Точка равноудаленная от всех сторон трапеции

Биссектрисы углов A и D трапеции

Биссектрисы углов A и D трапеции ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC. Доказать, что точка M равноудалена от прямых AB, AD и CD.

Расстояние от точки до прямой измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую. Таким образом, чтобы доказать, что точка M равноудалена от прямых AB, AD и CD , требуется доказать равенство перпендикуляров, проведённых из точки M к прямым, содержащим стороны трапеции AB, AD и CD.

Дано : ABCD — трапеция, AD∥BC, AM — биссектриса ∠BAD, DM — биссектриса ∠DAB, AM∩DM=M, M∈BC,

1) Рассмотрим треугольники AMK и AMF. ∠AKM=90º, ∠AFM=90º (по условию).

∠MAK=∠MAF (так как AM — биссектриса ∠BAD по условию).

Гипотенуза AM — общая.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: MK=MF.

2) Аналогично, из равенства треугольников DMK и DME следует MK=ME.

3) Значит, MF=MK=ME.

Что и требовалось доказать .

Если точка пересечения биссектрис углов при основании трапеции принадлежит другому основанию, то эта точка равноудалена от трёх сторон трапеции.

Для доказательства можно непосредственно воспользоваться свойством биссектрисы угла.

Так как любая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон, то для угла BAD MF=MK, для угла ADC MK=ME, откуда следует, что все три отрезка равны: MF=MK=ME.

Источник

Что то не выходит Геометрия

на плоскости существует точка равноудаленная от всех сторон трапеции.найти радиус окружности , описанной около трапеции, если её средняя линия равна 4, а тупой угол трапеции равен 120 градусов

(ответ какой та ужасный , у меня без чисел выходит, через стороны только)

задан 30 Сен ’13 18:07

parol
391 ● 1 ● 20 ● 95
44&#037 принятых

2 ответа

Условие несколько странное, потому что описать окружность около трапеции можно не всегда. Поэтому будем предполагать, что возможность описать такую окружность — это часть условия.

Прежде всего, вписанная трапеция является равнобочной. Но в условии также дано, что она описанная — так как существует точка, равноудалённая от сторон. А у четырёхугольника с таким свойством равны суммы длин противоположных сторон. Из того, что средняя линия равна 4, находится сумма длин оснований: она равна 8. Значит, боковые стороны в сумме тоже равны 8, то есть каждая из них равна 4. Если теперь воспользоваться тем, что острый угол при вершине трапеции равен 60 градусам, отсюда легко находятся длины оснований — это 2 и 6.

Далее, если $%R$% — радиус описанной окружности, то высота трапеции, проходящая через её центр, состоит из двух частей, каждая из которых находится по теореме Пифагора, а вместе они дают высоту трапеции, равную $%2\sqrt<3>$%. Это приводит к уравнению $%\sqrt+\sqrt=2\sqrt<3>$%, решая которое, получаем $%R=2\sqrt<7>$%.

отвечен 30 Сен ’13 18:54

falcao
278k ● 9 ● 37 ● 51

Во-первых в трапецию можно вписать окружность (существует точка равноудаленная от всех сторон трапеции). Из условия следует, что вокруг трапеции можно описать окружность, значит она равнобедренная. Сумы противоположных сторон трапеции равны, поэтому боковая сторона равна 4. Если из вершины тупого угла трапеции провести высоту, то основание высоты поделит большее основание на отрезки, больший из которых равен средней линии трапеции. Дальше найдите диагональ трапеции, и воспользуйтесь формулой радиуса окружности, описанной около треугольника.

отвечен 30 Сен ’13 19:04

Здравствуйте

Математика — это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Источник

геометрия 8-9класс где то, нужно решить, и желательно пояснить.

а) В прямоугольной трапеции с острум углом равным «a», существует точка,равноудаленная от всех сторон трапеции. Найти площадь трапеции, если расстояние от этой точки довершины тупого угларавно «m».

и если не трудно ляньте еще такую:
б) Каждая из боковых сторон равнобедренного треугольника равна 5дм. Из тчоки,взятой на основании этого треугольника, првоедены две прямые, параллельные боковым сторона. Найти периметр поулчившегося параллелограмма.

заранее, всем попытавшимся помоч спасибо (:

по-моему, треугольники FED и DEG равны (оба прямоугольные, есть равные стороны длиной m, есть общая сторона.
угол FDG = 180-a, тогда FDE=GDE= (180-а) /2 = 90 — a/2

по теореме синусов можно из тр. DEG найти длину EG
EG=EF=EI=EH
из тр. DFE можно будет так же (по т. синусов) найти FD.
Т. к. CF=EI (а они уже будут найдены к этому моменту) ,

найдёшь площадь прямоугольника BCDJ = (EI+FD)*2EF

Теперь по т. синусов в тр. ADJ находишь длину AJ (ведь DJ = 2EF, угол ADJ = 90-a).
Площадь тр. ADJ = 1/2 * AJ * 2 EF(уже тоже известно) .

Складываешь площади двух фигур (прямоугольника и треугольника) — ответ готов

Не стала решать с переменными, т. к. могу запутаться в синусах/косинусах (школу давно закончила)

А во второй задаче даже не знаю, как подступиться 🙁 хоть бы была какая пропорция, на каком именно месте стоит точка.. .

Источник

Точка равноудаленная от всех сторон трапеции

Вопрос по геометрии:

на плоскости существует точка равноудаленная от всех сторон трапеции. найти радиус окружности , описанной около трапеции, если её средняя линия равна 4, а тупой угол трапеции равен 120 градусов

Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?

Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!

Ответы и объяснения 1

на плоскости существует точка равноудаленная от всех сторон, значит она еще описанная а так как если в четырехугольник можно вписать окружность то сумма противоположенных стороны равна сумме боковых , так как по условию следует что трапеция равнобедренная так как она вписана в окружность!
пусть а боковые стороны а x и у основания , тогда средняя линия равна , значит

боковые стороны равны 4, теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BEC.
Так по условию дано что оно равна 120 гр, то значит угол EBC равна 120-90=30гр
Так как EC

Значит
решая систему получим что нижнее основание равно 6 ,верхнее 2
Теперь чтобы найти Радиус Описанной окружности можно рассмотреть треугольник DBC;По формуле

Найдем d, по теореме косинусов

Знаете ответ? Поделитесь им!

Как написать хороший ответ?

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

• Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
• Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
• Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.

Этого делать не стоит:

• Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
• Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
• Использовать мат — это неуважительно по отношению к пользователям;
• Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.

Есть сомнения?

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Геометрия.

Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи — смело задавайте вопросы!

Геометрия — раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.

Источник

Точка равноудаленная от всех сторон трапеции

Окружность с центром в точке O высекает на всех сторонах трапеции ABCD равные хорды.

а) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной и той же точке.

б) Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую сторону AB в точках K и L так, что AK = 15, KL = 6, LB = 5.

a) Расстояние от центра окружности до хорд одинаковой длины равны. Следовательно, точка O равноудалена от прямых AB, BC, CD и AD. Значит, она лежит на биссектрисе каждого из углов трапеции.

б) Опустим из точки O перпендикуляры OU, OV и OW на стороны AD, AB и BC соответственно. Тогда UW — высота трапеции, а точка V — середина отрезка KL. Значит, Пусть BH — высота трапеции. В прямоугольном треугольнике ABH имеем:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Аналоги к заданию № 520805: 520917 520855 520881 Все

Источник