательно будут больше минус единицы и меньше единицы. Это значит, что значения синуса и косинуса лежат в этом же промежутке. Синус и косинус – это ограниченные функции.

Пример 1 Изобразить на тригонометрической окружности синус и косинус \(\frac<\pi><3>=60^o\).

Повернем отрезок \(OA\) против часовой стрелки на \(\frac<\pi><3>\), получим точку \(W\) на окружности, которая соответствует этому углу. Если выполнять все это на миллиметровке и строить очень точно, то вы увидите, что координата точки \(W\) по \(y\) будет \(W_=\frac<\sqrt<3>><2>\approx0,87\), а по оси \(x\) координата будет \(W_=\frac<1><2>\).

Исходя из сказанного выше, мы делаем вывод: $$\sin(\frac<\pi><3>)=\frac<\sqrt<3>><2>;$$ $$\cos(\frac<\pi><3>)=\frac<1><2>;$$ Посмотрев в таблицу стандартных углов тригонометрических функций, понимаем, что мы сделали все правильно.

Вам, конечно, не придется сидеть с миллиметровкой и высчитывать значения тригонометрических функций, вы будете пользоваться таблицей стандартных углов. А тригонометрическая окружность нужна как большой помощник. При дальнейшем изучении тригонометрии вы в этом не раз убедитесь.

Кстати, интересно и очень важно отметить, что значение, например, синуса \(\frac<\pi><2>=(90^o)\) будет равно 1, а косинус \(\frac<\pi><2>\) будет равен 0. Чтобы это понять, необязательно смотреть в таблицу стандартных углов, такой вывод можно сделать при помощи тригонометрической окружности.

Действительно, обратите внимание: угол в \(\frac<\pi><2>=(90^o\) соответствует на окружности точке \(B\). Координата точки \(B\) по оси \(x\) будет \(0\), а по оси \(y\) \(1\). А так как координаты точек на окружности, согласно сказанному выше, и есть значения косинуса и синуса угла, то: $$\sin(\frac<\pi><2>)=1;$$ $$\cos(\frac<\pi><2>)=0;$$

Знаки синуса и косинуса в зависимости от угла

В самом начале мы не просто так разбивали нашу окружность на четверти. Дело в том, что в каждой из этих четвертей тригонометрические функции имеют разные знаки. В школе обычно заставляют учить в какой четверти какой знак. Но мы, как всегда, постараемся вникнуть в суть и понять, как это работает. Тем более, что ничего сложного здесь нет, если разобраться в материале выше.

Мы с вами выяснили, что координаты любой точки на окружности – это и есть значения синуса и косинуса. Рассмотрим первую четверть: возьмем произвольную точку \(M\), лежащую на дуге в этой четверти, координата точки \(M\) по \(x\) будет \(M_\) и она будет обязательно положительной, так как лежит между нулем и единицей! А это значит, что косинус угла, соответствующего точке \(M\) тоже будет положительным. Аналогично координата точки \(M\) по оси \(y\) тоже лежит от 0 до 1, а значит синус \(\angle\) тоже положительный.

И какой бы угол мы не нарисовали в первой четверти, у него будут положительные координаты, а значит, и положительные значения косинуса и синуса!

Рассмотрим теперь вторую четверть. Руководствуясь той же логикой: координаты произвольной точки \(K\), лежащей на дуге из второй четверти по \(x\) будут отрицательны, а по \(y\) положительны. Делаем вывод, что косинус любого угла из второй четверти будет отрицательным, а синус положительным.

Точно так же в третьей четверти и косинус, и синус будут отрицательными.

В четвертой четверти косинус положительный, а синус отрицательный.

Тангенс и котангенс на тригонометрической окружности

Теперь разберемся, как пользоваться тригонометрической окружностью в случае тангенса и котангенса.

Тангенс на окружности и его знаки

Чтобы на окружности можно было пользоваться тангенсом, нам понадобится дополнительная ось. Проведем ее перпендикулярно оси \(x\) (теперь это у нас ось косинусов) через точку \(A\):

Читайте также:  Как узнать окружность круга если известен диаметр

Эта ось параллельна оси \(y\) и полностью ее дублирует. В точке \(A\) будет координата \(0\). Отметим на окружности в первой четверти произвольную точку \(L\). Соединим точку \(L\) с центром окружности и продлим прямую до пересечения с новой осью в точке \(F\).

Мы получили прямоугольный треугольник \(FOA\). В этом прямоугольном треугольнике можем расписать тангенс по определению:

$$tg(\angle)=\frac;$$ А так как \(OA\) это ни что иное, как радиус единичной окружности: $$tg(\angle)=FA;$$ А \(FA\) – это координата точки \(F\) по нашей новой оси. Значит \(tg(\angle)=tg(\angle)\) будет равен координате точки \(F\) по новой оси.

