Прямоугольные декартовы системы координат на прямой

Декартовы координаты на плоскости и в пространстве

Декартовы координаты — это (декартова система координат) система координат на плоскости или в пространстве, обычно с взаимно перпендикулярными осями и одинаковыми масштабами по осям прямоугольные декартовы координаты.

Содержание:

Декартовы координаты на прямой

В курсе алгебры постоянно приходится пользоваться прямоугольной системой координат. Рассмотрим прямоугольную систему координат на прямой. Хорошей иллюстрацией этой системы координат является термометр.

Пусть некоторой точке прямой ставится в соответствие число 0; положительные целые числа 1, 2, 3, . располагаются на равных расстояниях друг от друга с одной стороны от 0, отрицательные целые числа -1, -2, -3. — с противоположной стороны, а дробные числа вставляются между ними естественным образом. Смещение точки относительно другой точки х есть положительное или отрицательное число — х. Если на прямой введена система координат, то каждой точке Р соответствует некоторое число х, а каждому числу х соответствует некоторая точка (рис. 2.444).

Стрелка показывает положительное направление отсчета координат. Прямую с установленной на ней системой координат называют координатной прямой. Точку О называют началом координат. Кроме этого, на координатной прямой вводится единичный отрезок ОЕ, его иногда называют масштабом.

Декартовы координаты на плоскости

Положение точки на плоскости может быть определено ее расстоянием до двух фиксированных взаимно перпендикулярных прямых — осей. В этом случае каждой точке плоскости будет соответствовать не одно число, а пара чисел. Соответствие между точками и парами чисел задается на плоскости: выбирают прямую, называемую осью Ох, вводят на ней систему координат. На оси Ох рисуют стрелку, чтобы указать ее положительное направление. Эта ось называется также осью абсцисс.

Проводят прямую Оу, перпендикулярную оси Ох и проходящую через точку О прямой Ох, имеющую координату 0, и вводят на прямой Оу систему координат так, чтобы точка с координатой 0 совпадала с точкой О. Прямая Оу называется осью Оу или осью ординат. Положительное направление на оси Оу также указывается стрелкой. Точка О пересечения прямых Ох и Оу (осей координат) называется началом координат (рис. 2.445).

На рисунке 2.446 изображена построенная прямоугольная система координат. Если дана точка Р, то из нее опускают перпендикуляр на ось Ох. Пусть основанием перпендикуляра будет точка М и х — координата точки М на прямой Ох (рис. 2.446). Тогда число х называют абсциссой точки Р. На рисунке 2.446 .

Читайте также:  Обеденный стол дизайнерский прямоугольный

Затем опускают из точки Р перпендикуляр на ось Оу. Пусть основанием этого перпендикуляра будет точка N и у — координата точки N на прямой Оу. Тогда число у называют ординатой точки Р. На рисунке 2.446 . Для краткости указываем, что точка Р имеет координаты х и у, так: Р(х, у). В нашем случае .

Порядок, в котором записываются координаты точки, очень существенен. Координаты (1, 3) имеет точка , а координаты (3, 1) — отличная от нее точка (рис. 2.447). Нельзя сказать, где находится точка, если неизвестно, какое число в паре чисел (х, у) стоит первым.

Ниже приводится определение координат точки на плоскости.

Определение. Абсциссой точки Р называют координату основания перпендикуляра, опущенного из точки Р на ось Ох; ординатой точки Р называют координату основания перпендикуляра, опущенного из точки Р на ось Оу.

Если прямая разбивает плоскость на две полуплоскости, то две оси координат разбивают плоскость на четыре части, называемые четвертями. Четыре четверти нумеруются в порядке, изображенном на рисунке 2.448.

Таким образом, между точками плоскости и упорядоченными парами действительных чисел имеется взаимооднозначное соответствие. Такое соответствие называют прямоугольной системой координат.

Декартовы координаты в пространстве

Построим горизонтальную плоскость и введем на ней декартову систему координат хОу (рис. 2.449).

Если ввести также координатную прямую Oz, перпендикулярную плоскости хОу в точке О, то тем самым будет введена система координат в пространстве. Точка О будет началом этой системы координат.

Стрелки осей Ох, Оу и Oz на рисунках указывают положительное направление каждой оси.

В декартовой системе координат в пространстве мы имеем три оси: Ох — ось абсцисс, Оу — ось ординат, Oz — ось аппликат. Плоскости, проходящие через оси Ох и Оу, Оу и Oz, Ох и Oz — координатные плоскости. Их обозначают соответственно: ху, yz, xz (рис. 2.450). Координатные плоскости разбивают все пространство на восемь частей — октантов.

