Окружности все виды задач

Геометрия. Урок 5. Окружность

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

• Определение окружности

• Отрезки в окружности

Определение окружности

Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.

Эта точка называется центром окружности .

Отрезки в окружности

Радиус окружности R – отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности.

Хорда a – отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Диаметр d – хорда, проходящая через центр окружности, он равен двум радиусам окружности ( d = 2 R ).

O A – радиус, D E – хорда, B C – диаметр.

Теорема 1:
Радиус, перпендикулярный хорде, делит пополам эту хорду и дугу, которую она стягивает.

Касательная к окружности – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

Из одной точки, лежащей вне окружности, можно провести две касательные к данной окружности.

Теорема 2:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны ( A C = B C ).

Теорема 3:
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.

Дуга в окружности

Часть окружности, заключенная между двумя точками, называется дугой окружности .

Например, хорда A B стягивает две дуги: ∪ A M B и ∪ A L B .

Теорема 4:
Равные хорды стягивают равные дуги.

Если A B = C D , то ∪ A B = ∪ C D

Углы в окружности

В окружности существует два типа углов: центральные и вписанные.

Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности.

∠ A O B – центральный.

Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается . ∪ A B = ∠ A O B = α

Если провести диаметр, то он разобьёт окружность на две полуокружности. Градусная мера каждой полуокружности будет равна градусной мере развернутого угла, который на неё опирается.

Градусная мара всей окружности равна 360 ° .

Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

∠ A C B – вписанный.

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается . ∠ A C B = ∪ A B 2 = α 2 ∪ A B = 2 ⋅ ∠ A C B = α

Теорема 5:
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны .

∠ M A N = ∠ M B N = ∠ M C N = ∪ M N 2 = α 2

Теорема 6:
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (на диаметр), равен 90 ° .

∠ M A N = ∠ M B N = ∪ M N 2 = 180 ° 2 = 90 °

Длина окружности, длина дуги

Мы узнали, как измеряется градусная мера дуги окружности (она равна градусной мере центрального угла, который на нее опирается) и всей окружности целиком (градусная мера окружности равна 360 ° ). Теперь поговорим о том, что же такое длина дуги в окружности. Длина дуги – это значение, которое мы бы получили, если бы мерили дугу швейным сантиметром. Рассмотрим две окружности с разными радиусами, в каждой из которых построен центральный угол равный α .

Градусная мера дуги ∪ A B равна градусной мере дуги ∪ C D и равна α .

Но невооуруженным глазом видно, что длины дуг разные. Если градусная мера дуги окружности зависит только от величины центрального угла, который на неё опирается, то длина дуги окружности зависит ещё и от радиуса самой окружноси.

Длина окружности находится по формуле:

Длина дуги окружности , на которую опирается центральный угол α равна:

l α = π R 180 ∘ ⋅ α

Площадь круга и его частей

Теперь поговорим про площадь круга, площадь сектора и площадь сегмента.

Круг – часть пространства, которая находится внутри окружности.

Иными словами, окружность – это граница, а круг – это то, что внутри.

Примеры окружности в реальной жизни: велосипедное колесо, обруч, кольцо.

Примеры круга в реальной жизни: пицца, крышка от канализационного люка, плоская тарелка.

Площадь круга находится по формуле: S = π R 2

Сектор – это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Примеры сектора в реальной жизни: кусок пиццы, веер.

Площадь кругового сектора, ограниченного центральным углом α находится по формуле: S α = π R 2 360 ° ⋅ α

Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой и хордой, стягивающей эту дугу.

Примеры сегмента в реальной жизни: мармелад “лимонная долька”, лук для стрельбы.

Чтобы найти площадь сегмента, нужно сперва вычислить площадь кругового сектора, который данный сегмент содержит, а потом вычесть площадь треугольника, который образован центральным углом и хордой.

S = π R 2 360 ° ⋅ α − 1 2 R 2 sin α

Теорема синусов

Если вокруг произвольного треугольника описана окружность, то её радиус можно найти при помощи теоремы синусов:

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R Достаточно знать одну из сторон треугольника и синус угла, который напротив неё лежит. Из этих данных можно найти радиус описанной окружности.

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с окружностями.

Источник

Теория и практика окружности

Свойство касательных.

Свойства касательных и секущих.

Площадь, сектор, длина окружности.

Задачи на окружности.

По статистике окружности никто не любит, но при этом леденец любим, солнце любим, давай и окружность полюбим!

Окружность − геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от одной ее точки (центра). На рисунке центр − точка О.

В окружности может быть проведено 3 типа отрезка:

Отрезок, проходящий через две точки окружности, но не через центр, называют хордой (AB).

Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром (самая большая хорда в окружности − диаметр (D)).

Радиус − отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности. Диаметр в два раза больше радиуса (R).

А также две прямые снаружи от окружности:

Касательная имеет одну общую точку с окружностью. Сразу стоит сказать о том, что радиус, проведенный в точку касания, будет иметь с касательной угол 90°.

Секущая пересекает окружность в двух точках, внутри окружности получается хорда или, в частном случае, диаметр.

Теперь чуть-чуть об углах и дугах:

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее. Он в два раза меньше дуги, на которую опирается.

Центральный угол — это угол, вершина которого находится в центре окружности, равен дуге на которую опирается.

