- Окружность, вписанная в трапецию
- Что такое окружность, вписанная в трапецию
- Где находится центр такой окружности
- Формулы для расчета
- Свойства прямоугольной трапеции
- Основные свойства прямоугольной трапеции
- Свойства прямоугольной трапеции, в которую вписана окружность
- SABCD = BC * AD
- Вписанная в трапецию окружность
- Трапеция. Свойства трапеции
- Свойства трапеции
- Свойства и признаки равнобедренной трапеции
- Вписанная окружность
- Площадь
Окружность, вписанная в трапецию
Что такое окружность, вписанная в трапецию
Окружность можно вписать в любой треугольник. Однако это утверждение нельзя применить к любому из четырехугольников.
Прежде чем приступить к рассмотрению темы о вписанной в трапецию окружности, дадим определение вписанной окружности.
Вписанной в многоугольник окружностью называют окружность, которая касается каждой из сторон многоугольника в одной точке. Многоугольник в этом случае называют описанным около окружности.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Теорема о вписанной окружности: в произвольный выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.
Доказательство: пусть имеется произвольный четырехугольник MNKL и вписанная в него окружность. Обозначим точки касания окружности со сторонами четырехугольника как O, P, R, S.
Если касательные проведены из одной точки, то отрезки, построенные от этой точки до точки касания с окружностью, равны. Тогда KS=KR, LS=LO, MO=MP, NR=NP. Вычислим суммы противоположных сторон: MN+KL=(MP+NP)+(KS+LS) и NK+ML=(NR+KR)+(MO+LO).
Из равенства отрезков получим, что MN+KL= NK+ML.
Четырехугольник считают выпуклым, если он расположен в одной полуплоскости относительно линии, проходящей через любую из его сторон.
Трапеция является выпуклым четырехугольником. При этом две параллельные стороны трапеции называют основаниями, а две остальные — боковыми сторонами.
Тогда необходимым условием наличия вписанной окружности в трапецию будет равенство суммы ее оснований и боковых сторон.
Для обратного случая — окружность описана вокруг трапеции, трапеция должна быть равнобедренной, то есть ее боковые стороны должны быть равными.
Рассмотрим свойства вписанной в трапецию окружности.
Из свойства биссектрис при боковых сторонах трапеции следует, что радиусы вписанной окружности, проведенные к вершинам боковой стороны и лежащие на биссектрисах, образуют прямой угол.
Биссектрисы трапеции пересекаются под углом 90°.
Радиус вписанной окружности, проведенный к точкам касания, перпендикулярен сторонам трапеции (по свойству перпендикулярности радиуса и касательной).
Из предыдущего свойства вытекает следующее: радиус вписанной окружности равен половине высоты трапеции, а диаметр — полной длине высоты.
Высота трапеции — прямая, опущенная от одного основания к другому под прямым углом.
Где находится центр такой окружности
Для построения и решения задача необходимо определить, где расположен центр вписанной окружности.
Центр окружности, вписанной в трапецию, лежит в точке пересечения биссектрис.
Биссектрисы трапеции пересекаются под прямым углом, отсюда можно сделать следующий вывод: треугольники MON и KOL — прямоугольные.
Формулы для расчета
Основными характеристиками любой окружности являются радиус и диаметр.
Точка касания окружности радиусом R и боковой стороны делит последнюю на два отрезка v и q. Тогда формула для вычисления радиуса будет иметь вид:
Если трапеция равнобедренная и сумма длин оснований равна двум длинам боковой стороны, радиус вписанной окружности:
Диаметр равен длине двух радиусов, значит:
Формула радиуса через высоту трапеции:
Диаметр через высоту:
Если значение высоты неизвестно, ее можно найти через длины диагоналей \(d_1\) и \(d_2\) и оснований a и b трапеции:
где γ — угол между диагоналями трапеции.
Площадь вписанной окружности через параметры трапеции (высоту, отрезки боковой стороны):
\(S=\pi R^2=\frac14\pi h^2\)
\(S=\pi R^2=\pi\cdot v\cdot q\)
В случае равнобедренной трапеции:
Периметр вписанной окружности через параметры трапеции:
Если трапеция равнобедренная:
Приведем формулы для вычисления произвольной и равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности R.
Полусумма оснований a и b равна средней линии l, тогда:
Площадь равнобедренной трапеции:
где α — угол между основанием и боковой стороной.
Источник
Свойства прямоугольной трапеции
В данной статье мы расскажем Вам о свойствах прямоугольной трапеции, как обычной, так и той, в которую вписана окружность.
Для начала напомним некоторые основные определения.
Трапеция – это четырехугольник, имеющий 2 параллельные друг другу стороны, причем 2 другие стороны параллельными не являются.
Прямоугольная трапеция — это такая трапеция, одна из боковых сторон которой перпендикулярна ее основаниям (изображена на рис.).
Средняя линия трапеции – это отрезок, который соединяет середины боковых сторон фигуры (на рис. EF).
Основные свойства прямоугольной трапеции
- Средняя линия EF равна половине суммы ее оснований BC и AD.
- точка пересечения (H) диагоналей прямоугольной трапеции AC и BD;
- точка пересечения (E) продолжений боковых сторон трапеции AB и CD;
- середины (F и G) оснований трапеции BC и AD.
Данным свойством обладает как прямоугольная, так и равносторонняя трапеция.
Свойства прямоугольной трапеции, в которую вписана окружность
SABCD = BC * AD
Узнать подробнее о свойствах трапеции с прямым углом, в которую вписана окружность, а также ознакомиться с доказательствами этих свойств, можно на сайте uznateshe.ru.
Понравилась статья, расскажите о ней друзьям:
Источник
Вписанная в трапецию окружность
Когда в трапецию можно вписать окружность? Какими свойствами обладает вписанная в трапецию окружность? Где находится центр этой окружности? Чему равен ее радиус?
1. В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда когда суммы ее противоположных сторон равны.
1) В трапецию ABCD можно вписать окружность, если AD+BC=AB+CD.
2) Обратно, если AD+BC=AB+CD, то в трапецию ABCD можно вписать окружность.
2. Центр вписанной в трапецию окружности — точка пересечения её биссектрис.
O — точка пересечения
биссектрис трапеции ABCD.
3. По свойству биссектрис трапеции, прилежащие к её боковой стороне,
и точка O лежит на средней линии трапеции.
4. Точки касания, лежащие на сторонах, выходящих из одной вершины, равноудалены от этой вершины:
5.
6. Диаметр вписанной в трапецию окружности равен высоте трапеции, радиус — половине высоты:
Источник
Трапеция. Свойства трапеции
Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).
Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны .
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной .
Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции .
Свойства трапеции
1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.
3. Треугольники и
, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.
Коэффициент подобия –
Отношение площадей этих треугольников есть .
4. Треугольники и
, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.
5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.
6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.
7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.
Свойства и признаки равнобедренной трапеции
1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.
2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.
3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.
4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.
5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.
Вписанная окружность
Если в трапецию вписана окружность с радиусом и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка —
и
, то
Площадь
или
где
– средняя линия
Смотрите хорошую подборку задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.
Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:
Источник