Прямоугольные или декартовые системы координат

Декартовы координаты

Прямоугольная, или декартова система координат — наиболее распространённая система координат на плоскости и в пространстве.

Содержание

Прямоугольная система координат на плоскости

Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат X’X и Y’Y. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление.Положительное направление осей (в правосторонней системе координат) выбирают так, чтобы при повороте оси X’X против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси Y’Y. Четыре угла (I, II, III, IV), образованные осями координат X’X и Y’Y, называются координатными углами (см. Рис. 1).

Положение точки A на плоскости определяется двумя координатами x и y. Координата x равна длине отрезка OB, координата y — длине отрезка OC в выбранных единицах измерения. Отрезки OB и OC определяются линиями, проведёнными из точки A параллельно осям Y’Y и X’X соответственно. Координата x называется абсциссой точки A, координата y — ординатой точки A. Записывают так: A(x, y).

Если точка A лежит в координатном угле I, то точка A имеет положительные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном угле II, то точка A имеет отрицательную абсциссу и положительную ординату. Если точка A лежит в координатном угле III, то точка A имеет отрицательные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном угле IV, то точка A имеет положительную абсциссу и отрицательную ординату.

Прямоугольная система координат в пространстве

Прямоугольная система координат в пространстве образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат OX, OY и OZ. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения одинаковы для всех осей. OX — ось абсцисс, OY — ось ординат, OZ — ось апликат. Положительное направление осей выбирают так, чтобы при повороте оси OX против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси OY, если этот поворот наблюдать со стороны положительного направления оси OZ. Такая система координат называется правой. Если большой палец правой руки принять за направление X, указательный за направление Y, а средний за направление Z, то образуется правая система координат. Аналогичными пальцами левой руки образуется левая система координат. Правую и левую системы координат невозможно совместить так, чтобы совпали соответствующие оси (см. Рис. 2).

Положение точки A в пространстве определяется тремя координатами x, y и z. Координата x равна длине отрезка OB, координата y — длине отрезка OC, координата z — длине отрезка OD в выбранных единицах измерения. Отрезки OB, OC и OD определяются плоскостями, проведёнными из точки A параллельно плоскостям YOZ, XOZ и XOY соответственно. Координата x называется абсциссой точки A, координата y — ординатой точки A, координата z — аппликатой точки A. Записывают так: A(a, b, c).

Прямоугольная система координат (любой размерности) также описывается набором ортов, сонаправленных с осями координат. Количество ортов равно размерности системы координат и все они перпендикулярны друг другу.

В трёхмерном случае такие орты обычно обозначаются i j k или ex ey ez . При этом в случае правой системы координат действительны следующие формулы с векторным произведением векторов:

История

Впервые прямоугольную систему координат ввел Рене Декарт в своей работе «Рассуждение о методе» в 1637 году. Поэтому прямоугольную систему координат называют также — Декартова система координат. Координатный метод описания геометрических объектов положил начало аналитической геометрии. Вклад в развитие координатного метода внес также Пьер Ферма, однако его работы были впервые опубликованы уже после его смерти. Декарт и Ферма применяли координатный метод только на плоскости.

Координатный метод для трёхмерного пространства впервые применил Леонард Эйлер уже в XVIII веке.

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое «Декартовы координаты» в других словарях:

ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ — (декартова система координат) система координат на плоскости или в пространстве, обычно с взаимно перпендикулярными осями и одинаковыми масштабами по осям прямоугольные декартовы координаты. Названы по имени Р. Декарта … Большой Энциклопедический словарь

декартовы координаты — Система координат, состоящая из двух перпендикулярных осей. Положение точки в такой системе формируется с помощью двух чисел, определяющих расстояние от центра координат по каждой из осей. [http://www.morepc.ru/dict/] Тематики информационные… … Справочник технического переводчика

декартовы координаты — (декартова система координат), система координат на плоскости или в пространстве, обычно с взаимно перпендикулярными осями и одинаковыми масштабами по осям прямоугольные декартовы координаты. Названы по имени Р. Декарта … Энциклопедический словарь

