- Свойства медианы в прямоугольном треугольнике с доказательствами
- Свойства медианы в прямоугольном треугольнике
- Доказательства свойств
- Первое свойство
- Доказательство:
- Второе свойство
- Доказательство:
- Третье свойство
- Доказательство:
- Медиана, проведенная к гипотенузе
- Медиана в прямоугольном треугольнике
- 12 Comments
- Определение и свойства медианы прямоугольного треугольника
- Определение медианы прямоугольного треугольника
- Свойство 1
- Свойство 2
- Свойство 3
- Пример задачи
Свойства медианы в прямоугольном треугольнике с доказательствами
В этой статье мы рассмотрим свойства медианы в прямоугольном треугольнике, а также их доказательства.
Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Для прямоугольного треугольника это будут медианы, проведённые с острого угла к серединам катетов или с прямого к центру гипотенузы (рис. 1).
Свойства медианы в прямоугольном треугольнике
- Медианы в прямоугольном треугольнике пересекаются в одной точке, а точка пересечения делит их в соотношении два к одному считая от вершины, из которой проведена медиана.
- Медиана, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
- Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, является радиусом описанной окружности.
Доказательства свойств
Первое свойство
Доказать, что медианы в прямоугольном треугольнике пересекаются в одной точке и делятся в пропорции 2:1, считая от вершины.
Доказательство:
- Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Проведем две медианы AE и BD, которые пересекаются в точке X (рис. 2).
Середины отрезков AX и BX обозначим, соответственно, буквами F и G (рисунок 3).
Соединим между собой точки (D, F, G и E) и получим четырёхугольник DFGE (рис. 4).
DE || AB и DE = AB / 2.
FG || AB и FG = AB / 2
FX=XE, GX=XD
Что и требовалось доказать.
Второе свойство
Доказать, что медиана, проведённая с вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
Доказательство:
- Чтобы доказать это свойство рассмотрим прямоугольный треугольник ABC и проведём медиану к гипотенузе. Точку ее пересечения с гипотенузой обозначим буквой D (рис. 6).
Отразим симметрично наш треугольник ABC относительно отрезка AB (рисунок 7). В результате получим четырёхугольник AEBC, в котором AD=DB (поскольку CD медиана к стороне AB) и CD=DE (по построению). То есть диагонали четырехугольника AEBC пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Отсюда следует, что AEBC является параллелограммом (по признаку параллелограмма).
Что и требовалось доказать.
Третье свойство
Доказать, что медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, является радиусом описанной окружности.
Доказательство:
- Опишем вокруг прямоугольного треугольника ABC окружность.
Что и требовалось доказать.
Понравилась статья, расскажите о ней друзьям:
Источник
Медиана, проведенная к гипотенузе
Определим и докажем, чему равна медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе.
Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
Дано: ∆ ABC, ∠ BCA=90º
Доказать: медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
1) В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла С проведем к гипотенузе AB отрезок CO так, чтобы CO=OA.
2) ∆ AOC — равнобедренный с основанием AC (по определению равнобедренного треугольника).
Значит, у него углы при основании равны: ∠ OAC = ∠ OCA=α.
3) Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то в треугольнике ABC ∠ B=90º- α.
4) Так как ∠ BCA=90º (по условию), то ∠ BCO=90º- ∠ OCA=90º-α.
5) Рассмотрим треугольник BOC.
∠ BCO=90º-α, ∠ B=90º- α, следовательно, ∠ BCO= ∠ B.
Значит, треугольник BOC — равнобедренный с основанием BC (по признаку равнобедренного треугольника).
6) Так как CO=OA (по построению) и BO=CO (по доказанному), то CO=OA=BO, AB=OA+BO=2∙OA=2∙CO.
Таким образом, точка O — середина гипотенузы AB, отрезок CO соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, значит, CO — медиана, проведенная к гипотенузе, и она равна половине гипотенузы:
Что и требовалось доказать.
Этот способ может быть использован для доказательства свойства медианы прямоугольного треугольника в 7 классе, поскольку опирается только на материал, уже знакомый к моменту изучения данной темы.
Еще один способ доказательства свойства медианы, проведенной к гипотенузе, рассмотрим в следующий раз.
Источник
Медиана в прямоугольном треугольнике
Медиана в прямоугольном треугольнике — это отрезок, который соединяет вершину треугольника и середину противоположной стороны, то есть вершину острого угла с серединой противолежащего катета или вершину прямого угла с серединой гипотенузы.
Все медианы прямоугольного треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении два к одному, считая от вершины:
Из всех медиан прямоугольного треугольника в задачах чаще всего речь идет о медиане, проведенной к гипотенузе. Это связано с ее свойствами.
