Прямоугольном треугольнике медиана проведенная к гипотенузе равна половине гипотенузы

Свойства медианы в прямоугольном треугольнике с доказательствами

В этой статье мы рассмотрим свойства медианы в прямоугольном треугольнике, а также их доказательства.

Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Для прямоугольного треугольника это будут медианы, проведённые с острого угла к серединам катетов или с прямого к центру гипотенузы (рис. 1).

Свойства медианы в прямоугольном треугольнике

  1. Медианы в прямоугольном треугольнике пересекаются в одной точке, а точка пересечения делит их в соотношении два к одному считая от вершины, из которой проведена медиана.
  2. Медиана, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
  3. Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, является радиусом описанной окружности.

Доказательства свойств

Первое свойство

Доказать, что медианы в прямоугольном треугольнике пересекаются в одной точке и делятся в пропорции 2:1, считая от вершины.

Доказательство:

  1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Проведем две медианы AE и BD, которые пересекаются в точке X (рис. 2).

Середины отрезков AX и BX обозначим, соответственно, буквами F и G (рисунок 3).

Соединим между собой точки (D, F, G и E) и получим четырёхугольник DFGE (рис. 4).

  • Сторона DE этого четырёхугольника будет средней линией треугольника ABC. Согласно определению: отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, является его средней линией. При этом по свойству средняя линия параллельна не пересекающейся с ней стороне и равна половине этой стороны, то есть.
    DE || AB и DE = AB / 2.
  • Аналогично сторона FG треугольника AXB будет его средней линией.
    FG || AB и FG = AB / 2
  • Отсюда следует, что отрезки DE и FG являются параллельными и равными. Следовательно, четырехугольник DFGE – параллелограмм (по признаку параллелограмма).
  • Так как диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам, то
    FX=XE, GX=XD

  • Так как AF = FX (по построению), то и AF = FX = XE, аналогично DX = XG = GB.
  • Получается, что точка X делит обе медианы AE и BD в соотношении 2 к 1 считая от вершины треугольника.
  • Аналогично, мы сможем доказать, что точка пересечения 3-ей медианы, проведенной из прямого угла к гипотенузе, с медианой AE (или BD) будет делить ее в соотношении 2 к 1, считая от вершины. То есть наша 3-я медиана также пройдет через точку X. Отсюда следует, что все 3 наши медианы пересекаются в одной точке.
  • Что и требовалось доказать.

    Читайте также:  Если диагональ параллелограмма делит его угол пополам то это параллелограмм квадрат

    Второе свойство

    Доказать, что медиана, проведённая с вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

    Доказательство:

    1. Чтобы доказать это свойство рассмотрим прямоугольный треугольник ABC и проведём медиану к гипотенузе. Точку ее пересечения с гипотенузой обозначим буквой D (рис. 6).

    Отразим симметрично наш треугольник ABC относительно отрезка AB (рисунок 7). В результате получим четырёхугольник AEBC, в котором AD=DB (поскольку CD медиана к стороне AB) и CD=DE (по построению). То есть диагонали четырехугольника AEBC пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Отсюда следует, что AEBC является параллелограммом (по признаку параллелограмма).

  • Один из признаков прямоугольника говорит о том, что параллелограмм является прямоугольником, если хотя бы один из его углов прямой. Поскольку ∠ACB прямой (по построению), то AEBC — прямоугольник.
  • Поскольку диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам (свойство прямоугольника), то AB = CE и AD = DB = CD = DE.

  • Так как AB = AD + DB, AD = BD и СD = AD = BD, то получается, что медиана AD, проведенная к гипотенузе AB равна половине ее длины.
  • Что и требовалось доказать.

    Третье свойство

    Доказать, что медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, является радиусом описанной окружности.

    Доказательство:

    1. Опишем вокруг прямоугольного треугольника ABC окружность.

  • Поскольку точка C уже лежит на окружности, то для того, чтобы доказать, что медиана CM является радиусом, нам надо доказать, что точка M – центр описанной окружности (т.е. равноудалена от нее).
  • Так как медиана делит отрезок пополам, а медиана проведенная к гипотенузе равна ее половине (согласно доказанному выше свойству), то точка M будет равноудалена от всех вершин треугольника, которые в свою очередь касаются окружности (рисунок 8).
  • Отсюда следует, что окружность, описанная вокруг прямоугольного треугольника ABC будет иметь центр на середине гипотенузы (в точке M), а медиана CM будет радиусом описанной окружности.
  • Что и требовалось доказать.

    Понравилась статья, расскажите о ней друзьям:

    Источник

    Медиана, проведенная к гипотенузе

    Определим и докажем, чему равна медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе.

    Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

    Дано: ∆ ABC, ∠ BCA=90º

    Доказать: медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

    1) В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла С проведем к гипотенузе AB отрезок CO так, чтобы CO=OA.

    2) ∆ AOC — равнобедренный с основанием AC (по определению равнобедренного треугольника).

    Значит, у него углы при основании равны: ∠ OAC = ∠ OCA=α.

    3) Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то в треугольнике ABC ∠ B=90º- α.

    4) Так как ∠ BCA=90º (по условию), то ∠ BCO=90º- ∠ OCA=90º-α.

    Читайте также:  Bc ad 3 4 sabc 30 найдите площадь трапеции

    5) Рассмотрим треугольник BOC.

    ∠ BCO=90º-α, ∠ B=90º- α, следовательно, ∠ BCO= ∠ B.

    Значит, треугольник BOC — равнобедренный с основанием BC (по признаку равнобедренного треугольника).

    6) Так как CO=OA (по построению) и BO=CO (по доказанному), то CO=OA=BO, AB=OA+BO=2∙OA=2∙CO.