Читайте также:  Какая окружность солнечной системы

декартовы координаты — Dekarto koordinatės statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Tiesinė plokštumos arba erdvės koordinačių sistema. Joje ašių masteliai paprastai būna lygūs. atitikmenys: angl. Cartesian coordinates vok. kartesische Koordinaten, f … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

декартовы координаты — Dekarto koordinatės statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Cartesian coordinates; grid coordinates vok. kartesische Koordinaten, f rus. декартовы координаты, f pranc. coordonnées cartésiennes, f … Fizikos terminų žodynas

ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ — способ определения положения точек на плоскости их расстояниями до двух фиксированных перпендикулярных прямых осей. Это понятие усматривается уже у Архимеда и Аппология Пергского более двух тысяч лет назад и даже у древних египтян. Впервые эта… … Математическая энциклопедия

ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ — декартова система координат [по имени франц. философа и математика Р. Декарта (R. Descartes; 1596 1650)], система координат на плоскости или в пространстве, обычно с взаимно перпендикулярными осями и одинаковыми масштабами по осям прямоугольные Д … Большой энциклопедический политехнический словарь

ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ — (декартова система координат), система координат на плоскости или в пространстве, обычно с взаимно перпендикулярными осями и одинаковыми масштабами по осям прямоугольные Д. к. Названы по имени Р. Декарта … Естествознание. Энциклопедический словарь

ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ — Система расположения любой точки нашли кости относительно двух осей, перекрещивающихся под прямым углом. Разработанная Рене Декартом, эта система стала основой для стандартных методов графического представления данных. Горизонтальная линия… … Толковый словарь по психологии

Координаты — Координаты. На плоскости (слева) и в пространстве (справа). КООРДИНАТЫ (от латинского co совместно и ordinatus упорядоченный), числа, которые определяют положение точки на прямой, плоскости, поверхности, в пространстве. Координаты суть расстояния … Иллюстрированный энциклопедический словарь

Источник

Прямоугольная система координат. Ось абсцисс и ординат

О чем эта статья:

Прямоугольная декартова система координат

Французский математик Рене Декарт предложил вместо геометрических построений использовать математические расчеты. Так появился метод координат, о котором мы сейчас расскажем.

Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Например, координаты школы тоже можно записать числами — они помогут понять, где именно находится наша школа. С точками на плоскости та же история.

Координатой можно назвать номер столика в кафе, широту и долготу на географической карте, положение точки на числовой оси и даже номер телефона друга. Проще говоря, когда мы обозначаем какой-то объект набором букв, чисел или других символов, тем самым мы задаем его координаты.

Прямоугольная система координат — это система координат, которую изобрел математик Рене Декарт, ее еще называют «декартова система координат». Она представляет собой два взаимно перпендикулярных луча с началом отсчета в точке их пересечения.

Чтобы найти координаты, нужны ориентиры, от которых будет идти отсчет. На плоскости в этой роли выступят две числовые оси.

Чертеж начинается с горизонтальной оси, которая называется осью абсцисс и обозначается латинской буквой x (икс). Записывают ось так: Ox. Положительное направление оси абсцисс обозначается стрелкой слева направо.

Затем проводят вертикальную ось, которая называется осью ординат и обозначается y (игрек). Записывают ось Oy. Положительное направление оси ординат показываем стрелкой снизу вверх.

Оси взаимно перпендикулярны, а значит угол между ними равен 90°. Точка пересечения является началом отсчета для каждой из осей и обозначается так: O. Начало координат делит оси на две части: положительную и отрицательную.

  • Координатные оси — это прямые, образующие систему координат.
  • Ось абсцисс Ox — горизонтальная ось.
  • Ось ординат Oy — вертикальная ось.
  • Координатная плоскость — плоскость, в которой находится система координат. Обозначается так: x0y.
  • Единичный отрезок — величина, которая принимается за единицу при геометрических построениях. В декартовой системе координат единичный отрезок отмечается на каждой из осей. Длина отрезка показывает сколько раз единичный отрезок и его части укладываются в данном отрезке.

Единичные отрезки располагаются справа и слева от оси Oy, вверх и вниз от оси Oy. Числовые значения на оси Oy располагаются слева или справа, на оси Ox — внизу под ней. Чаще всего единичные отрезки двух осей соответствуют друг другу, но бывают задачи, где они не равны.

