Sabcd четырехугольная пирамида основанием которой является параллелограмм

Основание четырёхугольной пирамиды SABCD – параллелограмм ABCD . 1) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра AB параллельно плоскости SAD . 2) Найдите площадь полученного сечения, если площадь грани SAD равна 16.

Решение

1) Пусть M – середина ребра AB . По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей секущая плоскость пересекает плоскость грани ASB по прямой, параллельной AS , т.е. по средней линии MN треугольника ASB . Аналогично, секущая плоскость пересекает грани ABCD и CSD по прямым, параллельным AD и SD соответственно. Тогда точки N , L и K пересечения секущей плоскости с рёбрами SB , CD и SC – середины отрезков SB , CD и SC соответственно, а искомое сечение – трапеция MNKL . 2) Пусть прямые MN и LK , лежащие в секущей плоскости, пересекаются в точке Q . Тогда точка Q лежит на прямой пересечения плоскостей ASB и CSD , проведённых через две параллельные прямые AB и CD , т.е. на прямой, проходящей через точку S параллельно прямым AB и CD . Треугольник MQL равен треугольнику ASD (по трём сторонам), а NK – средняя линия треугольника MQL (т.к. NK || ML и NK = BC = ML ). Треугольник NQK подобен треугольнику MQL с коэффициентом , поэтому
S_{Δ NQK} = S_{Δ MQL} = S_{Δ ASD} = = 4.
Следовательно,
S_MNKL = S_{Δ MQL} — S_{Δ NQK} = 16 — 4 = 12.

Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7223

Проект осуществляется при поддержке и .

Источник

Sabcd четырехугольная пирамида основанием которой является параллелограмм

Основание пирамиды SABCD – параллелограмм ABCD . Плоскость проведена через сторону AB и середину M бокового ребра SC . 1) Постройте сечение пирамиды этой плоскостью. 2) В каком отношении эта плоскость делит объём пирамиды?

Решение

1) Секущая плоскость и плоскость грани DSC проходят через параллельные прямые AB и CD соответственно и имеют общую точку M . Поэтому они пересекаются по прямой, проходящей через точку M параллельно AB и CD . Если N – точка пересечения этой прямой с боковым ребром SD , то MN – средняя линия треугольника DSC . Следовательно, искомое сечение – трапеция ABMN , в которой основание MN вдвое меньше основания AB ( MN = AB = CD) .

2) Обозначим через V объём данной пирамиды SABCD . Тогда объём каждой из двух треугольных пирамид SABD и SCBD равен V (эти пирамиды имеют равные основания ABD и CDB и общую высоту, проведённую из их общей вершины S ). Треугольные пирамиды NABD и SABD имеют общее основание ABD , а высота пирамиды NABD , проведённая из вершины N , вдвое меньше высоты пирамиды SABD , проведённой из вершины S , т.к. N – середина ребра SD . Поэтому
V_NABD = V_SABD = V.
Следовательно, объём треугольной пирамиды SANB также равен V . Площадь основания SMB треугольной пирамиды NSMB вдвое меньше площади основания SBC треугольной пирамиды DSBC (т.к. BM – медиана треугольника SBC ), а высота пирамиды NSMB , проведённая из вершины N , вдвое меньше высоты пирамиды DSBC , проведённой из вершины D . Поэтому объём пирамиды NSMB в четыре раза меньше объёма пирамиды DSBC , т.е.
V_NSMB = V_DSBC = V.
Объём четырёхугольной пирамиды SABMN , отсекаемой секущей плоскостью от данной пирамиды SABCD , равен сумме объёмов треугольных пирамид SANB и NSMB , т.е.
V_SABMN = V + V = V.
Следовательно, секущая плоскость делит объём пирамиды SABCD в отношении .

Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7230

Проект осуществляется при поддержке и .

Источник

Sabcd четырехугольная пирамида основанием которой является параллелограмм

В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит параллелограмм ABCD . Докажите, что для любой точки O внутри пирамиды сумма объёмов тетраэдров OSAB и OSCD равна сумме объёмов тетраэдров OSBC и OSDA .

