Теоремы с окружностями касающимися внутренним образом

Содержание
  1. Президентский ФМЛ №239
  2. Инструменты пользователя
  3. Инструменты сайта
  4. Содержание
  5. Окружность
  6. Касательные и хорды
  7. Теорема
  8. Третий случай
  9. Определение
  10. Определение
  11. Теорема о характерном свойстве касательной
  12. Доказательство
  13. Докажем первый пункт теоремы.
  14. Докажем второй пункт теоремы.
  15. Теорема
  16. Доказательство
  17. Свойства хорд окружности
  18. Доказательство
  19. Докажем первый пункт теоремы.
  20. Докажем второй пункт теоремы.
  21. Докажем третий пункт теоремы.
  22. Касание двух окружностей
  23. Теоремы с окружностями касающимися внутренним образом
  24. ТАБЛИЦА «Окружности»
  25. 1. Касательная. Свойство касательной.
  26. 2. Признак касательной.
  27. 3. Построение касательной циркулем и линейкой.
  28. 4. Свойство касательных, проведенных из одной точки к окружности.
  29. 5. Свойство окружностей, вписанных в угол.
  30. 6. Взаимное расположение двух окружностей.
  31. 8. Центральный угол. Градусная мера дуги. Вписанный угол.
  32. 9. Свойство вписанного угла.
  33. 10. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу.
  34. 11. Вписанный угол, опирающийся на диаметр.
  35. 12. Угол между касательной и хордой.
  36. 13. Угол между двумя пересекающимися хордами.
  37. 14. Угол: а) между двумя секущими, б) между касательной и секущей, в) между двумя касательными.
  38. 15. Свойство отрезков пересекающихся хорд.
  39. 16. Свойство касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности.
  40. ЭТО НУЖНО ЗНАТЬ !

Президентский ФМЛ №239

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Содержание

Окружность

1. Окружность – это геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.

2. Геометрическое место точек, удаленных от заданной точки $O$ на заданное расстояние $R$, называют окружностью с центром в точке $O$ и радиусом $R$.

Обозначают такую окружность так: $\omega(O;R)$.

Касательные и хорды

Теорема

Если $d$ – это расстояние от точки $O$ до прямой $l$, а $\omega$ – окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$, тогда

Третий случай

В этом случае $OH>r$, поэтому для любой точки $M$ прямой $p$ $OM\geqslant OH>r$.

Следовательно, точка $M$ не лежит на окружности.

Определение

Определение

Касательная к кривой – это предельное положение секущей.

Теорема о характерном свойстве касательной

Доказательство

Докажем первый пункт теоремы.

Пусть $p$ – касательная к окружности с центром $O$, $A$ – точка касания.

Докажем, что $p\perp OA$.

Предположим, что это не так.

Тогда радиус $OA$ является наклонной к прямой $p$.

Так как перпендикуляр, проведенный из точки $O$ к прямой $p$, меньше наклонной $OA$, то расстояние от от точки $O$ до прямой $p$ меньше радиуса.

Следовательно, прямая $p$ и окружность имеют две общие точки.

Но это противоречит условию, так как $p$ – это касательная.

Таким образом $p\perp OA$.

Докажем второй пункт теоремы.

Из условия следует, что данный радиус является перпендикуляром, проведенным из центра окружности к данной прямой.

Поэтому расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, и, следовательно, прямая и окружность имеют только одну общую точку.

Но это и означает, что данная прямая является касательной к окружности.

Теорема

Доказательство

Рассмотрим окружность с центром в точке $O$, вписанную в угол $M$.

Пусть данная окружность касается сторон угла в точках $A$ и $B$.

Докажем, что $\angle AMO=\angle BMO$.

Действительно, треугольники $AMO$ и $BMO$ равны, по катету и гипотенузе ($OA=OB$, $OM$ – общая).

Тогда $\angle AMO=\angle BMO$ и $MA=MB$.

Кроме того, так как треугольник $\triangle MAB$ равнобедренный, а $MH$ – не только биссектриса угла $\angle AMB$, но и медиана и высота, то есть $AH=HB, AB\perp MO$.

Свойства хорд окружности

Доказательство

Докажем первый пункт теоремы.

Рассмотрим окружность с центром $O$, в которой хорда $AB$ пересекает диаметр $CD$ в точке $E$.

Читайте также:  Как разобрать трапецию дворников 2110

Если $E$ – это середина $AB$, то $OE$ – это медиана равнобедренного треугольника $AOB$, а, следовательно, и $OE$ – высота.

Обратно, если $OE$ — высота, то и медиана.

Докажем второй пункт теоремы.

Рассмотрим окружность с центром $O$, в которой проведены хорды $AB$ и $CD$.

Пусть расстояния $OE$ и $OF$ до этих хорд равны.

Тогда треугольники $OAE, OEB, OFD$ и $OFC$ равны по катету и гипотенузе ($OA=OB=OD=OC$, так как это радиусы).

Тогда $AE=EB=DF=FC$, и, следовательно, $AB=2AE=2DF=CD$.

