Sin cos tg ctg прямоугольного треугольника

Синус, косинус, тангенс в прямоугольном треугольнике

Гипотенузой называется та сторона треугольника, что лежит против угла в 90 градусов, две оставшиеся стороны называются катетами прямоугольного треугольника.

Подробнее про прямоугольный треугольник здесь.

Синусом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенсом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

Бывает (и на ЕГЭ, ГИА), что приходится иметь дело с косинусами, синусами и тангенсами внешних углов треугольника. Формулы приведения позволяют увидеть, что есть еще и вот такая связь между смежными углами (помимо того, что их сумма равна 180):

Смотрите подборку задач на применение указанных соотношений в статье «Прямоугольный треугольник. Вычисление длин и углов» часть I, часть II.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Источник

Что такое синус, косинус, тангенс и котангенс в прямоугольном треугольнике?

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника.

Приветствую Вас дорогие учащиеся.

Сейчас рассмотрим что же такое синус, косинус, тангенс и котангенс в прямоугольном треугольнике?

Это тема не сложная, главное это запомнить правила. И так начнем:

Вспомним, что такое прямоугольный треугольник?

Прямоугольным треугольником, называется треугольник у которого один из углов прямой (составляет 90 градусов). Две стороны которые прилежат к прямому углу, называются катетами, а сторона лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой.

Синус (sin(a)) — это отношение противолежащего катета к гипотенузе;

Косинус (cos(a)) — это отношение прилежащего катета к гипотенузе;

Тангенс (tg(a)) — это отношение противолежащего катета к прилежащему катету;
Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу;

Котангенс (ctg(a)) — это отношение прилежащего катета к противолежащему.
Другое (равносильное) определение: котангенсом острого угла называется отношение косинуса угла к его синусу;

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C.

Найти sin(a); cos(a); tg(a); ctg(a) Отношение сторон в прямоугольном треугольнике

Аналогично рассуждаем относительно угла B.

Найти sin(b); cos(b); tg(b); ctg(b) Отношение сторон в прямоугольном треугольнике

Пример:

Найти тангенс угла С (tg(C)) треугольника ABC.

Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно. Без шуток. ЗДЕСЬ

Источник

Тригонометрия с нуля в 9 классе

Тригонометрия начинается в 9-м классе и это одна из самых нелюбимых тем у школьников. Не потому, что она сложная, а потому, что это что-то новое и очень необычное. Но в ОГЭ она если и встречается, то в первой части, а значит, ничего сложного там не должно быть.

Возникает интересный вопрос: как может пригодиться тригонометрия в реальной жизни? Оказывается, ее применение очень обширно: в астрономии и навигации при определении углов и направлений, в географии, в волновой физике (радио, радары, свет, рентген) и т.д. Конечно многие, кто заканчивает школу, никогда больше не столкнутся с тригонометрией, но общие знания все равно должны быть у каждого, чтобы понимать, как устроен окружающий нас мир.

Читайте также:  Какими могут быть равнобедренные треугольники

Что такое синус, косинус, тангенс и котангенс?

Тригонометрия в какой-то степени относится и к алгебре, и к геометрии. В этом уроке мы обсудим геометрическую часть тригонометрии.

А именно, нам понадобится прямоугольный треугольник. Это такой треугольник, в котором один из углов 90 градусов. Стороны, образующие прямой угол, называются катеты, для удобства обозначим их какими-нибудь буквами, например, \(a\) и \(b\). А гипотенузой называют сторону треугольника, лежащую напротив прямого угла, пусть она у нас будет \(c\). И обозначим острые углы в треугольнике за \(\alpha\) и \(\beta\).

С обозначениями закончили, без них изучать тригонометрию будет проблематично.

А теперь дадим определения тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Все эти страшные названия не существуют сами по себе, они обязательно берутся от какого-нибудь угла, например, \(\alpha\).

Синусом угла \(\alpha\) в ПРЯМОУГОЛЬНОМ треугольнике называют отношение противолежащего катета \(a\) к гипотенузе \(c\). (Противолежащий катет – это сторона, которая лежит прямо напротив угла \(\alpha\)). Посмотрите на рисунок, в нашем случае синус \(\alpha\) можно записать так:

Это и есть определение синуса: синус – это отношение определенных сторон треугольника. Ничего сложного тут нет.

Косинусом угла \(\alpha\) в прямоугольном треугольнике называют отношение прилежащего катета \(b\) к гипотенузе \(c\). (Прилежащий катет – это катет, который образует угол \(\alpha\) с гипотенузой.) Опять обратите внимание на рисунок:

Тангенсом угла \(\alpha\) называют отношение противолежащего катета \(a\) к прилежащему \(b\):

Котангенсом угла \(\alpha\) называют отношение прилежащего катета \(b\) к противолежащему \(a\):

Вот так просто вводятся определения всех тригонометрических функций через обычный прямоугольный треугольник.

Свойства тригонометрических функций

$$ \sin(\alpha) \in [-1;1];$$ $$ \cos(\alpha) \in [-1;1];$$

Для тангенса и котангенса никаких ограничений нет, они могут принимать абсолютно любые значения.