Аналогичным образом я могу выбрать другую произвольную точку \(P\) на окружности в первой четверти, продлить до пересечения с новой осью, получить некоторую точку \(T\). И опять, тангенс получившегося угла \(\angle=\angle\) будет равен координате точки \(T\) на новой оси.

Тут все ясно, но возникает справедливый вопрос: а что, если угол лежит не в первой четверти?

Логика рассуждений сохраняется: произвольному углу \(\angle\) соответствует своя точка на окружности \(Q\), соединим точку \(Q\) с центром окружности и продлим до пересечения с новой осью в точке \(H\). Оказывается, тангенс \(\angle\) будет равен координате точки \(H\) по новой оси.

Общая логика простая – берем точку на окружности, соответствующую некоторому углу \(\alpha\), соединяем ее с центром окружности и продляем до пересечения с осью тангенса. Координата точки пересечения с осью тангенса и будет значением тангенса угла \(\alpha\).

Эта ось называется осью тангенсов, так как на ней лежат значения тангенсов всех углов на окружности.

Стоит обратить внимание на знаки тангенса. Если соединять точки на окружности, лежащие в первой и третьей четвертях с центром окружности, то пересекать ось тангенсов эти прямые будут всегда выше \(0\). Значение тангенса любых углов из первой и третьей четвертей будет положительно.

А если углы лежат во второй и четвёртой четвертях, то их тангенс будет отрицательным.

Котангенс на окружности и его знаки

С котангенсом ситуация очень похожа на тангенс. Только в этот раз мы проводим горизонтальную ось перпендикулярно оси синусов через произвольную точку \(B\). Эта ось будет параллельна оси \(x\) и полностью ее дублировать. Сразу назовем эту ось осью котангенса. Ноль на оси котангенса будет совпадать с точкой \(B\).

Теперь выберем произвольную точку \(N\) на окружности, этой точке будет соответствовать угол \(\angle\). Соединим точку \(N\) с центром окружности и продлим получившуюся прямую до пересечения с осью котангенса в точке \(Q\).

Обратите внимание, что \(\angle=\angle\), как накрест лежащие при параллельных прямых (оси синуса и котангенса). Рассмотрим прямоугольный треугольник \(BOQ\) и распишем в нем котангенс \(\angle\), как отношение прилежащего катета к противолежащему в прямоугольном треугольнике: $$ctg(\angle)=ctg(\angle)=\frac=QB;$$ Мы получили, что котангенс \(\angle\) равен координате точки \(Q\) на оси котангенса.

Аналогичным образом можно выбрать произвольную точку на единичной окружности, соединить ее с центром окружности, продлить получившуюся прямую до пересечения с осью котангенса, координата получившейся точки будет значением котангенса угла, соответствующего точке на окружности.

И у внимательного читателя должен возникнуть вопрос! Ведь не любую точку на окружности возможно соединить с центром окружности и продлить до пересечения с осью тангенса или котангенса.

Действительно, если точки \(B\) и \(D\) соединить с центром окружности, то получится прямая параллельная оси тангенса, а значит, она никогда не пересчёт ее. Как же тогда найти значения тангенса углов, соответствующих точкам \(B\) и \(D\)? А никак, тангенс этих углов не существует. Точкам \(B\) и \(D\) соответствуют углы: \(\frac<\pi><2>=90^o, \, \frac<3\pi><2>=270^o, \, -\frac<\pi><2>=-90^o\) и т.д. Каждой точке на окружности, как мы помним, соответствует бесконечное количество углов с периодом \(2\pi=360^o\).

Аналогичные рассуждения с котангенсом. Котангенс не будет существовать от углов: \(0, \, \pi=180^o, \, -\pi=-180^o, \, 2\pi\) и т.д.

Несколько важных свойств тангенса и котангенса.

  • Из построения можно заметить, что для любых углов из первой и третьей четвертей котангенс и тангенс будут положительные, а для второй и четвертой – отрицательные;
  • Тангенс и котангенс – неограниченные функции. Это значит, что они могут принимать абсолютно любые значения: \(tg(\alpha)\in(-\infty;+\infty);\) и \(ctg(\alpha)\in(-\infty;+\infty);\)
  • Тангенс не существует от углов \(\frac<\pi><2>*n\), где \(n \in Z\) (\(n\) целое число);
  • Котангенс не существует от углов \(\pi*n\), где \(n \in Z\) (\(n\) целое число);

Пример 2 Изобразить на тригонометрической окружности \(ctg(\frac<\pi><6>)\).

Источник

Поделиться с друзьями
Объясняем