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны между собой (β=β=α/2) и равны половине дуги, на которую опираются.

Градусная мера дуги – величина в °, соответствует центральному углу. Длина дуги равна α.

А вот такой угол НЕвписанный, такой угол «никто и звать никак».

Можно сделать вывод, что вписанный угол, который опирается на половину дуги окружности, будет прямым, а также будет опираться на диаметр:

Любая пара углов, опирающихся на одну и ту же хорду, вершина которых находится по разные стороны от хорды, составляет в сумме 180°.

Запишем основные свойства углов в окружности:

Нашел что-то общее?

Если угол находится вне окружности, без разницы, чем он получен (касательной или секущей), то найти его можно через половину разности дуг.

Если угол находится внутри окружности, то находим его через полусумму дуг.

Если есть одна дуга, которая находится на требуемом угле, то угол равен половине этой дуги.

Для любых двух хорд, проходящих через некоторую точку О, выполняет равенство:

Для любых двух секущих, проходящих через некоторую точку O, выполняется равенство:

Согласен, что они похожи, особенно если не смотреть на картинки.
Как не перепутать такие равенства? В каждом отрезке должна присутствовать точка, вне окружности (О).

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая:

Аналогично в каждом отрезке присутствует точка, вне окружности (О).

Если теперь провести две касательные из точки O, то получим такие равные отрезки:

Касательные равны, как, сообственно, и радиусы!

Площадь и длина окружности находятся по формуле:

По своему определению число π показывает, во сколько раз длина окружности больше диаметра, отсюда такая формула: L = πD

Если хочешь вывести площадь круга, можешь проинтегрировать длину окружности относительно R или вывести зависимость, как сделал Архимед!

Задача №1. Дано на рисунке:

Достаточно вспомнить свойства центральных и вписанных углов.

Ответ: 39°

Задача №2. Дано на рисунке:

Найти нужно меньшую дугу BD

Ответ: 100°

Задача №3. Дано на рисунке:

Найти меньшую дугу ВС

Ответ: 114°

Задача №4. Дано на рисунке:

Найти отрезок МК

Ответ: МК = 15.

Задача №5. Дано на рисунке:

Попробуй найти подобные треугольники

Ответ: 6

Задача №5. Дано на рисунке:

Без свойства секущей и касательной здесь будет тяжело

Ответ: 12√7.

Я могу долго тебе показывать, как решать задачи, но без твоих усилий ничего не выйдет.

О треугольниках
О четырехуголниках

p.s. Не бойся ошибаться и задавать вопросы!

Если нашел опечатку, или что-то непонятно − напиши.

Источник

Как решать задания на окружность?

В этой теме я хотел бы рассказать об основных понятиях, которые необходимо знать при решении заданий на окружность.

Но для начала давайте разберемся с понятиями круг и окружность.

Окружность – линия, каждая точка которой равноудалена от центра.

Круг – часть плоскости, которая лежит внутри окружности.

Другими словами, окружность – это контур круга (то, что мы рисуем циркулем). Круг – та часть листа бумаги, которая остается внутри.

1. Вся окружность составляет 360°.

Это означает, что если окружность разбита на несколько дуг (дуга – часть окружности), то их сумма всегда равна 360°.

Например, в этом задании необходимо найти длину дуги АВ.

Так как сумма всех дуг равна 360°, то АВ + АС + ВС = 360. Причем две из них (АС и ВС) известны. Поэтому мы можем легко найти дугу АВ: 360 – 130 – 115.

2. Площадь круга находится по формуле: S = πr 2 (π = 3.14, r – радиус круга). Радиус – это отрезок, который соединяет центр окружности и точку, лежащую на окружности.

Най­ди­те площадь круга радиусом 4. (В от­ве­те укажите площадь, деленную на π.)

А вот здесь и главная подсказка “деленную на π“. Значит при нахождении площади не нужно подставлять 3,14.

S = π·4 2 = 16π. В ответ запишем только 16.

3. Все радиусы в одной окружности равны. Все диаметры в одной окружности равны.

4. Центральный угол равен дуге, на которую он опирается.

5. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

6. Вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу равны.

Угол АВС равен углу АМС, так как они опираются на одну дугу АС.

7. Гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром, описанной около него окружности.

Это связано с тем, что угол В = 90°. При этом он является вписанным углом. Вписанный угол в 2 раза меньше дуги АС, на которую он опирается. Поэтому дуга АС = 180°, а это половина окружности. То есть АС – диаметр.

8. Радиус, проведенный из точки касания, всегда лежит под углом 90° к касательной.

Из точки А проведены две касательные к окружности – АВ и АС. Радиус ОВ будет перпендикулярен касательной АВ, а радиус ОС – перпендикулярен касательной АС.

9. Если окружность вписана в некоторый угол х, то центральный угол окружности, который опирается на те же точки находится как 180° – х.

Окружность вписана в угол А = 95°, который касается ее в точках В и С. Центральный угол ВОС будет равен 180 – 95 = 85°.

10. Если окружность вписана в некоторый угол х, то вписанный угол окружности, который опирается на те же точки находится как (180° – х)/2.

Окружность вписана в угол А = 70°, который касается ее в точках В и С. Вписанный угол ВМС будет равен (180 – 70)2 = 55°.

Эти правила помогут Вам решить практически все задания на тему Окружностей.

Источник