Оси координат делят плоскость на четыре угла — четыре координатные четверти.

У каждой из координатных четвертей есть свой номер и обозначение в виде римской цифры. Отсчет идет против часовой стрелки:

  • верхний правый угол — первая четверть I;
  • верхний левый угол — вторая четверть II;
  • нижний левый угол — третья четверть III;
  • нижний правый угол — четвертая четверть IV;

Чтобы узнать координаты точки в прямоугольной системе координат, нужно опустить от точки перпендикуляр на каждую ось и посчитать количество единичных отрезков от нулевой отметки до опущенного перпендикуляра. Координаты записывают в скобках, первая по оси Ох, вторая по оси Оу.

  • Если обе координаты положительны, то точка находится в первой четверти координатной плоскости.
  • Если координата х отрицательная, а координата у положительная, то точка находится во второй четверти.
  • Если обе координаты отрицательны, то число находится в третьей четверти.
  • Если координата х положительная, а координата у отрицательная, то точка лежит в четвертой четверти.
Читайте также:  Обувь под платье трапецию

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Координаты точки в декартовой системе координат

Для начала отложим точку М на координатной оси Ох. Любое действительное число xM равно единственной точке М, которая располагается на данной прямой. При этом начало отсчета координатных прямых всегда ноль.

Каждая точка М, которая расположена на Ох, равна действительному числу xM. Этим действительным числом и является ноль, если точка М расположена в начале координат, то есть на пересечении Оx и Оу. Если точка удалена в положительном направлении, то число длины отрезка положительно и наоборот.

Число xM — это координата точки М на заданной координатной прямой.

Пусть точка будет проекцией точки Mx на Ох, а My на Оу. Значит, через точку М можно провести перпендикулярные осям Оx и Оу прямые, после чего получим соответственные точки пересечения Mx и My.Тогда у точки Mx на оси Оx есть соответствующее число xM, а My на ОуyM. Как это выглядит на координатных осях:

Каждой точке М на заданной плоскости в прямоугольной декартовой системе координат соответствует пара чисел (xM, yM), которые называются ее координатами. Абсцисса М — это xM, ордината М — это yM.

Обратное утверждение тоже верно: каждая пара (xM, yM) имеет соответствующую точку на плоскости.

Источник

Системы координат

Декартова система координат.

Фиксируем в пространстве точку \(O\) и рассмотрим произвольную точку \(M\). Радиус-вектором точки \(M\) по отношению к точке \(O\) называется вектор \(\overrightarrow\). Если в пространстве кроме точки \(O\) выбран некоторый базис, то точке \(M\) сопоставляется упорядоченная тройка чисел — компоненты ее радиус-вектора.

Декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки и базиса.

Точка носит название начала координат. Прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат; первая — осью абсцисс, вторая — осью ординат, третья — осью аппликат. Плоскости, проходящие через оси координат, называются координатными плоскостями.

Пусть дана декартова система координат \(O\), \(\boldsymbol>\), \(\boldsymbol>\), \(\boldsymbol>\). Компоненты \(x\), \(y\), \(z\) радиус-вектора \(\overrightarrow\) точки \(M\) называются координатами точки \(M\) в данной системе координат:
$$
\overrightarrow = x\boldsymbol> + y\boldsymbol> + z\boldsymbol>.\nonumber
$$
Первая координата называется абсциссой, вторая — ординатой, а третья — аппликатой.

Аналогично определяются координаты на плоскости и на прямой линии. Разумеется, точка на плоскости имеет только две координаты, а на прямой линии — одну.

Координаты точки пишут в скобках после буквы, обозначающей точку. Например, запись \(A(2,\ 1/2)\) означает, что точка \(A\) имеет координаты 2 и 1/2 в ранее выбранной декартовой системе координат на плоскости (рис. 2.1).

