Прямоугольная трапеция со вписанной окружностью свойства

Свойства прямоугольной трапеции

В данной статье мы расскажем Вам о свойствах прямоугольной трапеции, как обычной, так и той, в которую вписана окружность.

Для начала напомним некоторые основные определения.

Трапеция – это четырехугольник, имеющий 2 параллельные друг другу стороны, причем 2 другие стороны параллельными не являются.

Прямоугольная трапеция — это такая трапеция, одна из боковых сторон которой перпендикулярна ее основаниям (изображена на рис.).

Средняя линия трапеции – это отрезок, который соединяет середины боковых сторон фигуры (на рис. EF).

Основные свойства прямоугольной трапеции

  1. Средняя линия EF равна половине суммы ее оснований BC и AD.

  • Средняя линия EF параллельна основаниям трапеции BC и AD.
  • На одной прямой размещаются:
    • точка пересечения (H) диагоналей прямоугольной трапеции AC и BD;
    • точка пересечения (E) продолжений боковых сторон трапеции AB и CD;
    • середины (F и G) оснований трапеции BC и AD.

    Данным свойством обладает как прямоугольная, так и равносторонняя трапеция.

  • Свойства прямоугольной трапеции, в которую вписана окружность

    SABCD = BC * AD

    Узнать подробнее о свойствах трапеции с прямым углом, в которую вписана окружность, а также ознакомиться с доказательствами этих свойств, можно на сайте uznateshe.ru.

    Понравилась статья, расскажите о ней друзьям:

    Источник

    Вписанная в трапецию окружность

    Когда в трапецию можно вписать окружность? Какими свойствами обладает вписанная в трапецию окружность? Где находится центр этой окружности? Чему равен ее радиус?

    1. В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда когда суммы ее противоположных сторон равны.

    1) В трапецию ABCD можно вписать окружность, если AD+BC=AB+CD.

    2) Обратно, если AD+BC=AB+CD, то в трапецию ABCD можно вписать окружность.

    Читайте также:  Прямоугольная слойка с сыром

    2. Центр вписанной в трапецию окружности — точка пересечения её биссектрис.

    O — точка пересечения

    биссектрис трапеции ABCD.

    3. По свойству биссектрис трапеции, прилежащие к её боковой стороне,

    и точка O лежит на средней линии трапеции.

    4. Точки касания, лежащие на сторонах, выходящих из одной вершины, равноудалены от этой вершины:

    5.

    6. Диаметр вписанной в трапецию окружности равен высоте трапеции, радиус — половине высоты:

    Источник

    Окружность, вписанная в трапецию

    Что такое окружность, вписанная в трапецию

    Окружность можно вписать в любой треугольник. Однако это утверждение нельзя применить к любому из четырехугольников.

    Прежде чем приступить к рассмотрению темы о вписанной в трапецию окружности, дадим определение вписанной окружности.

    Вписанной в многоугольник окружностью называют окружность, которая касается каждой из сторон многоугольника в одной точке. Многоугольник в этом случае называют описанным около окружности.

    Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

    Теорема о вписанной окружности: в произвольный выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.

    Доказательство: пусть имеется произвольный четырехугольник MNKL и вписанная в него окружность. Обозначим точки касания окружности со сторонами четырехугольника как O, P, R, S.

    Если касательные проведены из одной точки, то отрезки, построенные от этой точки до точки касания с окружностью, равны. Тогда KS=KR, LS=LO, MO=MP, NR=NP. Вычислим суммы противоположных сторон: MN+KL=(MP+NP)+(KS+LS) и NK+ML=(NR+KR)+(MO+LO).

    Из равенства отрезков получим, что MN+KL= NK+ML.

    Четырехугольник считают выпуклым, если он расположен в одной полуплоскости относительно линии, проходящей через любую из его сторон.

    Трапеция является выпуклым четырехугольником. При этом две параллельные стороны трапеции называют основаниями, а две остальные — боковыми сторонами.

    Тогда необходимым условием наличия вписанной окружности в трапецию будет равенство суммы ее оснований и боковых сторон.

    Для обратного случая — окружность описана вокруг трапеции, трапеция должна быть равнобедренной, то есть ее боковые стороны должны быть равными.

    Читайте также:  Как правильно мерить окружность грудной клетки

    Рассмотрим свойства вписанной в трапецию окружности.

    Из свойства биссектрис при боковых сторонах трапеции следует, что радиусы вписанной окружности, проведенные к вершинам боковой стороны и лежащие на биссектрисах, образуют прямой угол.

    Биссектрисы трапеции пересекаются под углом 90°.

    Радиус вписанной окружности, проведенный к точкам касания, перпендикулярен сторонам трапеции (по свойству перпендикулярности радиуса и касательной).