Теперь выведем несколько формул, без которых нам точно потом не обойтись. Например, можно обратить внимание, что тангенс выражается через деление синуса на косинус, просто расписав их по определению:

А последняя формула есть ни что иное, как определение тангенса: $$ tg(\alpha)=\frac;$$ Значит $$ tg(\alpha)=\frac<\cos(\alpha)>.$$

Кроме этого, легко заметить, что функции тангенса и котангенса взаимно обратны: $$tg(\alpha)*ctg(\alpha)=\frac*\frac=1.$$

А теперь мы подобрались к не самой очевидной тригонометрической формуле, но одной из самых главных во всей тригонометрии. Основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1. \qquad (1)$$

И вторая аналогичная формула для котангенса: $$1+сtg^2(\alpha)=\frac<1><\sin^2(\alpha)>;$$ Вывод один в один, сделайте сами.

Для удобства соберем все формулы вместе. $$\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1. \qquad(1)$$ $$ tg(\alpha)=\frac<\cos(\alpha)>. \qquad(2)$$ $$ctg(\alpha)=\frac<\sin(\alpha)>. \qquad(3)$$ $$tg(\alpha)*ctg(\alpha)=1.\qquad(4)$$ $$1+tg^2(\alpha)=\frac<1><\cos^2(\alpha)>. \qquad(5)$$ $$1+сtg^2(\alpha)=\frac<1><\sin^2(\alpha)>. \qquad(6)$$ Это далеко не все тригонометрические формулы, их гораздо больше. Но для начала и для 9-го класса этого вполне достаточно.

Читайте также:  Окружность касательная к окружности дуга аб найти угол

Зачем же они нужны? Оказывается, эти формулы помогают связать тригонометрические функции между собой. Посмотрите внимательно на первую формулу (1): зная, например, чему равен косинус, можно легко найти синус, и наоборот.

Пример 1 Пусть \(\cos(\alpha) =\frac<1><2>\), найдите \(\sin(\alpha)=?\)

Берем основное тригонометрическое тождество (формула (1)) и подставляем в него известный по условию задачи \(\cos(\alpha)=\frac<1><2>:\) $$\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1;$$ $$\sin^2(\alpha)+\left(\frac<1><2>\right)^2=1;$$ А дальше просто решаем получившееся уравнение относительно синуса: $$\sin^2(\alpha)=1-\left(\frac<1><2>\right)^2;$$ $$\sin^2(\alpha)=1-\frac<1><4>;$$ Приводим к общему знаменателю: $$\sin^2(\alpha)=\frac<4><4>-\frac<1><4>;$$ $$\sin^2(\alpha)=\frac<3><4>;$$ И здесь внимательно решаем квадратное уравнение: $$\sin(\alpha)=\pm\frac<\sqrt<3>><2>;$$ Обратите внимание на \(\pm\). Синус может быть как положительным, так и отрицательным, так как при подстановке и возведении в квадрат минус сгорает. Значит здесь получается два ответа.

Аналогично, зная хотя бы одну тригонометрическую функцию, можно найти все остальные, используя тригонометрические формулы. Рассмотрим еще пример:

Пример 2 Пусть \(\sin(\alpha) =\frac<1><3>\), найдите \(ctg(\alpha)=?\)

Смотрим на наш список формул и находим такую, в которой есть и синус и котангенс — это формула (6): $$1+сtg^2(\alpha)=\frac<1><\sin^2(\alpha)>.$$ Подставляем известный из условия синус \(\sin(\alpha) =\frac<1><3>\): $$1+сtg^2(\alpha)=\frac<1><\left(\frac<1><3>\right)^2>.$$ Перевернем правую часть: $$1+сtg^2(\alpha)=\left(\frac<3><1>\right)^2.$$ $$1+сtg^2(\alpha)=9.$$ Теперь решим уравнение и найдем котангенс: $$сtg^2(\alpha)=8.$$ $$сtg(\alpha)=\pm\sqrt<8>=\pm\sqrt<4>*\sqrt<2>=\pm2\sqrt<2>.$$

Значения тригонометрических функций

Все тригонометрические функции берутся от некоторых углов. Если нам известен угол, то это значит, что нам известно и значение тригонометрической функции. Например, синус от 30 градусов равен \(\frac<1><2>\):

При помощи калькулятора можно посчитать значение тригонометрической функции от любого угла (за редкими исключениями, поговорим об этом позже). Но есть, так называемые, стандартные углы, значения от которых всеобще известны. В школе пользоваться калькулятором нельзя, поэтому подавляющее большинство заданий из тригонометрии будет связано именно с этими углами, особенно в 9-м классе. Обычно стандартные углы записываются при помощи таблицы, которую придется выучить:

Вот несколько примеров, посчитанных при помощи таблицы (1): $$\cos(45^o)=\frac<\sqrt<2>><2>=\frac<\sqrt<2>><\sqrt<2>*\sqrt<2>>=\frac<1><\sqrt<2>>;$$ $$tg(60^o)=\sqrt<3>;$$ $$ctg(90^o)=0;$$

Наблюдательный читатель мог обратить внимание, что значения всех тригонометрических функций в таблице (1) либо положительны, либо равны нулю. Отрицательных значений нет совсем. Однако, в примерах №1 и№2, которые мы разобрали выше, у нас получались отрицательные значения. Дело в том, что в таблице (1) рассмотрены далеко не все стандартные углы, а только до 90 градусов. Есть расширенная версия этой таблицы, где указано больше стандартных углов. И у некоторых тригонометрических функций значения будут отрицательны. Пример такой таблицы:

Выглядит пугающе, но учить вам это НЕ НУЖНО! В некоторых школах есть изверги, которые заставляют учить такую таблицу, но в этом совершенно нет необходимости. В дальнейшем мы научимся сами выводить все значения тригонометрических функций только из маленькой таблицы.

