Sabcd четырехугольная пирамида abcd трапеция

Sabcd четырехугольная пирамида abcd трапеция

Дана четырёхугольная пирамида SABCD , основание которой – трапеция ABCD . Отношение оснований AD и BC этой трапеции равно 2. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку D и середины ребер SA и SB . В каком отношении эта плоскость делит ребро SC ?

Решение

Пусть M и N – середины рёбер SA и SB соответственно. По теореме о пересекающихся плоскостях, проведённых через две параллельные прямые, плоскости граней ASD и BSC пересекаются по прямой, параллельной AD и BC . Пусть K – точка пересечения этой прямой с прямой DM , L – точка пересечения прямых KN и SC . Тогда четырёхугольник DMNL – искомое сечение. Обозначим BC = a . Тогда AD = 2a . Из равенства треугольников KMS и DMA следует, что KS = AD = 2a . Продолжим KL до пересечения с прямой BC в точке P . Из равенства треугольников BNP и SNK находим, что BP = KS = 2a . Поэтому
CP = BP — BC = 2a — a = a.
Наконец, из подобия треугольников KLS и PLC находим, что
= = = 2.

Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7115

Проект осуществляется при поддержке и .

Источник

Sabcd четырехугольная пирамида abcd трапеция

В четырёхугольной пирамиде SABCD основанием является трапеция ABCD ( BC || AD ), BC = AD , ASD = CDS = . Все вершины пирамиды лежат на окружностях оснований цилиндра, высота которого равна 2, а радиус основания равен . Найдите объём пирамиды.

Решение

Если вершины A и D расположены на разных основаниях цилиндра, то по теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей плоскостью AB || CD , т.е ABCD – параллелограмм, а не трапеция. Пусть вершины A и D расположены на окружности одного основания цилиндра. Тогда медиана SM прямоугольного треугольника ASD равна половине гипотенузы AD , а значит, меньше радиуса окружности основания цилиндра, т.е. SM , то точка S не может лежать на окружности другого основания. Значит, в этом случае, прямоугольный треугольник ASD вписан в окружность основания цилиндра, и тогда AD – диаметр окружности. В этом случае точки B и C лежат на окружности другого основания цилиндра. Пусть B 1 и C 1 – ортогональные проекции точек соответственно B и C на плоскость основания цилиндра, содержащую точки A , D и S . Поскольку CD SD , по теореме о трёх перпендикулярах C 1D SD , а т.к. AS SD , то C 1D || AS , значит, ASDC 1 – прямоугольник. Поскольку B 1C 1 || BC , четырёхугольник AB 1C 1D – равнобедренная трапеция, поэтому AB 1=DC 1 = SA , значит, диаметр AD перпендикулярен хорде SB 1 и проходит через её середину K . Отрезок SC 1 – диагональ прямоугольника ASDC 1 , поэтому SC 1 – диаметр окружности основания цилиндра, SC 1=AD = , а т.к.
B 1C 1 = BC= AD= · = ,
то
SK = SB 1 = = =1.
По теореме о трёх перпендикулярах BK AD , т.е. BK – высота трапеции ABCD . Из прямоугольного треугольника BKB 1 находим, что
BK = = = .
Следовательно,
SABCD = (AD+BC)· BK = ( + )· = 3 .
Пусть H – основание перпендикуляра, опущенного из точки S на прямую BK . Тогда SH – высота пирамиды SABCD , т.к. SH BK и SH AD . Записав двумя способами площадь треугольника BKS , получим, что
SH = = = .
Следовательно,
VSABCD = SABCD· SH = · 3 · =2.

Читайте также:  Vwa0563 трапеция стеклоочистителя startvolt

Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 8905

Проект осуществляется при поддержке и .

Источник

Sabcd четырехугольная пирамида abcd трапеция

Дана пирамида PABCD, в основании — трапеция ABCD с большим основанием AD. Известно, что сумма углов BAD и ADC равна 90 градусов, а плоскости PAB и PCD перпендикулярны основанию, прямые AB и CD пересекаются в точке K.

а) Доказать, что плоскость PAB перпендикулярна плоскости PCD.

б) Найдите объём PKBC, если AB = BC = CD = 3, а PK = 8.

а) Поскольку то и значит, тогда и откуда что и требовалось доказать.

б) Поскольку то трапеция ABCD — равнобокая. Так как сумма углов BAD и ADC равна 90 градусов, то тогда треугольники AKD и BKC прямоугольные и равнобедренные. В : тогда

Ответ: б)

Критерии оценивания выполнения задания Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Источник

Sabcd четырехугольная пирамида abcd трапеция

В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с большим основанием AD. Диагонали пересекаются в точке O. Точки M и N — середины боковых сторон AB и CD соответственно. Плоскость α проходит через точки M и N параллельно прямой SO.

а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью α является трапецией.

б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью α, если а прямая SO перпендикулярна прямой AD.

а) По свойству средней линии трапеции MN || AD. По признаку параллельности прямой и плоскости AD || α. Так как точка O расположена ближе к меньшему основанию ВС, а точки S и O лежат в одном полупространстве относительно плоскости α, эта плоскость пересекает грань SAD. Пусть α пересекает SD и SA в точках K и L соответственно. Тогда KL || AD || MN, то есть сечение KLMN — параллелограмм или трапеция. Стороны ML и KN не параллельны, так как лежат в пересекающихся плоскостях — боковых гранях пирамиды — и не параллельны линии их пересечения. Что и требовалось доказать.

б) По свойству средней линии трапеции MN = 9. Далее рассмотрим плоскость SAC. Пусть AO пересекает MN в точке P. Тогда из SO || α следует, что PL || SO и PL перпендикулярен MN. Кроме того, MP = 4 по свойству средней линии треугольника ABC. Рассматривая аналогично плоскость SBD, можно получить, что KL = 1.

Теперь найдем высоту LP трапеции KLMN. Из подобия треугольников AOD и COB имеем . А из подобия треугольников APL и AOS имеем (учтем также, что P — середина AC). Получаем .

Окончательно .

Критерии оценивания выполнения задания Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Источник

Sabcd четырехугольная пирамида abcd трапеция

Дана пирамида PABCD, в основании — трапеция ABCD с большим основанием AD. Известно, что сумма углов BAD и ADC равна 90°, а плоскости PAB и PCD перпендикулярны основанию, прямые AB и CD пересекаются в точке K.

а) Доказать, что плоскость PAB перпендикулярна плоскости PCD.

б) Найдите объём PKBC, если AB = BC = CD = 2, а PK = 12.

а) Поскольку то и значит, тогда и откуда что и требовалось доказать.

б) Поскольку то трапеция ABCD — равнобокая. Так как сумма углов BAD и ADC равна 90 градусов, то тогда треугольники AKD и BKC прямоугольные и равнобедренные. В : тогда

Ответ: б)

Критерии оценивания выполнения задания Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Источник

Читайте также:  Какие стрижки подходят прямоугольному лицу мужчине
Поделиться с друзьями
Объясняем