    Таким образом, точка O — середина гипотенузы AB, отрезок CO соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, значит, CO — медиана, проведенная к гипотенузе, и она равна половине гипотенузы:

    Что и требовалось доказать.

    Этот способ может быть использован для доказательства свойства медианы прямоугольного треугольника в 7 классе, поскольку опирается только на материал, уже знакомый к моменту изучения данной темы.

    Еще один способ доказательства свойства медианы, проведенной к гипотенузе, рассмотрим в следующий раз.

    Источник

    Медиана в прямоугольном треугольнике

    Медиана в прямоугольном треугольнике — это отрезок, который соединяет вершину треугольника и середину противоположной стороны, то есть вершину острого угла с серединой противолежащего катета или вершину прямого угла с серединой гипотенузы.

    Все медианы прямоугольного треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении два к одному, считая от вершины:

    Из всех медиан прямоугольного треугольника в задачах чаще всего речь идет о медиане, проведенной к гипотенузе. Это связано с ее свойствами.

    Свойства медианы, проведенной к гипотенузе:

    1) Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

    (в следующий раз рассмотрим доказательство этого свойства)

    2) Медиана, проведенная к гипотенузе, равна радиусу описанной около прямоугольного треугольника окружности.

    Пользуясь свойствами прямоугольного треугольника, длины медиан прямоугольного треугольника можно выразить через катеты и острые углы.

    Например:

    12 Comments

    Информация очень хорошая. Правда не помогла мне решить задачу, которую мой сын не решил на контрольной. приведу условие:
    Из прямого угла треугольника проведена медиана на гипотенузу. Длина медианы 6см. Определить катеты.

    Петр, данных для определения катетов недостаточно. Длина гипотенузы в 2 раза больше длины медианы — 12 см. Это всё, что можно сказать по данным условия.

    не правда надо провести высоту из прямого угла дальше все получится. один катет равен 6 а второй 2 корня из 22

    Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Проверим 6^2+(2*корень из 22)^2
    =36+4*22=36+88=124. Квадрат гипотенузы 12^2=144

    попробуйте составить уравнение,обозначив 1 из катетов через х а 2-ой катет обозначьте буквами…x^2+BC^2=12^2…да числа не очень,но это 1 способ..решаю дальше:BC^2=12^2-x^2
    BC^2=11x
    X^2+11X=144
    X^2=12
    x(1 катет)=корню из 12,а «-ой катет=11 корней из 12….решал на основе теоремы пифагора

    задача имеет бесконечное кол-во решений. решение возможно только в виде формулы или графика, где описана зависимость между катетами и гипотенузой

    Да просто треугольник медианой делится на два треугольника с одинаковыми катетами, а дальше как уже предлагалось выше Пифагор во спасение))

    Читайте также:  Одна окружность катится по другой

    А кто вам сказал, что медиана в прямоугольном треугольнике является еще и высотой? Откуда у вас два треугольника с одинаковыми катетами?

    Спасибо за понятное объяснение, но у нас задача немного другая.
    В прямоугольном треугольнике АВС угол С= 90 градусов,медиана ВВ1 равна 10 см.Найдите медианы АА1 СС1, если известно, что АС=12 см.( используя т.Пифагора.

    1) Рассмотрим треугольник BB1C. В нём угол С равен 90 градусов, BB1=10 см, B1C=6 см (так как BB1 — медиана). По теореме Пифагора находим BC: BC=8 см. 2) Рассмотрим треугольник AA1C. В нём угол С равен 90 градусов, AC=12 см, AA1=4 см (так как BB1 — медиана). По теореме Пифагора находим AA1: AA1=4√10 см.3) Из треугольника ABC по теореме Пифагора найдём AB: AB=4√13 см. 4) CC1=1/2 AB (как медиана, проведённая к гипотенузе), CC1=2√13 см.
    Где-то так.

    Источник

    Определение и свойства медианы прямоугольного треугольника

    В данной статье мы рассмотрим определение и свойства медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.

    Определение медианы прямоугольного треугольника

    Медиана – это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

    Прямоугольный треугольник – это треугольник, в котором один из углов является прямым (90°), а два остальных – острыми ( Свойства медианы прямоугольного треугольника

    Свойство 1

    Медиана (AD) в прямоугольном треугольнике, проведенная из вершины прямого угла (∠BAC) к гипотенузе (BC), равна половине гипотенузы.

    Следствие: Если медиана равняется половине стороны, к которой она проведена, то данная сторона является гипотенузой, а треугольник – прямоугольным.

    Свойство 2

    Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равняется половине квадратного корня из суммы квадратов катетов.

    Для нашего треугольника (см. рисунок выше):

    Это следует из теоремы Пифагора и Свойства 1.

    Свойство 3

    Медиана, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, равна радиусу описанной вокруг треугольника окружности.

    Т.е. BO – это одновременно и медиана, и радиус.

    Примечание: К прямоугольному треугольнику также применимы общие свойства медианы, независимо от вида треугольника.

    Пример задачи

    Длина медианы, проведенной в гипотенузе прямоугольного треугольника, составляет 10 см. А один из катетов равен 12 см. Найдите периметр треугольника.

    Решение
    Гипотенуза треугольника, как следует из Свойства 1, в два раза больше медианы. Т.е. она равняется: 10 см ⋅ 2 = 20 см.

    Воспользовавшись теоремой Пифагора находим длину второго катета (примем его за “b”, известный катет – за “a”, гипотенузу – за “с”):
    b 2 = с 2 – a 2 = 20 2 – 12 2 = 256.
    Следовательно, b = 16 см.

    Теперь мы знаем длины всех сторон и можем посчитать периметр фигуры:
    P = 12 см + 16 см + 20 см = 48 см.

    Источник

    Поделиться с друзьями
    Объясняем