Рис. 2.1

Координаты точки, как и компоненты вектора, — величины безразмерные. В частности, они не зависят от выбранной единицы измерения длин. В самом деле, раскладывая векторы в теореме о линейной зависимости систем векторов, мы сводили дело к разложению вектора по коллинеарному с ним ненулевому вектору. А в этом случае компонента равна отношению длин, взятому с определенным знаком.
Легко видеть, что при заданной системе координат координаты точки определены однозначно. С другой стороны, если задана система координат, то для каждой упорядоченной тройки чисел найдется единственная точка, имеющая эти числа в качестве координат. Система координат на плоскости определяет такое же соответствие между точками плоскости и парами чисел. Задание системы координат на прямой линии сопоставляет каждой точке вещественное число и каждому числу — точку.

Рис. 2.2

Рассмотрим две точки \(A\) и \(B\), координаты которых относительно некоторой декартовой системы координат \(O\), \(\boldsymbol>\), \(\boldsymbol>\), \(\boldsymbol>\) соответственно \(x_<1>\), \(y_<1>\), \(z_<1>\) и \(x_<2>\), \(y_<2>\), \(z_<2>\). Поставим себе задачу найти компоненты вектора \(\overrightarrow\). Очевидно, что \(\overrightarrow = \overrightarrow-\overrightarrow\) (рис. 2.2). Компоненты радиус-векторов \(\overrightarrow\) и \(\overrightarrow\) равны (\(x_<1>\), \(y_<1>\), \(z_<1>\)) и (\(x_<2>\), \(y_<2>\), \(z_<2>\)) по определению координат. Из ранее доказанного предположения следует, что \(\overrightarrow\) имеет компоненты (\(x_<2>-x_<1>\), \(y_<2>-y_<1>\), \(z_<2>-z_<1>\)). Этим доказано следующее утверждение.

Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат его конца вычесть координаты его начала.

Деление отрезка в заданном отношении.

Найдем координаты точки \(M\) на отрезке \(AB\), которая делит этот отрезок в отношении \(\lambda/\mu\), то есть удовлетворяет условию
$$
\frac<|AM|> <|MB|>= \frac<\lambda><\mu>,\ \lambda > 0,\ \mu > 0\nonumber
$$
(рис. 2.3). Это условие можно переписать в виде
$$
\mu\overrightarrow = \lambda\overrightarrow.\label
$$

Рис. 2.3

Обозначив через (\(x_<1>\), \(y_<1>\), \(z_<1>\)) и (\(x_<2>\), \(y_<2>\), \(z_<2>\)) соответственно координаты точек \(A\) и \(B\), а через (\(x\), \(y\), \(z\)) координаты точки \(M\), разложим обе части равенства по базису, причем компоненты векторов \(\overrightarrow\) и \(\overrightarrow\) найдем по предложению 1. Тогда
$$
\mu(x-x_<1>) = \lambda(x_<2>-x),\ \mu(y-y_<1>) = \lambda(y_<2>-y),\ \mu(z-z_<1>) = \lambda(z_<2>-z).\nonumber
$$
Из этих равенств можно найти \(x\), \(y\) и \(z\), поскольку \(\lambda + \mu \neq 0\):
$$
x = \frac <\mu x_<1>+ \lambda x_<2>><\lambda + \mu>,\ y = \frac <\mu y_<1>+ \lambda y_<2>><\lambda + \mu>,\ z = \frac <\mu z_<1>+ \lambda z_<2>><\lambda + \mu>\label
$$
Если в формулах \eqref мы будем считать одно из чисел \(\lambda\) или \(\mu\) отрицательным, то из равенства \eqref увидим, что \(M\) находится на той же прямой вне отрезка \(AB\), деля его в отношении |\(\lambda/\mu\)|. Поэтому из формул \eqref можно найти координаты точки, делящей отрезок в заданном отношении как внутренним, так и внешним образом.

Читайте также:  510 градусов на окружности

На плоскости и на прямой линии задача о делении отрезка решается точно так же, только из трех равенств в \eqref остается соответственно два и одно равенство.

Декартова прямоугольная система координат.

Общие декартовы системы координат используются реже, чем специальный класс таких систем — декартовы прямоугольные системы координат.

Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и по длине равны единице. Декартова система координат, базис которой ортонормирован, называется декартовой прямоугольной системой координат.