    Из предыдущего свойства вытекает следующее: радиус вписанной окружности равен половине высоты трапеции, а диаметр — полной длине высоты.

    Высота трапеции — прямая, опущенная от одного основания к другому под прямым углом.

    Где находится центр такой окружности

    Для построения и решения задача необходимо определить, где расположен центр вписанной окружности.

    Центр окружности, вписанной в трапецию, лежит в точке пересечения биссектрис.

    Биссектрисы трапеции пересекаются под прямым углом, отсюда можно сделать следующий вывод: треугольники MON и KOL — прямоугольные.

    Формулы для расчета

    Основными характеристиками любой окружности являются радиус и диаметр.

    Точка касания окружности радиусом R и боковой стороны делит последнюю на два отрезка v и q. Тогда формула для вычисления радиуса будет иметь вид:

    Если трапеция равнобедренная и сумма длин оснований равна двум длинам боковой стороны, радиус вписанной окружности:

    Диаметр равен длине двух радиусов, значит:

    Формула радиуса через высоту трапеции:

    Диаметр через высоту:

    Если значение высоты неизвестно, ее можно найти через длины диагоналей \(d_1\) и \(d_2\) и оснований a и b трапеции:

    где γ — угол между диагоналями трапеции.

    Площадь вписанной окружности через параметры трапеции (высоту, отрезки боковой стороны):

    \(S=\pi R^2=\frac14\pi h^2\)

    \(S=\pi R^2=\pi\cdot v\cdot q\)

    В случае равнобедренной трапеции:

    Периметр вписанной окружности через параметры трапеции:

    Если трапеция равнобедренная:

    Приведем формулы для вычисления произвольной и равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности R.

    Полусумма оснований a и b равна средней линии l, тогда:

    Площадь равнобедренной трапеции:

    где α — угол между основанием и боковой стороной.

    Источник

    Свойства прямоугольной трапеции

    Сегодня рассмотрим прямоугольную трапецию и ее свойства.

    Трапеция, у которой два угла прямые, называется прямоугольной.

    Читайте также:  Нахождение основания трапеции через высоту

    Свойства прямоугольной трапеции довольно часто применяются при решении задач, поэтому их нужно понять и запомнить.

    1)В прямоугольной трапеции (впрочем, как и в любой трапеции) сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180 градусов.

    ∠А + ∠В = 180, ∠С + ∠Д = 180.

    2) Одна сторона прямоугольной трапеции одновременно служит высотой трапеции.

    АВ ⊥ АД

    3) Высота проведенная из вершины С, равна боковой стороне.

    СК = АВ

    4) Высота прямоугольной трапеции делит ее на прямоугольник и прямоугольный треугольник.

    5) Диагональ прямоугольной трапеции делит ее на два треугольника, один из которых прямоугольный.

    6) В прямоугольную трапецию можно вписать окружность. В этом случае

    • Сумма боковых сторон трапеции равна сумме ее оснований. АВ + СD = ВС + АВ
    • Диаметр окружности равен высоте трапеции. d = h

    А вот описать окружность около прямоугольной трапеции не получится, поскольку сумма ее противолежащих углов не равна 180 градусам.

    Хотите, чтобы справочный материал по геометрии всегда был у вас под рукой?

    Источник

    Свойства прямоугольной трапеции

    В данной публикации мы рассмотрим определение и основные свойства прямоугольной трапеции.

    Напомним, трапеция называется прямоугольной, если углы при одной из ее боковых сторон прямые, т.е. равняются 90°.

    Свойство 1

    Два угла прямоугольной трапеции обязательно являются прямыми, принадлежат одной боковой стороне, а вершины данных углов – смежные.

    Для рисунка выше:

    Свойство 2

    Одна из боковых сторон прямоугольной трапеции перпендикулярна ее основаниям.

    На рисунке выше: AB ⊥ AD и AB ⊥ BC.

    Свойство 3

    Высота прямоугольной трапеции (h) совпадает с меньшей боковой стороной (AB), перпендикулярной основаниям.

    Свойство 4

    Каждая из диагоналей прямоугольной трапеции делит ее на два треугольника, один из которых, также, является прямоугольным.

    • Диагональ AC делит трапецию на треугольники ABC и ACD, причем ΔABC является прямоугольным с прямым углом в вершине B.
    • Диагональ BD делит трапецию на ΔABD (прямоугольный) и ΔBCD.

    Примечание: остальные свойства, которые применимы ко всем видам трапеций, приведены в нашей публикации – “Что такое трапеция: определение, виды, свойства”.

    Источник

    Поделиться с друзьями
    Объясняем