Точка равноудалена от всех сторон равнобедренного треугольника

помогите решить задачу по геометрии

Нашла подобную задачу:

В треугольнике ABC AC=CB=10см, угол A=30 градусов, BK- перпендикуляр у плоскости треугольника и равен 5 см. Найти расстояние от K до AC

Рассмотрим образованную пирамиду АВСК. КВ перпендикулярно АВС, значит нам необходимо найти длину высоты, опущенной в грани АСК из вершины К на АС. По теореме о трех перпендикулярах ее проекция на плоскость АВС будет перпендикулярна АС. Обозначим точку пересечения высоты с АС через Н. Тогда нужно найти КН.
Рассмотрим основание пирамиды — треугольник АВС. Он равнобедренный АС=ВС=10, с углом у основания А=30 градусов. Опустим высоту из вершины треугольника С на АВ — СМ. Высота, опущенная из точки С, будет и биссектрисой, и медианой треугольника. То есть АМ=МВ. Треугольник АСМ — прямоугольный, с одним из осмтрых углов = 30 градусов, значит катет, лежащий против этого угла, равен половине гипотенузы: АМ=1/2*АС, АМ=1/2*10=5 (см) . По теореме Пифагора найдем второй катет СМ:
CM=sqrt(AC2-AM2)
CM=sqrt(100-25)=sqrt75=5sqrt3
BH- проекция КН на плоскость основания АВС, и, как было уже отмечено, ВН перпендикулярна АС. Рассм отрим треугольники АНВ и АМС- они подобны:
АН/АМ=НВ/МС=АВ/АС
НВ/МС=АВ/АС
НВ=МС*АВ/АС
НВ=5*(2*5sqrt3)/10=5sqrt3
Треугольник КНВ — прямоугольный (КВ перпендикулярно плоскости АВС) . По теореме Пифагора найдем КН:
KH2=KB2+HB2
KH=sqrt(25+75)=sqrt100=10 (см)

Условие:
Точка М равноудалена от всех вершин равнобедренного прямоугольного треугольника АВС (угол С=90 градусов) . АС=ВС=4см. Расстояние от точки М до плоскости треугольника равно 2*sqrt(3) см. Найдите расстояние от точки Е — середины стороны АВ — до плоскости ВМС.
Решение:
Поскольку треугольник ABC прямоугольный и равнобедренный, то AE = CE = BE, а это значит, что E — это проекция точки M на плоскость ABC и ME = 2*sqrt(3).

Пусть D — середина BC.
Искомое расстояние будет равно длине перпендикуляра EH, опущенного из точки E к MD.
ED = AC/2 = 2.
Отсюда MD = sqrt(ME^2+ED^2) = sqrt(12+4) = 4.

Прямоугольные треугольники EHD и MED подобны (угол D общий) , значит,
ED/MD = EH/ME.
Отсюда
EH = ME/2 = sqrt(3).

Источник

Свойство точек биссектрисы угла — определение и вычисление с доказательствами и примерами решения

Свойство точек биссектрисы угла:

По определению биссектриса угла делит угол пополам.

У биссектрисы есть еще одно важное свойство.

Теорема (о биссектрисе угла).

Любая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон угла. Если точка внутри угла равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе этого угла.

В данной теореме два утверждения: прямое и ему обратное. Докажем каждое из этих утверждений отдельно.

1) Дано: AD — биссектриса

Доказательство:

Прямоугольные треугольники АКМ и ANM равны по гипотенузе и острому углу (гипотенуза AM — общая, KAM =NAM, так как AD — биссектриса). Катеты МК и MN равны как соответствующие в двух равных треугольниках.

2) Дано: BAC, МКAB, MNAC, МК = MN, MAD (рис. 272).

Доказать: луч AD — биссектриса BAC.

Доказательство:

Прямоугольные треугольники АКМ и ANM равны по катету и гипотенузе (гипотенуза AM — общая, МК = MN по условию). Углы КAM и NAM равны как соответствующие в двух равных треугольниках, откуда луч AD — биссектриса BAC. Теорема доказана.

Из доказанной теоремы следует, что биссектриса является геометрическим местом точек плоскости, находящихся внутри угла и равноудаленных от сторон угла.

Пример:

В прямоугольном треугольнике ABC C = 90°, A = 40° (рис. 273). На катете АС взята точка К так, что КС=6 см и KBC = 25°. Найти расстояние от точки К до прямой АВ.

Решение:

Искомое расстояние равно длине перпендикуляра КМ к прямой АВ. Так как ABC = 90° —A = 90° — 40° = 50°, то ABK = 50° — 25° = 25°. Следовательно, ВК — биссектриса угла ABC. Поскольку любая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон угла, то КМ = КС = 6 см.

Читайте также:  Vwa0563 трапеция стеклоочистителя startvolt

Пример: (2-я замечательная точка треугольника).

Доказать, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство:

Проведем в АВС биссектрисы углов А и С. Пусть О — точка их пересечения (рис. 274).