Докажем третий пункт теоремы.

Рассмотрим окружность с центром $O$, в которой проведены хорды $AB$ и $CD$.

Если $\angle AOB=\angle COD$, то $\triangle AOB=\triangle COD$ по первому признаку равенства ($CO=OB=OD=OA$, так как это радиусы), следовательно, $AB=CD$.

Обратно, если $AB=CD$, то $\triangle AOB=\triangle COD$ по третьему признаку равенства, следовательно, $\angle AOB=\angle COD$.

Источник

Касание двух окружностей

Две окружности, имеющие общую точку, касаются в этой точке, если они имеют в ней общую касательную.

Общая точка двух окружностей называется точкой касания окружностей.

Касание окружностей может быть внешним и внутренним.

Внешнее касание окружностей — это касание, при котором центры окружностей лежат по разные стороны от общей касательной.

Внутреннее касание окружностей — касание, при котором центры окружностей лежат по одну сторону от общей касательной.

Касающиеся окружности имеют только одну общую точку — точку касания.

Центры касающихся окружностей и их общая точка касания лежат на одной прямой.

При любом виде касания по свойству касательной касательная перпендикулярна радиусам, проведённым в точку касания:

По теореме о существовании и единственности прямой, перпендикулярной данной,через точку A можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной прямой k.

Следовательно, все три точки: центры окружностей O1, O2 и A лежат на одной прямой.

Что и требовалось доказать .

При внешнем касании расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов:

При внутреннем касании расстояние между центрами окружностей равно разности радиусов:

Источник

Теоремы с окружностями касающимися внутренним образом

Наглядная геометрия 9 класс. Опорный конспект 1. Окружности

На плоскости прямая может не иметь с окружностью общих точек, может иметь с ней одну общую точку — в этом случае она называется касательной, и может пересекать окружность в двух точках — такая прямая называется секущей. Других вариантов взаимного расположения прямой и окружности нет. Вариантов взаимного расположения двух окружностей больше — 5, поскольку одна из окружностей может располагаться как снаружи, так и внутри другой окружности.

Углы, связанные с окружностью, имеют определенные названия. Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным. Оказывается, что вписанный угол равен 1/2 соответствующего центрального угла.

В этом конспекте мы узнаем, что дуга окружности может измеряться в градусах. Мы научимся вычислять угол между пересекающимися хордами, между секущими, между касательной и хордой, имеющими общую точку. Еще мы выясним, как связаны отрезки пересекающихся хорд, а также отрезок касательной и отрезки секущей, проведенных из одной точки к окружности.

ТАБЛИЦА «Окружности»

1. Касательная. Свойство касательной.

Касательной называется прямая, которая имеет единственную общую точку с окружностью.

Теорема (свойство касательной). Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

Доказательство. Дана касательная. Она имеет единственную общую точку с окружностью. Другие точки прямой лежат вне окружности и поэтому дальше от центра (расстояние до них больше радиуса). Значит, длина радиуса, проведенного в точку касания, — это КРАТЧАЙШЕЕ расстояние от центра до касательной. А кратчайшее расстояние измеряется длиной перпендикуляра.

Читайте также:  Тест по геометрии номер 3 трапеция

2. Признак касательной.

Теорема (признак касательной). Прямая, перпендикулярная радиусу в конечной его точке на окружности, является касательной.

Доказательство. (Все рассуждения проводятся как в предыдущей теореме, только в обратном порядке.)

Радиус перпендикулярен к прямой (она еще не касательная!). Длина перпендикуляра — это КРАТЧАЙШЕЕ расстояние от центра до прямой. Значит, другие точки прямой лежат дальше от центра. Так как расстояние до них больше радиуса, то все они лежат вне окружности и прямая имеет единственную общую точку с окружностью. А такая прямая является касательной.

3. Построение касательной циркулем и линейкой.

Построение касательной циркулем и линейкой. Соединяем данную точку с центром окружности. На полученном отрезке как на диаметре строим окружность, которая пересекает данную. Через данную точку и точку пересечения окружностей проводим прямую, которая и будет касательной.

Доказательство. Так как угол с вершиной на окружности, опирающийся на диаметр, — прямой (доказано нами в 7 классе), то построенная прямая проходит через точку на окружности перпендикулярно радиусу, проведенному в эту точку. Она является касательной по признаку касательной.

Исследование. Из данной точки вне окружности можно провести две касательных. Задача имеет два решения.

4. Свойство касательных, проведенных из одной точки к окружности.

Теорема. Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой.

Доказательство. Соединим данную точку с центром окружности. Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным. Прямоугольные треугольники равны по катету и общей гипотенузе. Отсюда следует равенство отрезков касательных.

5. Свойство окружностей, вписанных в угол.

Теорема. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла.

Доказательство. Опустив радиусы в точки касания, получим, что центр окружности равноудален от сторон угла. А биссектриса — это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла (доказано нами в 7 классе).

6. Взаимное расположение двух окружностей.