Читайте также:  Тест трапеция 8 класс с ответами вариант 1

Обратите внимание, что синус некоторого угла в треугольнике всегда положителен, неважно, тупой или острый угол. А вот косинус, тангенс и котангенс в треугольнике положительны только от острых углов и отрицательны от тупых.

Тут может возникнуть вопрос, как может существовать синус, косинус, тангенс или котангенс от тупого угла, большего чем \(90^o\), если мы давали определение всех тригонометрических функций через прямоугольный треугольник, в котором нет углов больших \(90^o\). Ну что ж, да тригонометрические функции существуют для любых углов и острых, и тупых, но для самого начала тригонометрии определения через прямоугольный треугольник нам более чем достаточно. Просто запомните выводы, которые мы сделали в предыдущем абзаце.

Рассмотрим пример на тригонометрию по типу схожий с заданиями ОГЭ. Обычно задачи сводятся просто к нахождению тригонометрической функции некоторого угла, нарисованного на рисунке:

Пример 2 По рисунку определить значение \(\sin(\alpha)=?\)

По определению синус в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Первым делом достроим наш синий угол \(\angle\) до прямоугольного треугольника, для этого опустим из точки \(A\) высоту \(AH\) к \(BC\). Получили прямоугольный треугольник \(AHB\). Теперь можем воспользоваться определением синуса: $$\sin(\alpha)=\frac;$$ По клеточкам на рисунке найдем длину отрезка \(AH=15\). А гипотенузу \(AB\) найти по клеточкам не выйдет, так как она идет по диагонали. Но мы можем найти опять по клеточкам второй катет в прямоугольном треугольнике \(BH=12\) и применить теорему Пифагора: $$AB^2=AH^2+BH^2;$$ $$AB^2=15^2+12^2=225+144=369;$$ $$AB=\sqrt<369>=3\sqrt<41>;$$ Подставим в формулу для синуса и найдем его: $$\sin(\alpha)=\frac=\frac<15><3\sqrt<41>>;$$

Разберем еще примеры посложнее на нахождение тригонометрических функций друг через друга. Некоторые даже будут из реального ЕГЭ:

Пример 3 Пусть \(tg(\alpha)=\sqrt<3>\), найти \(\cos(\alpha)=?\), если известно, что \(\alpha Задание из ЕГЭ по профильной математике.

Условие аналогично условию в примерах №1 и 2, но появилось еще какое-то ограничение на угол \(\alpha\), пока не будем обращать на него внимания, и решаем как обычно. Воспользуемся формулой (5), в ней есть и косинус, и тангенс, как раз одна из функций нам дана, а другую надо найти: $$1+tg^2(\alpha)=\frac<1><\cos^2(\alpha)>;$$ $$1+(\sqrt<3>)^2=\frac<1><\cos^2(\alpha)>;$$ $$1+3=\frac<1><\cos^2(\alpha)>;$$ $$4=\frac<1><\cos^2(\alpha)>;$$ $$\cos^2(\alpha)=\frac<1><4>;$$ $$\cos(\alpha)=\pm\frac<1><2>.$$

У нас опять получилось два ответа из-за квадрата. В условии сказано, что задание из первой части ЕГЭ, а значит два ответа быть не может. Для этого нам и дано, что \(\alpha Пусть \(tg(\alpha) =-2\), найти \(\sin(\alpha)=?\), при \(90^o 90^o\), то значение косинуса должно быть отрицательным: $$cos(\alpha)=-\sqrt<\frac<1><5>>;$$

А потом, уже зная косинус, по основному тригонометрическому тождеству (1) можно найти требуемый в задаче синус: $$\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1;$$ $$\sin^2(\alpha)+\left(-\sqrt<\frac<1><5>>\right)^2=1;$$ $$\sin^2(\alpha)+\frac<1><5>=1;$$ $$\sin^2(\alpha)=-\frac<1><5>+1;$$ $$\sin^2(\alpha)=\frac<4><5>;$$ $$\sin(\alpha)=\pm\sqrt<\frac<4><5>>;$$ Синус у нас положительный и при острых \((\alpha Дан прямоугольный треугольник \(\bigtriangleup\), в котором угол \(\angle=90^o\), угол \(\angle=60^o\), сторона \(AC=5\). Найти все стороны треугольника \(\bigtriangleup\).

Источник

Поделиться с друзьями
Объясняем