Так как точка О лежит на биссектрисе АО угла А, то она равноудалена от сторон угла А, то есть равны перпендикуляры ON и ОК к сторонам угла А. Так как точка О лежит на биссектрисе СО угла С, она равноудалена от сторон угла С, то есть равны перпендикуляры ОК и ОМ к сторонам угла С. Тогда ОК = ОМ = ON. Так как перпендикуляры ON и ОМ равны, то точка О равноудалена от сторон угла В. Точка, равноудаленная от сторон угла, лежит на биссектрисе этого угла. Поэтому биссектриса угла В пройдет через точку О, и, следовательно, все три биссектрисы пересекутся в одной точке.

Замечание. Точка пересечения биссектрис треугольника является центром вписанной в него окружности (рис. 275), которая касается всех трех сторон треугольника (имеет с каждой из сторон только одну общую точку).

Пример:

В треугольнике ABC биссектрисы углов А и В пересекаются в точке К. Через точку К проведен отрезок NM, параллельный стороне АС с концами на сторонах АВ и ВС соответственно; AN = 6 см, МС = 4 см. Найти отрезок NM.

Решение:

Так как биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, то СК — биссектриса угла С (рис. 276).

Треугольник ANK — равнобедренный. Действительно, NAK =CAK, поскольку АК — биссектриса, CAK =AKN как накрест лежащие при параллельных прямых NM и АС и секущей АК, откуда NAK =AKN и треугольник ANК — равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника. Тогда NK=AN=6 см. Аналогично доказываем, что треугольник KMC — равнобедренный и КМ=МС=4 см.

Искомый отрезок NM = NK + КМ = 6 + 4=10 (см).

Замечание. Решив задачу 3, мы доказали, что если NM || АС и отрезок NM проходит через точку пересечения биссектрис, то периметр NBM равен АВ+ВС.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°
  • Четырехугольник и его элементы
  • Четырехугольники и окружность
  • Параллелограмм, его свойства и признаки
  • Признаки равенства прямоугольных треугольников
  • Соотношения в прямоугольном треугольнике
  • Сумма углов треугольника
  • Внешний угол треугольника

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Школе NET

Register

Do you already have an account? Login

Login

Don’t you have an account yet? Register

Newsletter

Submit to our newsletter to receive exclusive stories delivered to you inbox!

Главный Попко

Решите пожалуйстаа!)) Заранее спасибо!) 2. Точка М равноудалена от всех вершин равнобедренного прямоугольного треугольника АСВ (

Лучший ответ:

Энджелл

1.Поскольку М равноудалена от вершин АВС, то её проекция О на поскость ABC тоже равноудалена от вершин, то есть О — центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника АВС. Поэтому О лежит точно в середине гипотенузы.

Читайте также:  Торт сникерс прямоугольный рецепт

СО перпендикулярно АВ, поскольку треугольник равнобедренный, и медиана одновременно — высота. МО перпендикулярно СО, поскольку МО вообще перпендикулярно плоскости АВС. Поэтому плоскости АВС и АМС взамино перпендикулярны, а угол МОС — их двугранный угол, равный, само собой, 90 градусов. Далее «пп» означает «перпендикулярно» «тр» — «треугольник» «птр» — прямоугольный «тр» :)))

2. ОР пп АВ; СР = РВ = РО = 2; МО = 2*SQRT(3); Поэтому tg(MPO) = 1/SQRT(3);

Угол МРО = 60 градусам.

3. В птр OMC СО = АС*sin(45) = 2*SQRT(2); MO = 2*SQRT(3); tg(MCO) = SQRT(3/2);

4. Достаточно найти расстояние от точки О до плоскости МСВ, поскольку ЕО параллельно ВС, а — следовательно, и всей плоскости ВМС.

Источник

Математика

Урок 3: Четыре замечательные точки треугольника

  • Видео
  • Тренажер
  • Теория

Заметили ошибку?

Четыре замечательные точки треугольника.

С каждым треугольником связаны четыре точки: точка пересечения медиан, точка пересечения биссектрис, точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам и точка пересечения высот (или их продолжений). Эти четыре точки называются замечательными точками треугольника.

Задан отрезок АВ. У любого отрезка есть середина, и через нее можно провести перпендикуляр – обозначим его за р. Таким образом, р – серединный перпендикуляр.

Теорема (основное свойство серединного перпендикуляра): любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре, равноудалена от концов отрезка.

Доказать, что АМ = МВ

Рассмотрим треугольники ⊿ МОА и ⊿ МОВ . Они прямоугольные и равные, т.к. имеют общий катет ОМ, а катеты АО и ОВ равны по условию, таким образом, имеем два прямоугольных треугольника, равных по двум катетам. Отсюда следует, что гипотенузы треугольников тоже равны, то есть АМ = МВ, что и требовалось доказать.

Справедлива обратная теорема.

Теорема. Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Задан отрезок АВ, серединный перпендикуляр к нему р, точка М, равноудаленная от концов отрезка.

Доказать, что точка М лежит на серединном перпендикуляре к отрезку.

