Окружности касаются внешним образом если теорема

Касание двух окружностей

Две окружности, имеющие общую точку, касаются в этой точке, если они имеют в ней общую касательную.

Общая точка двух окружностей называется точкой касания окружностей.

Касание окружностей может быть внешним и внутренним.

Внешнее касание окружностей — это касание, при котором центры окружностей лежат по разные стороны от общей касательной.

Внутреннее касание окружностей — касание, при котором центры окружностей лежат по одну сторону от общей касательной.

Касающиеся окружности имеют только одну общую точку — точку касания.

Центры касающихся окружностей и их общая точка касания лежат на одной прямой.

При любом виде касания по свойству касательной касательная перпендикулярна радиусам, проведённым в точку касания:

По теореме о существовании и единственности прямой, перпендикулярной данной,через точку A можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной прямой k.

Следовательно, все три точки: центры окружностей O1, O2 и A лежат на одной прямой.

Что и требовалось доказать .

При внешнем касании расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов:

При внутреннем касании расстояние между центрами окружностей равно разности радиусов:

Источник

Президентский ФМЛ №239

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Содержание

Окружность

1. Окружность – это геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.

2. Геометрическое место точек, удаленных от заданной точки $O$ на заданное расстояние $R$, называют окружностью с центром в точке $O$ и радиусом $R$.

Обозначают такую окружность так: $\omega(O;R)$.

Касательные и хорды

Теорема

Если $d$ – это расстояние от точки $O$ до прямой $l$, а $\omega$ – окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$, тогда

Третий случай

В этом случае $OH>r$, поэтому для любой точки $M$ прямой $p$ $OM\geqslant OH>r$.

Следовательно, точка $M$ не лежит на окружности.

Определение

Определение

Касательная к кривой – это предельное положение секущей.

Теорема о характерном свойстве касательной

Доказательство

Докажем первый пункт теоремы.

Пусть $p$ – касательная к окружности с центром $O$, $A$ – точка касания.

Докажем, что $p\perp OA$.

Предположим, что это не так.

Тогда радиус $OA$ является наклонной к прямой $p$.

Так как перпендикуляр, проведенный из точки $O$ к прямой $p$, меньше наклонной $OA$, то расстояние от от точки $O$ до прямой $p$ меньше радиуса.

Читайте также:  Трапеция дворников тойота приус 20 правый руль

Следовательно, прямая $p$ и окружность имеют две общие точки.

Но это противоречит условию, так как $p$ – это касательная.

Таким образом $p\perp OA$.

Докажем второй пункт теоремы.

Из условия следует, что данный радиус является перпендикуляром, проведенным из центра окружности к данной прямой.

Поэтому расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, и, следовательно, прямая и окружность имеют только одну общую точку.

Но это и означает, что данная прямая является касательной к окружности.

Теорема

Доказательство

Рассмотрим окружность с центром в точке $O$, вписанную в угол $M$.

Пусть данная окружность касается сторон угла в точках $A$ и $B$.

Докажем, что $\angle AMO=\angle BMO$.

Действительно, треугольники $AMO$ и $BMO$ равны, по катету и гипотенузе ($OA=OB$, $OM$ – общая).

Тогда $\angle AMO=\angle BMO$ и $MA=MB$.

Кроме того, так как треугольник $\triangle MAB$ равнобедренный, а $MH$ – не только биссектриса угла $\angle AMB$, но и медиана и высота, то есть $AH=HB, AB\perp MO$.

Свойства хорд окружности

Доказательство

Докажем первый пункт теоремы.

Рассмотрим окружность с центром $O$, в которой хорда $AB$ пересекает диаметр $CD$ в точке $E$.

Если $E$ – это середина $AB$, то $OE$ – это медиана равнобедренного треугольника $AOB$, а, следовательно, и $OE$ – высота.

Обратно, если $OE$ — высота, то и медиана.

Докажем второй пункт теоремы.

Рассмотрим окружность с центром $O$, в которой проведены хорды $AB$ и $CD$.

Пусть расстояния $OE$ и $OF$ до этих хорд равны.

Тогда треугольники $OAE, OEB, OFD$ и $OFC$ равны по катету и гипотенузе ($OA=OB=OD=OC$, так как это радиусы).

Тогда $AE=EB=DF=FC$, и, следовательно, $AB=2AE=2DF=CD$.

Докажем третий пункт теоремы.

Рассмотрим окружность с центром $O$, в которой проведены хорды $AB$ и $CD$.

Если $\angle AOB=\angle COD$, то $\triangle AOB=\triangle COD$ по первому признаку равенства ($CO=OB=OD=OA$, так как это радиусы), следовательно, $AB=CD$.

Обратно, если $AB=CD$, то $\triangle AOB=\triangle COD$ по третьему признаку равенства, следовательно, $\angle AOB=\angle COD$.

Источник

Касательные к окружности

В обычной жизни ты очень хорошо представляешь себе, что значит слово «коснуться».

И вот представь себе, в математике тоже существует такое понятие.

В этой теме мы разберёмся с выражениями «прямая касается окружности» и «две окружности касаются».

Касательные к окружности. Коротко о главном

Касательная – прямая, которая имеет с окружностью только одну общую точку.

Касательная окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

Угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги, которая находится внутри угла: \( \displaystyle \angle CAB=\frac<1><2>\angle AOB\), где:

Касание окружностей: если две окружности касаются, то точка касания лежит на прямой, соединяющей их центры. Кроме того, эта прямая перпендикулярна касательной, проведённой в точку касания окружностей:

Читайте также:  Точка е сторона боковой стороны ав трапеции авсд докажите что площадь

Внешнее касание

Внутреннее касание

Для двух окружностей с центрами \( \displaystyle <>\) и \( \displaystyle <_<1>>\), и радиусами \( \displaystyle R=OA\) и \( \displaystyle r=<_<1>>A\):

Касательные к окружности. Определения и основная теорема

Прямая касается окружности, если имеет с ней ровно одну общую точку.