Решение

Пусть X — точка пересечения луча SO с плоскостью ABCD (см. рис.). Так как точка O лежит внутри пирамиды, то точка X лежит внутри ее основания. При этом S_XAB + S_XCD = S_XBC + S_XDA (одно из возможных доказательств этого факта усматривается из рис. — каждая из сумм равна половине площади параллелограмма ABCD ). Следовательно,
V_XSAB + V_XSCD = V_XSBC + V_XSDA , (1)
так как высота этих пирамид, опущенная из вершины S , общая. Аналогично,
V_XOAB + V_XOCD = V_XOBC + V_XODA . (2)
Вычитая из равенства (1) равенство (2), получаем требуемое.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2009-2010
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	11
задача
Номер	06.4.11.6

Проект осуществляется при поддержке и .

Источник

Sabcd четырехугольная пирамида основанием которой является параллелограмм

В правильной усеченной четырехугольной пирамиде высота равна 2, а стороны оснований равны 3 и 5. Найдите диагональ усеченной пирамиды.

Основание пирамиды SABCD – параллелограмм ABCD ; M – середина AB , N – середина SC . В каком отношении плоскость BSD делит отрезок MN ?

Решение

Основанием пирамиды служит параллелограмм, соседние стороны которого равны 9 и 10, а одна из диагоналей равна 11. Противоположные боковые рёбра равны и каждое из больших рёбер равно 10 . Найдите объём пирамиды.

Темы:	[	]
Темы:	[	]

Решение

Основание пирамиды Хеопса — квадрат, а её боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Буратино лазил наверх и измерил угол грани при вершине. Получилось 100 o . Может ли так быть?

Темы:	[	]
	[	]
	[	]
	[	]

Решение

Через вершины основания четырёхугольной пирамиды SABCD проведены прямые, параллельные противоположным боковым рёбрам (через вершину A – параллельно SC , и так далее). Эти четыре прямые пересеклись в одной точке. Докажите, что четырёхугольник ABCD – параллелограмм.

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 51]

Проект осуществляется при поддержке и .

Источник

Sabcd четырехугольная пирамида основанием которой является параллелограмм

Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. На продолжении ребра CD взята точка K так, что KD : KC = 3 : 4. На ребре SC взята точка L так, что SL : LC = 2 : 1.

а) Постройте плоскость, проходящую точки K, B и L;

б) В каком отношении эта плоскость делит объём пирамиды?

а) Проведем прямую BK в плоскости ABCD и отметим точку T ее пересечения с AD. Проведем прямую LK в плоскости SCD и отметим точку Y ее пересечения с SD. Тогда BLYT — искомое сечение.

б) Установим сначала местоположение точек T и Y. Из подобия треугольников KTD и KBC следует, что откуда

Напишем теорему Менелая для треугольника CSD и прямой LYK. Получим

Теперь вычислим объем одной из частей.

Поэтому

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD на ребрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причем DN : NC = SK : KC = 1 : 4. Плоскость α содержит прямую KN и параллельна прямой BC.

а) Докажите, что плоскость α параллельна прямой SA.

б) Найдите, в каком отношении плоскость α делит объем пирамиды.

а) Пусть плоскость α пересекает грань SBC по отрезку KL, а грань ABCD по отрезку MN. Заметим, что прямые KL, BC и MN параллельны. При этом точка L лежит на ребре SB, а точка M — на ребре AB. Так как прямые KL, BC и MN параллельны, имеем:

таким образом, прямые ML и SA параллельны, и плоскость α параллельна прямой SA.

б) Разобьём многогранник BCKLMN на две пирамиды: LMNCB и NCKL. Первая пирамида четырёхугольная с прямоугольником BCNM в основании, вершиной L и высотой LH. Отрезок SO — высота пирамиды SABCD. Заметим, что Тогда

Пусть h_N — высота пирамиды NCKL, опущенная из вершины N, а h_D — высота пирамиды DBCS, опущенная из вершины D. Тогда Следовательно,

Тем самым объём оставшегося куска равен и искомое соотношение — 37 : 88.

Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. Точка M расположена на SD так, что SM : SD = 2 : 3. P — середина ребра AD, а Q середина ребра BC.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MQP — равнобедренная трапеция.

б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость MQP разбивает пирамиду.

а) Пусть плоскость MPQ пересекает SC в точке N. Так как PD = CQ, то PDCQ — параллелограмм, Поскольку то

Тогда то есть Так как и так как пирамида правильная, то следовательно,

Поскольку и то MNQP — равнобедренная трапеция, что и требовалось доказать.

б) Заметим, что расстояние от точки M до плоскости ABC втрое меньше расстояния от точки S до плоскости ABC . Тогда

По теореме об отношении площадей треугольников с равными углами расстояние от точки D до плоскости SBC, в 1,5 раза больше чем от точки M. Значит, из чего следует, что тогда