Рассмотрим треугольник АВМ. Он равнобедренный, так как АМ = МВ по условию. Рассмотрим медиану треугольника: точка О – середина основания АВ, ОМ – медиана. Согласно свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к его основанию, является одновременно высотой и биссектрисой. Отсюда следует, что ОМ⟂АВ. Но прямая р также перпендикулярна АВ. Мы знаем, что в точку О можно провести единственный перпендикуляр к отрезку АВ, значит, прямые ОМ и р совпадают, отсюда следует, что точка М принадлежит прямой р, что и требовалось доказать.

Если необходимо описать окружность около одного отрезка, это можно сделать, и таких окружностей бесконечно много, но центр каждой из них будет лежать на серединном перпендикуляре к отрезку.

Говорят, что серединный перпендикуляр есть геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка.

Треугольник состоит из трех отрезков. Проведем к двум из них серединные перпендикуляры и получим точку О их пересечения.

Точка О принадлежит серединному перпендикуляру к стороне ВС треугольника, значит, она равноудалена от его вершин В и С, обозначим это расстояние за R, то есть ОВ = ОС = R.

Кроме того, точка О находится на серединном перпендикуляре к отрезку АВ, т.е. OA = OB, вместе с тем OB = R, отсюда OA = R.

Таким образом, точка О пересечения двух серединных перпендикуляров треугольника равноудалена от его вершин, а значит, она лежит и на третьем серединном перпендикуляре.

Три серединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке – центре описанной окружности.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим серединные перпендикуляры m и n к сторонам АВ и ВС треугольника АВС. Эти прямые пересекаются в некоторой точке О. В самом деле, если предположить противное, т.е. то, что m||n, то прямая ВА, будучи перпендикулярной к прямой m, была бы перпендикулярна и к параллельной ей прямой n, а тогда через точку В проходили бы две прямые ВА и ВС, перпендикулярные к прямой n, что невозможно.

Читайте также:  Зависимость высоты прямоугольного треугольника опущенной на гипотенузу от длин его сторон

По доказанной теореме ОВ = ОА и ОВ = ОС. Поэтому ОА = ОС, то есть точка О равноудалена от концов отрезка АС и, значит, лежит на серединном перпендикуляре р к этому отрезку. Следовательно, все три серединных перпендикуляра m, n, p к сторонам треугольника АВС пересекаются в точке О.

Итак, мы рассмотрели первую замечательную точку треугольника – точку пересечения его серединных перпендикуляров.

Перейдем к свойству произвольного угла.

Задан угол ∠ ВАС , его биссектриса AL, точка М лежит на биссектрисе.

Свойство биссектрисы угла:

Если точка М лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон угла, то есть расстояния от точки М до АС и до ВС сторон угла равны.

Расстояние от точки до прямой есть длина перпендикуляра. Проведем из точки М перпендикуляры МК к стороне АВ и МР к стороне АС.

Рассмотрим треугольники ⊿ АМК и ⊿ АМР . Это прямоугольные треугольники, и они равны, т.к. имеют общую гипотенузу АМ, а углы ∠ КАМ и ∠ РАМ равны, так как AL – биссектриса угла ∠ ВАС . Таким образом, прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и острому углу, отсюда следует, что МК = МР = d, что и требовалось доказать. Таким образом, точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон этого угла.

Справедлива обратная теорема.

Теорема. Если точка равноудалена от сторон неразвернутого угла, то она лежит на его биссектрисе.

Задан неразвернутый угол ∠ ВАС , точка М, такая, что расстояние от нее до сторон угла одинаковое. Доказать, что точка М лежит на биссектрисе угла.

Расстояние от точки до прямой есть длина перпендикуляра. Проведем из точки М перпендикуляры МК к стороне АВ и МР к стороне АС.

Рассмотрим треугольники ⊿ АМК и ⊿ АМР . Это прямоугольные треугольники, и они равны, т.к. имеют общую гипотенузу АМ, катеты МК и МР равны по условию. Таким образом, прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов, против равных катетов лежат равные углы, таким образом, ∠ КАМ и ∠ РАМ равны , следовательно, точка М лежит на биссектрисе данного угла.

Если необходимо вписать в угол окружность, это можно сделать, и таких окружностей бесконечно много, но центры вписанных окружностей лежат на биссектрисе данного угла.

Говорят, что биссектриса есть геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.

Треугольник состоит из трех углов. Построим биссектрисы двух из них, получим точку О их пересечения.

Точка О лежит на биссектрисе угла ∠ В , значит, она равноудалена от его сторон АВ и ВС, обозначим расстояние за r: ρ(О,АВ) = ρ(О,ВС) = r. Также точка О лежит на биссектрисе угла ∠ C , значит, она равноудалена от его сторон АС и ВС, то есть ρ(О,АC) = ρ(О,ВС), ρ(О,ВС) = r, отсюда ρ(О,АC) = r.

Несложно заметить, что точка пересечения биссектрис равноудалена от сторон третьего угла, а значит, она лежит на биссектрисе угла ∠ A . Таким образом, все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности.

Итак, мы рассмотрели вторую замечательную точку треугольника – точку пересечения биссектрис.

Аналогичным свойством обладают высоты и медианы.

Высоты треугольника (или их продолжение) пересекаются в одной точке.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Источник

Поделиться с друзьями
Объясняем