Нетрудно проверить, что координаты точки относительно декартовой прямоугольной системы координат в пространстве по абсолютной величине равны расстояниям от этой точки до соответствующих координатных плоскостей. Они имеют знак плюс или минус в зависимости от того, лежит точка по ту же или по другую сторону от плоскости, что и конец базисного вектора, перпендикулярного этой плоскости.

Аналогично находят координаты точки относительно декартовой прямоугольной системы координат на плоскости.

Полярная система координат.

Декартовы системы координат не единственный способ определять при помощи чисел положение точки на плоскости. Для этого используются многие другие типы координатных систем. Здесь мы опишем некоторые из них.

На плоскости часто употребляется полярная система координат. Она определена, если задана точка \(O\), называемая полюсом, и исходящий из полюса луч \(l\), который называется полярной осью. Положение точки \(M\) фиксируется двумя числами: радиусом \(r = \overrightarrow\) и углом \(\varphi\) между полярной осью и вектором \(\overrightarrow\). Этот угол называется полярным углом (рис. 2.4).

Рис. 2.4

Мы будем измерять полярный угол в радианах и отсчитывать от полярной оси против часовой стрелки. У полюса \(r = 0\), а \(\varphi\) не определено. У остальных точек \(r > 0\), а \(\varphi\) определяется с точностью до слагаемого, кратного 2\(\pi\). Это означает, что пары чисел \((r,\ \varphi)\), \((r,\ \varphi + 2\pi)\) и вообще (\(r\), \(\varphi + 2k\pi\)), где \(k\) — любое целое число, представляют собой полярные координаты одной и той же точки.

Иногда ограничивают изменение полярного угла какими-нибудь условиями, например, \(0 \leq \varphi 0\), то паре \((r,\ \varphi)\) ставим в соответствие точку, радиус-вектор которой имеет длину \(r\) и составляет с полярной осью угол \(\varphi\). При этом парам чисел \((r,\ \varphi)\) и \((r_<1>,\ \varphi_<1>)\) сопоставляется одна и та же точка, если \(r = r_<1>\), а \(\varphi = \varphi_ <1>= 2\pi k\), где \(k\) — целое число.

Выберем на плоскости декартову прямоугольную систему координат, поместив ее начало в полюс \(O\) и приняв за базис векторы \(\boldsymbol>\) и \(\boldsymbol>\) длины \(l\), направленные соответственно вдоль полярной оси и под углом \(\pi/2\) к ней (угол отсчитывается против часовой стрелки). Как легко видеть из рис. 2.4, декартовы координаты точки выражаются через ее полярные координаты формулами
$$
x = r \cos \varphi,\ y = r \sin \varphi.\label
$$

Цилиндрические и сферические координаты.

В пространстве обобщением полярных систем координат являются цилиндрические и сферические системы координат. И для тех, и для других фигура, относительно которой определяется положение точки, состоит из точки \(O\), луча \(l\), исходящего из \(O\), и вектора \(\boldsymbol\), равного по длине 1 и перпендикулярного к \(l\). Через точку \(O\) проведем плоскость \(\Theta\), перпендикулярную вектору \(\boldsymbol\). Луч \(l\) лежит в этой плоскости.

Пусть дана точка \(M\). Опустим из нее перпендикуляр \(MM’\) на плоскость \(\Theta\).

Цилиндрические координаты точки \(M\) — это три числа \(r\), \(\varphi\), \(h\). Числа \(r\) и \(\varphi\) — полярные координаты точки \(M’\) по отношению к полюсу \(O\) и полярной оси \(l\), a \(h\) — компонента вектора \(\overrightarrow\) по вектору \(\boldsymbol\). Она определена, так как эти векторы коллинеарны (рис. 2.5).

Рис. 2.5

Сферические координаты точки — три числа (\(r\), \(\varphi\), \(\theta\)). Они определяются так: \(r = |\overrightarrow|\). Как и для цилиндрических координат, \(\varphi\) — угол вектора \(\overrightarrow>\) с лучом \(l\), а \(\theta\) — угол вектора \(\overrightarrow\) с плоскостью \(\Theta\) (рис. 2.6).

Рис. 2.6

Источник

Поделиться с друзьями
Объясняем