Свойства медианы, проведенной к гипотенузе:
1) Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
(в следующий раз рассмотрим доказательство этого свойства)
2) Медиана, проведенная к гипотенузе, равна радиусу описанной около прямоугольного треугольника окружности.
Пользуясь свойствами прямоугольного треугольника, длины медиан прямоугольного треугольника можно выразить через катеты и острые углы.
Например:
12 Comments
Информация очень хорошая. Правда не помогла мне решить задачу, которую мой сын не решил на контрольной. приведу условие:
Из прямого угла треугольника проведена медиана на гипотенузу. Длина медианы 6см. Определить катеты.
Петр, данных для определения катетов недостаточно. Длина гипотенузы в 2 раза больше длины медианы — 12 см. Это всё, что можно сказать по данным условия.
не правда надо провести высоту из прямого угла дальше все получится. один катет равен 6 а второй 2 корня из 22
Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Проверим 6^2+(2*корень из 22)^2
=36+4*22=36+88=124. Квадрат гипотенузы 12^2=144
попробуйте составить уравнение,обозначив 1 из катетов через х а 2-ой катет обозначьте буквами…x^2+BC^2=12^2…да числа не очень,но это 1 способ..решаю дальше:BC^2=12^2-x^2
BC^2=11x
X^2+11X=144
X^2=12
x(1 катет)=корню из 12,а «-ой катет=11 корней из 12….решал на основе теоремы пифагора
задача имеет бесконечное кол-во решений. решение возможно только в виде формулы или графика, где описана зависимость между катетами и гипотенузой
Да просто треугольник медианой делится на два треугольника с одинаковыми катетами, а дальше как уже предлагалось выше Пифагор во спасение))
А кто вам сказал, что медиана в прямоугольном треугольнике является еще и высотой? Откуда у вас два треугольника с одинаковыми катетами?
Спасибо за понятное объяснение, но у нас задача немного другая.
В прямоугольном треугольнике АВС угол С= 90 градусов,медиана ВВ1 равна 10 см.Найдите медианы АА1 СС1, если известно, что АС=12 см.( используя т.Пифагора.
1) Рассмотрим треугольник BB1C. В нём угол С равен 90 градусов, BB1=10 см, B1C=6 см (так как BB1 — медиана). По теореме Пифагора находим BC: BC=8 см. 2) Рассмотрим треугольник AA1C. В нём угол С равен 90 градусов, AC=12 см, AA1=4 см (так как BB1 — медиана). По теореме Пифагора находим AA1: AA1=4√10 см.3) Из треугольника ABC по теореме Пифагора найдём AB: AB=4√13 см. 4) CC1=1/2 AB (как медиана, проведённая к гипотенузе), CC1=2√13 см.
Где-то так.
Источник
Определение и свойства медианы прямоугольного треугольника
В данной статье мы рассмотрим определение и свойства медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.
Определение медианы прямоугольного треугольника
Медиана – это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
Прямоугольный треугольник – это треугольник, в котором один из углов является прямым (90°), а два остальных – острыми ( Свойства медианы прямоугольного треугольника
Свойство 1
Медиана (AD) в прямоугольном треугольнике, проведенная из вершины прямого угла (∠BAC) к гипотенузе (BC), равна половине гипотенузы.
Следствие: Если медиана равняется половине стороны, к которой она проведена, то данная сторона является гипотенузой, а треугольник – прямоугольным.
Свойство 2
Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равняется половине квадратного корня из суммы квадратов катетов.
Для нашего треугольника (см. рисунок выше):
Это следует из теоремы Пифагора и Свойства 1.
Свойство 3
Медиана, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, равна радиусу описанной вокруг треугольника окружности.
Т.е. BO – это одновременно и медиана, и радиус.
Примечание: К прямоугольному треугольнику также применимы общие свойства медианы, независимо от вида треугольника.
Пример задачи
Длина медианы, проведенной в гипотенузе прямоугольного треугольника, составляет 10 см. А один из катетов равен 12 см. Найдите периметр треугольника.
Решение
Гипотенуза треугольника, как следует из Свойства 1, в два раза больше медианы. Т.е. она равняется: 10 см ⋅ 2 = 20 см.
Воспользовавшись теоремой Пифагора находим длину второго катета (примем его за “b”, известный катет – за “a”, гипотенузу – за “с”):
b 2 = с 2 – a 2 = 20 2 – 12 2 = 256.
Следовательно, b = 16 см.
Теперь мы знаем длины всех сторон и можем посчитать периметр фигуры:
P△ = 12 см + 16 см + 20 см = 48 см.
Источник