Прямоугольник: определение, свойства, признаки
Определение. Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые.
Свойство 1. Диагонали прямоугольника равны.
Доказательство. 
Свойство 2. Любой прямоугольник вписывается в окружность, причём диагональ является диаметром этой окружности.
Доказательство. Сумма противолежащих углов равна 180°, а каждый угол прямой.
Свойство 3. Площадь прямоугольника равна произведению двух прилежащих сторон.
Доказательство. Рассмотрение 3 случаев: целые, рациональные стороны и иррациональные стороны.
Признак 1. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.
Доказательство. 
, как в параллелограмме. Значит, они равны по 90°.
Признак 2. Если параллелограмм вписывается в окружность, то этот параллелограмм – прямоугольник.
Доказательство. Противолежащие углы равны, как у параллелограмма, и в сумме дают 180°, как у вписанного четырёхугольника. Значит, все углы прямые, и это прямоугольник.
2. Нахождение катета (a) и острых углов (∠A, ∠B) прямоугольного треугольника по данным гипотенузе (c) и другому катету (b).
Источник
Прямоугольник
Частным видом параллелограмма является прямоугольник.
| Прямоугольником называют параллелограмм, у которого все углы прямые |
ABCD — прямоугольник.
Особое свойство прямоугольника
| Диагонали прямоугольника равны |
Доказательство
Дано: ABCD — прямоугольник
Доказать: AC = DB
Доказательство:
Рассмотрим 
ABD иACB: ABCD — прямоугольник, 
А и B — прямые, ABD иACB — прямоугольные. AD = CB (по свойству параллелограмма). AB — общий катет, ABD =ACB (по двум катетам). А в равных треугольниках против соответственно равных углов лежат равные стороны, значит, AC = DB, что и требовалось доказать.
Теорема
Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник
Доказательство
Дано: ABCD — параллелограмм, AC = DB
Доказать: ABCD — прямоугольник
Доказательство:
Рассмотрим ABD иACB:
AC = DB (по условию), AD = BC (по свойству параллелограмма), AB — общая, ABD =ACB (по трем сторонам). А в равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы, A = B. А в параллелограмме противоположные углы равны, значит A = C и В = D, A = В = C = D (1). A + В + C + D = 360 0 (2)(т.к. параллелограмм выпуклый четырёхугольник). Следовательно, из (2), учитывая (1), получаем, что A = В = C = D = 90 0 , ABCD — прямоугольник, что и требовалось доказать.
Теорема
| Если один из углов параллелограмма прямой, то этот параллелограмм — прямоугольник |
Доказательство
Дано: ABCD — параллелограмм, A = 90 0
Доказать: ABCD — прямоугольник
Доказательство:
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180 0 , т.е. A + В = 180 0 , В = 180 0 — A = 180 0 — 90 0 = 90 0
Противолежащие углы параллелограмма равны, A = C = 90 0 и В = D = 90 0
Итак: ABCD — параллелограмм (по условию), и все его углы прямые (по доказанному выше), ABCD — прямоугольник (по определению), что и требовалось доказать.
Две теоремы, доказанные выше, называют признаками прямоугольника.
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Источник
Прямоугольник
Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые.
Частным случаем прямоугольника является квадрат.
Свойства прямоугольника
1. Так как прямоугольник – это параллелограмм, то все свойства параллелограмма верны и для прямоугольника.
Помимо этого:
2. Стороны прямоугольника являются его высотами.
3. Диагонали прямоугольника равны.
4. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его соседних сторон.
5. Около любого прямоугольника можно описать окружность, при этом диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности.
Признаки параллелограмма
Параллелограмм является прямоугольником, если выполняется любое из условий:
1. Диагонали параллелограмма равны.
2. Квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов соседних сторон.
3. Все углы параллелограмма равны.
Площадь прямоугольника
Смотрите также таблицу-шпаргалку «Площади простейших фигур» здесь.
Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:
Источник