Если задана такая система координат, то каждой точке пространства можно поставить в соответствие упорядоченную тройку действительных чисел, а каждой тройке чисел — единственную точку.

Пусть дана точка А, расположенная в первом октанте. Опустим из нее на плоскости yz, xz, ху перпендикуляры (рис. 2.451). Длины этих перпендикуляров называют координатами точки А. Записывают: . Если точка лежит в какой-нибудь из координатных плоскостей, ее соответствующая координата равна 0, а если на оси координат, то две координаты такой точки — нули. Например, точка В (0; 2; -3) лежит в плоскости yz, а точка С (5; 0; 0) — на оси Ох.

Читайте также:  Точкой касания вписанная окружность делит равнобедренный треугольник

На рисунке 2.452: точка Р лежит в плоскости хОу, так что ее проекция на ось Ог есть 0. Ее проекция на ось Ох совпадает с точкой, имеющей координату 2, а на ось Оу — с точкой, имеющей координату 3. Поэтому пишут Р(2, 3, 0).

Таким образом, нахождение координат точки в пространстве сводится к построению соответствующего прямоугольного параллелепипеда (иногда его воспроизводят частично, чтобы были видны координаты точки (рис. 2.453)).

Порядок записи этих трех чисел также существенен. На рисунке 2.452 изображены точки имеющие своими координатами числа 2, 3 и 0, записанные в разном порядке.

Можно иначе находить координаты точки пространства. Пусть дана точка М. Спроектируем точку М на оси Ох, Оу, Ог в точки соответственно (рис. 2.454). Координаты точек на осях сопоставляются точке М как ее координаты х, у, г. Таким образом, координатами точки в пространстве называют координаты ее проекций на оси координат.

Если есть три координаты — три числа то для них найдется соответствующая точка пространства. На рисунке 2.455 три числа на осях координат отмечены тремя точками Пусть отрезки — ребра прямоугольного параллелепипеда с вершиной в точке О (рис. 2.456). Получили точку Р с координатами

Прямоугольная система координат носит имя Рене Декарта (1596—1650). В 1637 г. вышла книга с длинным по обычаю времен названием «Рассуждение о методе, позволяющем направлять разум и отыскивать истину в науках. Кроме того, Диоптрика, Метеоры и Геометрия, которые являются приложениями этого метода», с ней в науку вошел метод координат. Со времен Декарта алгебра и геометрия стали сотрудничать между собой к выгоде обеих дисциплин. Введенную систему координат с тех пор стали называть декартовой.

Координаты середины отрезка

Рассмотрим отрезок , принадлежащий оси Ох. Пусть Р — середина этого отрезка и пусть наши три точки имеют соответственно координаты (рис. 2.457). Выразим х через и .

1. (дано) (рис. 2.457).

Читайте также:  Окружность задают три точки

2. (запись отрезка в координатах на прямой).

3. (1, 2).

Эта формула годится и в случае, когда

Рассмотрим случай, когда отрезок произвольно расположен на плоскости (рис. 2.458).

1. Точка Р является серединой отрезка (дано) (рис. 2.458).

2. Построим проекции точек на ось Ох, получим точки (построение).

3. Точка М является серединой отрезка .

4. (3, формула середины отрезка на прямой).

Аналогично можно получить, что . Все это можно сформулировать в виде теоремы.

Теорема 1. Даны точки Серединой отрезка является точка

Формула расстояния между точками

Пусть мы знаем координаты двух точек на плоскости (рис. 2.459). Имеет место следующая теорема.

Теорема 2. Расстояние между точками находится по формуле

Например, если то из полученной формулы следует, что

Формула расстояния между точками верна и в пространстве. Пусть даны две точки и Расстояние между точками Р и Q находится по формуле

Пример:

Докажите, что середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от его вершин.

Решение:

Из условия задачи имеем:

1. , его стороны обозначим через

3. CD = AD (требуется доказать).

Мы хотим применить для решения задачи декартову систему координат, а значит, надо удачно выбрать расположение этой системы.

4. Для данной задачи удачный выбор системы координат показан на рисунке 2.460. Начало координат помещено в точку А, а оси проведены через точки Б и С так, чтобы эти точки лежали на положительных лучах осей (построение).

5. Точка В имеет координаты (, 0), точка С — (0, ) (1, 4).

6. Середина отрезка СВ точка D имеет координаты (1, формула середины отрезка).

7. (4, 6 формула расстояния между точками).

8. (5, 6, формула расстояния между точками).

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Источник

Поделиться с друзьями
Объясняем