R и r — радиусы окружностей, d — расстояние между ними. 1) d > R + r — окружности не пересекаются и расположены внешним образом; 2) d = R + r — касаются внешним образом — одна общая точка; 3) R – r 7. Длина отрезка общей внешней касательной.

Задача. Окружности с радиусами R и r касаются внешним образом. Найти отрезок общей внешней касательной, заключенный между точками касания.

Решение. Проведем радиусы в точки касания. Они перпендикулярны касательной. Из центра меньшей окружности проведем прямую, параллельную касательной. Получим прямоугольник (три угла четырехугольника — прямые). Две его стороны равны радиусу меньшей окружности, две другие — искомому отрезку касательной. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна R + r, а катет равен R – r. Ho теореме Пифагора находим второй катет. Искомый отрезок

8. Центральный угол. Градусная мера дуги. Вписанный угол.

Центральным называется угол с вершиной в центре окружности. Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается. (Иногда говорят просто: центральный угол равен дуге, на которую он опирается, имея в виду их градусные меры.) Полуокружность содержит 180°, окружность — 360°.

Вписанным называется угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. Центральный и вписанный углы соответствующие, если они опираются на одну и ту же дугу окружности, которая заключена внутри угла.

9. Свойство вписанного угла.

Теорема. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, или половине соответствующего центрального угла.

Доказательство. Случай 1. Сторона вписанного угла проходит через диаметр. Угол АОС равен сумме углов 1 и 2 как внешний. Но ΔАОВ — равнобедренный (ОА = ОВ как радиусы). Поэтому углы 1 и 2 равны. Вписанный угол 1 равен половине центрального угла АОС, а значит, и половине дуги АС.

Читайте также:  Если центральный угол опирается на хорду равную радиусу окружности

Случай 2. Стороны угла лежат по разные стороны от центра. Проведем диаметр ВК. Углы АВК и СВК равны половине дуг АК и СК. Угол АВС равен полусумме этих дуг, т. е. половине дуги АС.

Случай 3. Стороны угла лежат по одну сторону от центра. Проведем диаметр ВК. Углы АВК и СВК равны половине дуг АК и СК. Угол АВС равен полуразности этих дуг, т. е. половине дуги АС.

10. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу.

Следствие 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Доказательство. Каждый из этих углов равен половине их общей дуги.

11. Вписанный угол, опирающийся на диаметр.

Следствие 2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой, и, наоборот, если вписанный угол прямой, то он опирается на диаметр.

Доказательство. Если вписанный угол опирается на диаметр, то соответствующий центральный угол — развернутый, а вписанный угол равен его половине, т. е. 90°.

Если вписанный угол — прямой, то соответствующий центральный угол равен 180°, т. е. он — развернутый. Поэтому прямой вписанный угол опирается на диаметр.

12. Угол между касательной и хордой.

Теорема. Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключенной внутри угла.

Доказательство. ∠1 и ∠2 дополняют ∠3 до 90°. Поэтому ∠1 = ∠2, a ∠2 равен половине центрального угла, т. е. половине дуги а.

13. Угол между двумя пересекающимися хордами.

Теорема. Угол между пересекающимися хордами равен полусумме дуг, заключенных внутри данного и внутри вертикального ему угла.

Доказательство . Соединим концы хорд. ∠1 — внешний. Тогда

14. Угол: а) между двумя секущими, б) между касательной и секущей,
в) между двумя касательными.

Теорема. Угол между двумя секущими, проходящими через одну точку вне окружности, равен полуразности дуг, заключенных внутри угла.

Доказательство. Соединим первую точку пересечения первой секущей и окружности со второй точкой пересечения второй секущей и окружности. ∠3 = ∠1 + ∠2 как внешний. Тогда

Доказательство не изменится, если секущая займет крайнее положение касательной. Поэтому

  • угол между касательной и секущей равен полуразности дуг, заключенных внутри угла,
  • угол между касательными равен полуразности дуг, заключенных внутри угла.

15. Свойство отрезков пересекающихся хорд.

Теорема. Произведения отрезков пересекающихся хорд равны между собой.

Доказательство. Соединим концы хорд. Из подобия треугольников по двум углам (равны вертикальные углы и равны вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу) следует: a/n = m/b, ab = mn.

16. Свойство касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности.

Теорема. Квадрат отрезка касательной равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть.

Доказательство. Треугольники со сторонами а, x и а, у подобны по двум углам (один угол общий и закрашенные углы измеряются половиной своей дуги). Из подобия следует, что a/y = x/a, а 2 = ху.

Следствие. Для всех секущих, проведенных из одной точки, произведения всего отрезка секущей на его внешнюю часть равны между собой. (Все произведения равны квадрату отрезка общей касательной, проведенной из той же точки.)

ЭТО НУЖНО ЗНАТЬ !

Это конспект по геометрии в 9 классе «Опорный конспект 1. Окружности». Выберите дальнейшие действия:

Источник

Поделиться с друзьями
Объясняем