Такая прямая называется касательной к данной окружности.

Посмотри-ка внимательно: очень похоже на жизнь, не правда ли? Прямая на картинке лишь чуть-чуть дотрагивается до окружности, касается ее.

Ну вот, и точно так же:

Две окружности касаются, если имеют ровно одну общую точку.

Что же тебе нужно знать о касательных и касающихся окружности?

Самая важная теорема гласит, что:

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

Запомни это прямо как таблицу умножения! Все остальные факты о касательных и касающихся окружностях основаны именно на этой теореме.

Доказывать её мы здесь не будем, а вот как эта самая важная теорема работает, увидим сейчас несколько раз.

Угол между касательной и хордой

Угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги, которая находится внутри угла.

Прежде всего: как это понимать? Подробнее о том, что такое «градусная мера дуги», написано в теме «Окружность. Вписанный угол».

Здесь напомним только, что в дуге столько же градусов, сколько в центральном угле, заключающем эту дугу.

То есть «градусная мера дуги» – это «сколько градусов в центральном угле» – и всё!

Ну вот, как говорит Карлсон, продолжаем разговор. Рисуем ещё раз теорему об угле между касательной и хордой.

Смотри, хорда \( \displaystyle AB\) разбила окружность на две дуги. Одна дуга находится ВНУТРИ угла \( \displaystyle BAC\), а другая дуга – внутри угла \( \displaystyle BAD\).

И теорема об угле между касательной и хордой говорит, что \( \displaystyle \angle CAB\) равен ПОЛОВИНЕ угла \( \displaystyle AOB\), \( \displaystyle \angle DAB\) равен ПОЛОВИНЕ большего (на рисунке — зеленого) угла \( \displaystyle AOB\).

При чем же тут тот факт, что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной?

Сейчас и увидим. \( \displaystyle OA\) – радиус, \( \displaystyle AC\) – касательная.

Значит, \( \displaystyle \angle OAC=90<>^\circ \).

Поэтому:\( \displaystyle \angle 1=90<>^\circ -\angle 4\).

Но \( \displaystyle \angle 2=\angle 1\) (\( \displaystyle OA\) и \( \displaystyle OB\) – радиусы)\( \displaystyle \angle 2=90<>^\circ -\angle 4\).

И осталось вспомнить, что сумма углов треугольника \( \displaystyle AOB\) равна \( \displaystyle 180<>^\circ \).

Здорово, правда? И самым главным оказалось то, что \( \displaystyle \angle OAC=90<>^\circ \).

Равенство отрезков касательных

Задумывался ли ты над вопросом «а сколько касательных можно провести из одной точки к одной окружности»? Вот, представь себе, ровно две! Вот так:

Читайте также:  Канализационные люки прямоугольной формы

А ещё более удивительный факт состоит в том, что:

Отрезки касательных, проведённых из одной точки к одной окружности, равны.

То есть, на нашем рисунке, \( \displaystyle AB=AC\).

И для этого факта тоже самым главным является то, что радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

Проведём радиусы \( \displaystyle OB\) и \( \displaystyle OC\) и соединим \( \displaystyle O\) и \( \displaystyle A\).

\( \displaystyle OB\) – радиус.

\( \displaystyle AB\) – касательная, значит, \( \displaystyle OB\bot AB\).
Ну, и так же \( \displaystyle OC\bot AC\).

Получилось два прямоугольных треугольника \( \displaystyle AOB\) и \( \displaystyle AOC\), у которых:

(заглядываем в тему «Прямоугольный треугольник«, если не помним, когда бывают равны прямоугольные треугольники).

Но раз \( \displaystyle \Delta AOB=\Delta AOC,\) то\( \displaystyle AB=AC\). УРА!

И ещё раз повторим – этот факт тоже очень важный:

Отрезки касательных, проведённых из одной точки, – равны.

И есть ещё один факт, который мы здесь не будем доказывать, но он может оказаться тебе полезен при решении задач.

Для любой прямой \( \displaystyle AD\), пересекающей окружность,\( \displaystyle AD\cdot AC=A<^<2>>\), где \( \displaystyle AB\) – отрезок касательной.

Хитроумными словами об этом говорят так:

«Квадрат длины отрезка касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть».

Страшно? Не бойся, помни только, что в буквах это:

Общая касательная к двум окружностям

Прямая, которая касается двух окружностей, называется их общей касательной.

Общие касательные бывают внешние и внутренние. Смотри на картинки.

Две внутренние общие касательные:

Две внешние общие касательные:

А всего – четыре! Не больше, но может быть меньше.

Есть только две внешние общие касательные.

Или так: одна внутренняя и две внешних.

А может быть вообще так:

Только одна общая касательная.

И снова факты:

Длины отрезков двух внутренних общих касательных равны

Длины отрезков двух внешних общих касательных равны.

НО! При этом: внешние и внутренние касательные – разные! (а некоторых, может, и вообще нет…)

Касающиеся окружности

Касание окружностей бывает внешним и внутренним.

Вот такая картинка называется «окружности касаются внешним образом»:

А вот такая картинка называется «окружности касаются внутренним образом»:

Что же самое главное нужно знать?

Если две окружности касаются, то точка касания лежит на прямой, соединяющей центры. Кроме того, эта прямая перпендикулярна касательной, проведённой в точку касания окружностей.

Если тебе показалось слишком длинно – посмотри картинку. Может быть ещё так:

Ура, теперь ты полностью вооружён на борьбу с касательными – дерзай! 🙂

Источник

Поделиться с друзьями
Объясняем