Точка е середина боковой стороны ав трапеции авсд докажите что площадь есд равна половине площади

Точка е середина боковой стороны ав трапеции авсд докажите что площадь есд равна половине площади

Точка E — середина боковой стороны AB трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника ECD равна половине площади трапеции.

Проведём отрезок EF параллельно основаниям трапеции, точка F лежит на стороне CD. Отрезок EF — средняя линия трапеции ABCD, значит, высоты треугольников EFD и CEF , проведённые к стороне EF , равны между собой и равны половине высоты трапеции h. Имеем

Приведем другое решение.

Проведём EF параллельно Поскольку и по теореме Фалеса получаем, что Следовательно, EF — средняя линия. Пусть h — длина высоты трапеции. Площадь трапеции равна:

Откуда получаем, что

Приведем еще одно решение.

Продолжим СE до пересечения с прямой AD в точке K. Заметим, что в треугольниках KAE и BCE стороны AE и BE равны по условию, углы при вершине E равны как вертикальные, а углы EAK и CBE равны как накрест лежащие. Значит, треугольники KAE и BCE равны.

Следовательно, их площади равны, то есть площадь трапеции равна площади треугольника CDK. Но из равенства треугольников также вытекает, что KE = CE, то есть DE — медиана в треугольнике CDK. Тогда треугольник DEC по площади составит половину треугольника CDK, а значит, и данной трапеции.

Читайте также:  Если диагонали трапеции взаимно перпендикулярны то она равнобедренная

Источник

Точка е середина боковой стороны ав трапеции авсд докажите что площадь есд равна половине площади

Точка E — середина боковой стороны AB трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника ECD равна половине площади трапеции.

Решение . Проведём отрезок EF параллельно основаниям трапеции, точка F лежит на стороне CD. Отрезок EF — средняя линия трапеции ABCD, значит, высоты треугольников EFD и CEF , проведённые к стороне EF , равны между собой и равны половине высоты трапеции h. Имеем

Приведем другое решение.

Проведём EF параллельно Поскольку и по теореме Фалеса получаем, что Следовательно, EF — средняя линия. Пусть h — длина высоты трапеции. Площадь трапеции равна:

Откуда получаем, что

Приведем еще одно решение.

Продолжим СE до пересечения с прямой AD в точке K. Заметим, что в треугольниках KAE и BCE стороны AE и BE равны по условию, углы при вершине E равны как вертикальные, а углы EAK и CBE равны как накрест лежащие. Значит, треугольники KAE и BCE равны.

Следовательно, их площади равны, то есть площадь трапеции равна площади треугольника CDK. Но из равенства треугольников также вытекает, что KE = CE, то есть DE — медиана в треугольнике CDK. Тогда треугольник DEC по площади составит половину треугольника CDK, а значит, и данной трапеции.

Источник

Точка е середина боковой стороны ав трапеции авсд докажите что площадь есд равна половине площади

Точка E — середина боковой стороны AB трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника ECD равна половине площади трапеции.

Проведём отрезок EF параллельно основаниям трапеции, точка F лежит на стороне CD. Отрезок EF — средняя линия трапеции ABCD, значит, высоты треугольников EFD и CEF , проведённые к стороне EF , равны между собой и равны половине высоты трапеции h. Имеем

Читайте также:  Задание 17 на клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена трапеция найдите ее площадь

Приведем другое решение.

Проведём EF параллельно Поскольку и по теореме Фалеса получаем, что Следовательно, EF — средняя линия. Пусть h — длина высоты трапеции. Площадь трапеции равна:

Откуда получаем, что

Приведем еще одно решение.

Продолжим СE до пересечения с прямой AD в точке K. Заметим, что в треугольниках KAE и BCE стороны AE и BE равны по условию, углы при вершине E равны как вертикальные, а углы EAK и CBE равны как накрест лежащие. Значит, треугольники KAE и BCE равны.

Следовательно, их площади равны, то есть площадь трапеции равна площади треугольника CDK. Но из равенства треугольников также вытекает, что KE = CE, то есть DE — медиана в треугольнике CDK. Тогда треугольник DEC по площади составит половину треугольника CDK, а значит, и данной трапеции.

Источник

Решение №2714 Точка Е – середина боковой стороны АВ трапеции АВСD.

Точка Е – середина боковой стороны АВ трапеции АВСD. Докажите, что сумма площадей треугольников ВСЕ и АDЕ равна половине площади трапеции.

Источник: ОГЭ Ященко 2022 (36 вар)

Проведём через точку Е высоту НК трапеции ABCD:

ЕН является высотой ΔВСЕ, ЕК является высотой ΔADE.
Рассмотрим ΔЕНВ и ΔЕAK, они прямоугольные (∠ВНЕ = ∠КАЕ = 90°), гипотенузы ЕВ = АЕ, т.к. Е середина, ∠НВЕ = ∠ЕАК, как накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей.
Значит ΔЕНВ = ΔЕAK, тогда соответствующие стороны равны:

ЕН = ЕК

Площадь трапеции АВСD находится по формуле:

Площадь ΔВСЕ:

S_=\frac<1><2>\cdot BC\cdot EH=\frac<1><2>\cdot BC\cdot EK

Площадь ΔADE:

S_=\frac<1><2>\cdot AD\cdot EK

Cумма площадей треугольников равна:

S_+S_=\frac<1><2>\cdot BC\cdot EK+\frac<1><2>\cdot AD\cdot EK=\frac<1><2>\cdot EK\cdot (BC+AD)=\frac<1><2>\cdot (BC+AD)\cdot EK

Читайте также:  Как считается длина окружности через радиус

Сравним формулы площади трапеции и суммы площадей треугольников, видим, что разница только в EK и HK, но:

Получаем, что и сумма площадей треугольников ВСЕ и АDЕ равна половине площади трапеции.
Что и требовалось доказать.

Источник

Точка е середина боковой стороны ав трапеции авсд докажите что площадь есд равна половине площади

Дана трапеция ABCD, где AB = BC = CD, точка E лежит на плоскости так, что BEAD и CEBD

а) Докажите, что углы AEB и BDA равны.

б) Найдите площадь трапеции, если AB = 50, а

а) Докажем, что точка E лежит на окружности, описанной вокруг трапеции ABCD. В самом деле, углы BEC и BDA равны как углы с соответственно перпендикулярными сторонами, а углы BDA и BDC равны как опирающиеся на равные дуги. Следовательно, ∠BEC = ∠BDC, а потому и точки B, E, D, C лежат на одной окружности. Тогда углы BEA и BDA равны как опирающиеся на одну дугу.

б) По доказанному ранее углы AEB, BDA, BDC равны, откуда ,

Пусть K — точка пересечения AD и BE, тогда из прямоугольного треугольника ABK получаем и

.

Так как трапеция ABCD — равнобедренная, а BK — её высота, средняя линия трапеции равна Окончательно получаем:

Критерии оценивания выполнения задания Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Источник

Поделиться с друзьями
Объясняем